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简化解析几何运算的5个技巧
技法二
设而不求,整体代换
对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题,涉及
求中点弦所在直线的方程,或弦的中点的轨迹方程的问题
时,常常可以用代点法求解
典例已知椭圆p.S21(a>b>0的右焦点为F3,
0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,
1),则E的标准方程为
A.,
45136
B.36
=1
27
2718
D.+A=1
189
[解析]设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=-2,
①
②
①一②得
(x1+x2)(x1-x2),(1+y2)(
=0
所以kmn=二_b(x1+x)b2
2
(1+y2)
7,12,所21
又6、0+11
又9=c2=a2-b2,解得b2=9,a2=18,
所以椭圆E的方程为8+=1
[答案]D
[方法点拨]
本题设出A,B两点的坐标,却不需求出A,B两点的
坐标,巧妙地表达出直线AB的斜率,通过将直线AB的斜
率“算两次”建立几何量之间的关系,从而快速解决问题
「对点演练
过点M(1,1)作斜率为-,的直线与椭圆C:2+2=1(a>b>0相
交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等
于
解析:设A(x1,y),B(x2,y2),则
y2
12=1
(x1-x2)(x1+x2)1(n=y21+y2
0,
V1-V2
6'x1tx2
xi-x2
a'yity2
y1-y21
Ⅺ122,x+x2=2,+y2=2,
2b2.
又∵b2=a2-c2,∴,a2=2(a2-c
=2c,
a
2
即椭圆C的离心率e=
2答案:12
2
技法
巧用“根与系数的关系”,化繁为简
某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标,
用距离公式计算长度的方法来解;但也可以利用一元二次方
程,使相关的点的同名坐标为方程的根,由根与系数的关系
求出两根间的关系或有关线段长度间的关系.后者往往计算
量小,解题过程简捷
[典例(2016全国甲卷)已知椭圆E:+3=1的焦点在x轴上,
A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在
E上,MA⊥NA
(1)当t=4,|AM=N时,求△AMN的面积;
(2)当24M=4N时,求k的取值范围
解]设M(x1,y),则由题意知y>0
(1当r=4时,E的方程为+3=1,A(-20
由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为4
因此直线AM的方程为y=x+2
将x=y-2代入4+3=1,得72-12y=0
解得y=0或p12
12
所以y
7
11212144
因此△AMN的面积SAM=2×2×7×7=49

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