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2021年高考物理一轮复习考点全覆盖
专题（18）万有引力与航天（原卷版）
考点解读：
一、开普勒行星运动定律
1．开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
行星的近日点到太阳的距离r1=a–c，行星的远日点到太阳的距离r2=a+c，其中a为椭圆轨道的半长轴，c为半焦距。
2．开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
由于轨道不是圆，故行星离太阳距离较近时速度较大（势能小而动能大），对近日点和远日点的线速度大小有v1r1=v2r2
3．开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。
若轨道周期为T，则有，比值k为对所有行星都相同（与太阳有关）的常量。
若轨道为圆，半径为r，则有，结合万有引力定律可得（G为引力常量，M为中心天体质量）
二、万有引力定律的理解
1．内容及公式：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。
公式：F＝G，其中G＝6.67×10－11N·m2/kg2，叫引力常量。引力常量G是卡文迪许通过扭秤实验测量得到的。
2．适用条件：适用于质点（两物体间的距离远大于每个物体的尺寸）、均匀介质球体或球壳之间万有引力的计算。
3.
万有引力和重力的区别及联系
地球表面上的物体随地球自转做圆周运动需要一个向心力，这个向心力是万有引力的一个很小的分力（另外一个分力就是重力）提供的，如图所示，万有引力为F，重力为mg，自转向心力为F向。当然，真实情况不会有这么大偏差。
（1）物体在一般位置时F向=mrω2，r为自转轨道圆半径，r＜R，F向、F、mg不在一条直线上。
（2）当物体在赤道上时，F向达到最大值F向max=mRω2，重力达到最小值，重力加速度达到最小值。
（3）当物体在两极时F向=0，mg=F，重力达到最大值，重力加速度达到最大值，。
总结：只有在两极时重力才等于万有引力，重力加速度达到最大值；其他位置时重力要略小于万有引力；在赤道处的重力加速度最小，两极处的重力加速度比赤道处大；但是由于自转的角速度很小，需要的向心力很小。
黄金代换：计算题中，如果未提及地球的自转，一般认为重力近似等于万有引力。即或者写成GM=gR2，称为“黄金代换”。
三、宇宙速度和卫星变轨问题的分析
1．第一宇宙速度：v1＝7.9
km/s，既是发射卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球运行的最大环绕速度。
第一宇宙速度的两种求法：
（1），所以；（2），所以。
2．第二、第三宇宙速度也都是指发射速度。3．当卫星由于某种原因速度突然改变时（开启或关闭发动机或空气阻力作用），万有引力不再等于向心力，卫星将变轨运行：
（1）当卫星的速度突然增加时，，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时，由可知其运行速度比原轨道时减小。
（2）当卫星的速度突然减小时，，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由可知其运行速度比原轨道时增大。
卫星的发射和回收就是利用这一原理。
4．处理卫星变轨问题的思路和方法
（1）要增大卫星的轨道半径，必须加速；
（2）当轨道半径增大时，卫星的机械能随之增大。
5．卫星变轨问题的判断：
（1）卫星的速度变大时，做离心运动，重新稳定时，轨道半径变大。
（2）卫星的速度变小时，做近心运动，重新稳定时，轨道半径变小。
（3）圆轨道与椭圆轨道相切时，切点处外面的轨道上的速度大，向心加速度相同。
6．特别提醒:“
三个不同”
（1）两种周期——自转周期和公转周期的不同
（2）两种速度——环绕速度与发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度
（3）两个半径——天体半径R和卫星轨道半径r的不同
四、双星系统
1．在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的行星称为双星。
2．双星系统的条件：
（1）两颗星彼此相距较近；
（2）两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动；
（3）两颗星绕同一圆心做圆周运动。
3．双星系统的特点：
（1）两星的角速度、周期相等；
（2）两星的向心力大小相等；
（3）两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1+r2=L，轨道半径与行星的质量成反比。
4．双星问题的处理方法：
双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即，由此得出
（1）m1r1=m2r2，即某恒星的运动半径与其质量成反比；
（2）由于ω=，r1+r2=L，所以两恒星的质量之和。
考向一：开普勒三定律的理解和应用
【例1】
关于开普勒对行星运动规律的认识，下列说法正确的是(　　)
A．所有行星绕太阳的运动都是匀速圆周运动
B．所有行星以相同的速率绕太阳做椭圆运动
C．对于每一个行星在近日点时的速率均大于它在远日点的速率
D．所有行星轨道的半长轴的二次方与公转周期的三次方的比值都相同
【变式1】火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知(　　)
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
【变式2】如图所示，对开普勒第一定律的理解，下列说法中正确的是
A．在行星绕太阳运动一周的时间内，它离太阳的距离是不变化的
B．在行星绕太阳运动一周的时间内，它离太阳的距离是变化的
C．某个行星绕太阳运动的轨道一定是在某一固定的平面内
D．某个行星绕太阳运动的轨道一定不在一个固定的平面内
考向二：万有引力定律的理解
【例2】万有引力定律能够很好地将天体运行规律与地球上物体运动规律具有的内在一致性统一起来。用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，引力常量为G，将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体。下列说法正确的是
A．在北极地面称量时，弹簧秤读数为F0＝G
B．在赤道地面称量时，弹簧秤读数为F1＝G
C．在北极上空高出地面h处称量时，弹簧秤读数为F2＝G
D．在赤道上空高出地面h处称量时，弹簧秤读数为F3＝G
【变式3】
质量均为1×105
kg的两物体(都可看成质点)相距1
m时，已知引力常量G＝6.67×10－11
N·m2/kg2，它们之间的万有引力大小最接近于(　　)
A．一个大人的重力
B．一个鸡蛋的重力
C．一个大西瓜的重力
D．一头牛的重力
【变式4】(2019届书生中学期末)某颗行星，其半径是地球半径的2倍，质量是地球质量的25倍，则它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的(　　)
A．6倍
B．4倍
C.倍
D．12倍
考向三：天体质量、密度的计算
【例3】
地球半径是R，地球表面的重力加速度是g，万有引力常量是G。忽略地球自转的影响。如认为地球的质量分布是均匀的，则地球的密度的表达式为
A．
B．
C．
D．
【变式5】
如图所示，已知“神舟十一号”“天宫二号”对接后，组合体在时间t内沿圆周轨道绕地球转过的角度为θ，组合体轨道半径为r，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑地球自转。则下列各量不能求出的是
A．地球的质量
B．地球的平均密度
C．组合体做圆周运动的线速度
D．组合体受到地球的万有引力
考向四：宇宙航行和卫星问题
【例4】有a、b、c、d四颗地球卫星，a在地球赤道上未发射，b在地面附近近地轨道上正常运动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图，则有
A．a的向心加速度等于重力加速度g
B．c在4
h内转过的圆心角是π/6
C．b在相同时间内转过的弧长最长
D．d的运动周期有可能是20
h
【变式6】如图所示，为地球赤道上的物体，为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，为地球同步卫星。则下列说法正确的是
A．角速度的大小关系是
B．向心加速度的大小关系是
C．线速度的大小关系是
D．周期的大小关系是
【变式7】（多选）假设将来一艘飞船靠近火星时，经历如图所示的变轨过程，已知万有引力常量为，则下列说法正确的是
A．飞船在轨道Ⅱ上运动到P点的速度小于在轨道Ⅰ运动到P点的速度
B．若轨道Ⅰ贴近火星表面，测出飞船在轨道Ⅰ运动的周期，就可以推知火星的密度
C．飞船在轨道Ⅰ上运动到P点时的加速度大于飞船在轨道Ⅱ上运动到P点时的加速度
D．飞船在轨道Ⅱ上运动时的周期大于在轨道Ⅰ上运动时的周期
考向五：双星系统
【例5】（多选）经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的大小远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。两颗星球组成的双星m1、m2，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1∶m2＝3∶2。则可知
A．m1与m2做圆周运动的角速度之比为2:3
B．m1与m2做圆周运动的线速度之比为2:3
C．m1做圆周运动的半径为2L/5
D．m2做圆周运动的半径为2L/5
【变式8】（多选）由多颗星体构成的系统，叫做多星系统。有这样一种简单的四星系统：质量刚好都相同的四个星体A、B、C、D，A、B、C分别位于等边三角形的三个顶点上，D位于等边三角形的中心。在四者相互之间的万有引力作用下，D静止不动，A、B、C绕共同的圆心D在等边三角形所在的平面内做相同周期的圆周运动。若四个星体的质量均为m，三角形的边长为a，引力常量为G，则下列说法正确的是
A、B、C三个星体做圆周运动的半径均为
B．A、B两个星体之间的万有引力大小为
C．A、B、C三个星体做圆周运动的向心加速度大小均为
D．A、B、C三个星体做圆周运动的周期均为
精选练习
1．万有引力的发现实现了物理学史上第一次大统一：“地上物理学”和“天上物理学”的统一，它表明天体运动和地面上物体的运动遵从相同的规律。牛顿发现万有引力定律的过程中将行星的椭圆轨道简化为圆轨道，还应用到了其他的规律和结论。下面的规律和结论没有被用到的是
(　　)
A.开普勒的研究成果
B.卡文迪许通过扭秤实验得出的引力常量
C.牛顿第二定律
D.牛顿第三定律
2．2019年3月10日我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭成功将“中星6C”卫星发射升空，卫星进入预定轨道，它是一颗用于广播和通信的地球静止轨道通信卫星，假设该卫星在距地面高度为h的同步轨道做圆周运动．已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G.下列说法正确的是(　　)
A．同步卫星运动的周期为2π
B．同步卫星运行的线速度大小为
C．同步轨道处的重力加速度大小为()2g
D．地球的平均密度为
3．北斗卫星导航系统空间段计划由35颗卫星组成，包括5颗静止轨道卫星、27颗中轨道卫星、3颗倾斜同步轨道卫星。中轨道卫星和静止轨道卫星都绕地球球心做圆周运动，中轨道卫星离地面高度低，则中轨道卫星与静止轨道卫星相比，做圆周运动的
(　　)
A.向心加速度大
B.周期大
C.线速度小
D.角速度小
，两星球相距为L，质量比为mA∶mB=1∶9，两星球半径远小于L。从星球A沿A、B连线向B以某一初速度发射一探测器。只考虑星球A、B对探测器的作用，下列说法正确的是
(　　)
A.探测器的速度一直减小
B.探测器在距星球A为处加速度为零
C.若探测器能到达星球B，其速度可能恰好为零
D.若探测器能到达星球B，其速度一定等于发射时的初速度
(多选)通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量。假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量。这两个物理量可以是
(　　)
A.卫星的速度和角速度　　
B.卫星的质量和轨道半径
C.卫星的质量和角速度
D.卫星的运行周期和轨道半径
“玉兔号”月球车与月球表面的第一次接触实现了中国人“奔月”的伟大梦想．“玉兔号”月球车在月球表面做了一个自由下落试验，测得物体从静止自由下落h高度的时间为t，已知月球半径为R，自转周期为T，引力常量为G.求：
(1)月球表面重力加速度；
(2)月球的质量和月球的第一宇宙速度；
(3)月球同步卫星离月球表面高度．
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精品试卷·第
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2021年高考物理一轮复习考点全覆盖
专题（18）万有引力与航天（解析版）
考点解读：
一、开普勒行星运动定律
1．开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
行星的近日点到太阳的距离r1=a–c，行星的远日点到太阳的距离r2=a+c，其中a为椭圆轨道的半长轴，c为半焦距。
2．开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
由于轨道不是圆，故行星离太阳距离较近时速度较大（势能小而动能大），对近日点和远日点的线速度大小有v1r1=v2r2
3．开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。
若轨道周期为T，则有，比值k为对所有行星都相同（与太阳有关）的常量。
若轨道为圆，半径为r，则有，结合万有引力定律可得（G为引力常量，M为中心天体质量）
二、万有引力定律的理解
1．内容及公式：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。
公式：F＝G，其中G＝6.67×10－11N·m2/kg2，叫引力常量。引力常量G是卡文迪许通过扭秤实验测量得到的。
2．适用条件：适用于质点（两物体间的距离远大于每个物体的尺寸）、均匀介质球体或球壳之间万有引力的计算。
3.
万有引力和重力的区别及联系
地球表面上的物体随地球自转做圆周运动需要一个向心力，这个向心力是万有引力的一个很小的分力（另外一个分力就是重力）提供的，如图所示，万有引力为F，重力为mg，自转向心力为F向。当然，真实情况不会有这么大偏差。
（1）物体在一般位置时F向=mrω2，r为自转轨道圆半径，r＜R，F向、F、mg不在一条直线上。
（2）当物体在赤道上时，F向达到最大值F向max=mRω2，重力达到最小值，重力加速度达到最小值。
（3）当物体在两极时F向=0，mg=F，重力达到最大值，重力加速度达到最大值，。
总结：只有在两极时重力才等于万有引力，重力加速度达到最大值；其他位置时重力要略小于万有引力；在赤道处的重力加速度最小，两极处的重力加速度比赤道处大；但是由于自转的角速度很小，需要的向心力很小。
黄金代换：计算题中，如果未提及地球的自转，一般认为重力近似等于万有引力。即或者写成GM=gR2，称为“黄金代换”。
三、宇宙速度和卫星变轨问题的分析
1．第一宇宙速度：v1＝7.9
km/s，既是发射卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球运行的最大环绕速度。
第一宇宙速度的两种求法：
（1），所以；（2），所以。
2．第二、第三宇宙速度也都是指发射速度。
3．当卫星由于某种原因速度突然改变时（开启或关闭发动机或空气阻力作用），万有引力不再等于向心力，卫星将变轨运行：
（1）当卫星的速度突然增加时，，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时，由可知其运行速度比原轨道时减小。
（2）当卫星的速度突然减小时，，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由可知其运行速度比原轨道时增大。
卫星的发射和回收就是利用这一原理。
4．处理卫星变轨问题的思路和方法
（1）要增大卫星的轨道半径，必须加速；
（2）当轨道半径增大时，卫星的机械能随之增大。
5．卫星变轨问题的判断：
（1）卫星的速度变大时，做离心运动，重新稳定时，轨道半径变大。
（2）卫星的速度变小时，做近心运动，重新稳定时，轨道半径变小。
（3）圆轨道与椭圆轨道相切时，切点处外面的轨道上的速度大，向心加速度相同。
6．特别提醒:“
三个不同”
（1）两种周期——自转周期和公转周期的不同
（2）两种速度——环绕速度与发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度
（3）两个半径——天体半径R和卫星轨道半径r的不同
四、双星系统
1．在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的行星称为双星。
2．双星系统的条件：
（1）两颗星彼此相距较近；
（2）两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动；
（3）两颗星绕同一圆心做圆周运动。
3．双星系统的特点：
（1）两星的角速度、周期相等；
（2）两星的向心力大小相等；
（3）两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1+r2=L，轨道半径与行星的质量成反比。
4．双星问题的处理方法：
双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即，由此得出
（1）m1r1=m2r2，即某恒星的运动半径与其质量成反比；
（2）由于ω=，r1+r2=L，所以两恒星的质量之和。
考向一：开普勒三定律的理解和应用
【例1】
关于开普勒对行星运动规律的认识，下列说法正确的是(　　)
A．所有行星绕太阳的运动都是匀速圆周运动
B．所有行星以相同的速率绕太阳做椭圆运动
C．对于每一个行星在近日点时的速率均大于它在远日点的速率
D．所有行星轨道的半长轴的二次方与公转周期的三次方的比值都相同
【答案】C
【解析】根据开普勒第一定律，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，故A错误；行星绕太阳运动的轨道半径越大，则运动的速率越小，故B错误；根据开普勒第二定律，对于每一个行星，在近日点时的速率均大于它在远日点的速率，故C正确；根据开普勒第三定律，所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等，故D错误．
【变式1】火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知(　　)
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
【答案】C
【解析】由开普勒第一定律(轨道定律)可知，太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，故A错误．火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，故B错误．根据开普勒第三定律(周期定律)知太阳系中所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常数，故C正确．对于太阳系某一个行星来说，其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等，不同行星在相同时间内扫过的面积不相等，故D错误．
【变式2】
如图所示，对开普勒第一定律的理解，下列说法中正确的是
A．在行星绕太阳运动一周的时间内，它离太阳的距离是不变化的
B．在行星绕太阳运动一周的时间内，它离太阳的距离是变化的
C．某个行星绕太阳运动的轨道一定是在某一固定的平面内
D．某个行星绕太阳运动的轨道一定不在一个固定的平面内
【答案】BC
【解析】根据开普勒第一定律（轨道定律）的内容：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。既然行星绕太阳运动的轨道是椭圆，有时远离太阳，有时靠近太阳，所以它离太阳的距离是变化的，A错误、B正确；众行星围绕着太阳运动，由于受太阳的引力作用而被约束在一定的轨道上，C正确、D错误。
考向二：万有引力定律的理解
【例2】
万有引力定律能够很好地将天体运行规律与地球上物体运动规律具有的内在一致性统一起来。用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，引力常量为G，将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体。下列说法正确的是
A．在北极地面称量时，弹簧秤读数为F0＝G
B．在赤道地面称量时，弹簧秤读数为F1＝G
C．在北极上空高出地面h处称量时，弹簧秤读数为F2＝G
D．在赤道上空高出地面h处称量时，弹簧秤读数为F3＝G
【答案】AC
【解析】在北极地面称量时，物体不随地球自转，万有引力等于重力，则有F0＝G，故A正确；在赤道地面称量时，万有引力等于重力加上物体随地球一起自转所需要的向心力，则有F1【变式3】
质量均为1×105
kg的两物体(都可看成质点)相距1
m时，已知引力常量G＝6.67×10－11
N·m2/kg2，它们之间的万有引力大小最接近于(　　)
A．一个大人的重力
B．一个鸡蛋的重力
C．一个大西瓜的重力
D．一头牛的重力
【答案】B
【变式4】(2019届书生中学期末)某颗行星，其半径是地球半径的2倍，质量是地球质量的25倍，则它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的(　　)
A．6倍
B．4倍
C.倍
D．12倍
【答案】C
【解析】设行星的质量为M，半径为R，质量为m的物体在行星表面时，行星对物体的万有引力近似等于物体的重力，则有G＝mg，解得g＝.则行星表面重力加速度与地球表面重力加速度之比为＝＝，故C选项正确．
考向三：天体质量、密度的计算
【例3】
地球半径是R，地球表面的重力加速度是g，万有引力常量是G。忽略地球自转的影响。如认为地球的质量分布是均匀的，则地球的密度的表达式为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】地球表面重力与万有引力相等有：，可得地球质量为：，又地球的体积为：，所以地球的密度为：；C正确。
【变式5】
如图所示，已知“神舟十一号”“天宫二号”对接后，组合体在时间t内沿圆周轨道绕地球转过的角度为θ，组合体轨道半径为r，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑地球自转。则下列各量不能求出的是
A．地球的质量
B．地球的平均密度
C．组合体做圆周运动的线速度
D．组合体受到地球的万有引力
【答案】D
【解析】组合体在时间t内沿圆周轨道绕地球转过的角度为θ，则角速度为，根据万有引力提供组合体的向心力，则，所以地球的质量为，可知能求出地球的质量M，故A能求出；不考虑地球的自转时，物体在地球表面的重力等于地球对组合体的万有引力，则得，解得，则可以求出地球的半径R，地球的密度为，可知能求出地球的平均密度，故B能求出；根据线速度与角速度的关系，可知，可知可以求出组合体做圆周运动的线速度，C能求出；由于不知道组合体的质量，所以不能求出组合体受到的万有引力，
考向四：宇宙航行和卫星问题
【例4】有a、b、c、d四颗地球卫星，a在地球赤道上未发射，b在地面附近近地轨道上正常运动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图，则有
A．a的向心加速度等于重力加速度g
B．c在4
h内转过的圆心角是π/6
C．b在相同时间内转过的弧长最长
D．d的运动周期有可能是20
h
【答案】C
【解析】对于卫星a，根据万有引力定律、牛顿第二定律列式可得
，又知道，故a的向心加速度小于重力加速度g，A项错误；由c是地球同步卫星，可知卫星c在4
h内转过的圆心角是，B项错误；由得，，故轨道半径越大，线速度越小，故卫星b的线速度大于卫星c的线速度，卫星c的线速度大于卫星d的线速度，而卫星a与同步卫星c的周期相同，故卫星c的线速度大于卫星a的线速度，C项正确；由得，，轨道半径r越大，周期越长，故卫星d的周期大于同步卫星c的周期，D项错误。
【变式6】如图所示，为地球赤道上的物体，为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，为地球同步卫星。则下列说法正确的是
A．角速度的大小关系是
B．向心加速度的大小关系是
C．线速度的大小关系是
D．周期的大小关系是
【答案】D
【解析】a与c的角速度相等，即，而b、c都围绕地球做匀速圆周运动，则有：，解得：，因b的半径小于c的半径，故，所以有，根据可知，，故A错误，D正确；a与c的角速度相等，由可知，a的半径小于c的半径，故，而b、c都围绕地球做匀速圆周运动，则有：，解得：，因b的半径小于c的半径，故，所以，故B错误；a与c的角速度相等，由可知，a的半径小于c的半径，故，而b、c都围绕地球做匀速圆周运动，则有：，解得：，因b的半径小于c的半径，故，所以，故C错误；故选D。
【变式7】（多选）假设将来一艘飞船靠近火星时，经历如图所示的变轨过程，已知万有引力常量为，则下列说法正确的是
A．飞船在轨道Ⅱ上运动到P点的速度小于在轨道Ⅰ运动到P点的速度
B．若轨道Ⅰ贴近火星表面，测出飞船在轨道Ⅰ运动的周期，就可以推知火星的密度
C．飞船在轨道Ⅰ上运动到P点时的加速度大于飞船在轨道Ⅱ上运动到P点时的加速度
D．飞船在轨道Ⅱ上运动时的周期大于在轨道Ⅰ上运动时的周期
【答案】BD
【解析】从轨道I到轨道Ⅱ要在P点点火加速，则在轨道I上P点的速度小于轨道Ⅱ上P点的速度，故A错误；飞船贴近火星表面飞行时，如果知道周期T，可以计算出密度，即由，，可解得，故B正确；根据可知，飞船在I、Ⅱ轨道上的P点加速度相等，故C错误；因为轨道Ⅱ半长轴大于轨道Ⅰ的半径，所以飞船在轨道Ⅱ上运动时的周期大于在轨道Ⅰ上运动时的周期，故D正确。
考向五：双星系统
【例5】（多选）经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的大小远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。两颗星球组成的双星m1、m2，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1∶m2＝3∶2。则可知
A．m1与m2做圆周运动的角速度之比为2:3
B．m1与m2做圆周运动的线速度之比为2:3
C．m1做圆周运动的半径为2L/5
D．m2做圆周运动的半径为2L/5
【答案】BC
【解析】A、双星靠相互间的万有引力提供向心力，相等的时间内转过相同的角度，故角速度相等，则A项不合题意；B、根据可知，角速度相等，有双星的线速度比等于半径比为2:3；故B项符合题意；CD、向心力大小相等，有：，即，因为质量之比为m1:m2=3:2，则轨道半径之比r1:r2=2:3，所以m1做圆周运动的半径为，m2做圆周运动的半径为，故C项符合题意，D项不合题意。
【变式8】（多选）由多颗星体构成的系统，叫做多星系统。有这样一种简单的四星系统：质量刚好都相同的四个星体A、B、C、D，A、B、C分别位于等边三角形的三个顶点上，D位于等边三角形的中心。在四者相互之间的万有引力作用下，D静止不动，A、B、C绕共同的圆心D在等边三角形所在的平面内做相同周期的圆周运动。若四个星体的质量均为m，三角形的边长为a，引力常量为G，则下列说法正确的是
A．A、B、C三个星体做圆周运动的半径均为
B．A、B两个星体之间的万有引力大小为
C．A、B、C三个星体做圆周运动的向心加速度大小均为
D．A、B、C三个星体做圆周运动的周期均为
【答案】BC
【解析】A、ABC绕中点D做圆周运动，由几何知识知，半径为，故A错；B、根据万有引力公式可知A、B两个星体之间的万有引力大小为，故B对；C、以A为对象，受到的合力为
，所以A、B、C三个星体做圆周运动的向心加速度大小均为，故C对；D、以A为对象，受到的合力为，在根据牛顿第二定律，可解得：
，故D错；故选BC。
精选练习
1．万有引力的发现实现了物理学史上第一次大统一：“地上物理学”和“天上物理学”的统一，它表明天体运动和地面上物体的运动遵从相同的规律。牛顿发现万有引力定律的过程中将行星的椭圆轨道简化为圆轨道，还应用到了其他的规律和结论。下面的规律和结论没有被用到的是
(　　)
A.开普勒的研究成果
B.卡文迪许通过扭秤实验得出的引力常量
C.牛顿第二定律
D.牛顿第三定律
【答案】B
【解析】牛顿在发现万有引力定律的过程中将行星的椭圆轨道简化为圆轨道利用了开普勒第一定律，由牛顿第二定律可知万有引力提供向心力，再借助于牛顿第三定律来推算物体对地球的作用力与什么有关系，同时运用开普勒第三定律来导出万有引力定律。而卡文迪许通过扭秤实验得出的引力常量是在牛顿发现万有引力定律之后，故选B。
2．2019年3月10日我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭成功将“中星6C”卫星发射升空，卫星进入预定轨道，它是一颗用于广播和通信的地球静止轨道通信卫星，假设该卫星在距地面高度为h的同步轨道做圆周运动．已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G.下列说法正确的是(　　)
A．同步卫星运动的周期为2π
B．同步卫星运行的线速度大小为
C．同步轨道处的重力加速度大小为()2g
D．地球的平均密度为
【答案】C
【解析】地球同步卫星在距地面高度为h的同步轨道做圆周运动，万有引力提供向心力，有：＝m，在地球表面附近，重力等于万有引力，有：mg＝，故同步卫星运动的周期为：T＝2π，故A错误；根据万有引力提供向心力，有：＝m，解得同步卫星运行的线速度大小为：v＝，故B错误；根据万有引力提供向心力，有：G＝mg′，解得g′＝()2g，故C正确；由mg＝得：M＝，故地球的平均密度为：ρ＝＝，故D错误．
3．北斗卫星导航系统空间段计划由35颗卫星组成，包括5颗静止轨道卫星、27颗中轨道卫星、3颗倾斜同步轨道卫星。中轨道卫星和静止轨道卫星都绕地球球心做圆周运动，中轨道卫星离地面高度低，则中轨道卫星与静止轨道卫星相比，做圆周运动的
(　　)
A.向心加速度大
B.周期大
C.线速度小
D.角速度小
【答案】A
【解析】由于中轨道卫星离地面高度低，轨道半径较小，质量相同时所受地球万有引力较大，则中轨道卫星与静止轨道卫星相比，做圆周运动的向心加速度大，选项A正确；由G=mr，解得T=2π，可知中轨道卫星与静止轨道卫星相比，做圆周运动的周期小，选项B错误；由G=m，解得v=，可知中轨道卫星与静止轨道卫星相比，做圆周运动的线速度大，选项C错误；由G=mrω2，解得ω=，可知中轨道卫星与静止轨道卫星相比，做圆周运动的角速度大，选项D错误。
4.
如图所示，两星球相距为L，质量比为mA∶mB=1∶9，两星球半径远小于L。从星球A沿A、B连线向B以某一初速度发射一探测器。只考虑星球A、B对探测器的作用，下列说法正确的是
(　　)
A.探测器的速度一直减小
B.探测器在距星球A为处加速度为零
C.若探测器能到达星球B，其速度可能恰好为零
D.若探测器能到达星球B，其速度一定等于发射时的初速度
【答案】B
【解析】探测器从A向B运动，所受的万有引力合力先向左再向右，则探测器的速度先减小后增大，故选项A错误；当探测器所受合力为零时，加速度为零，则有：G=G，因为mA∶mB=1∶9，则rA∶rB=1∶3，知探测器距离星球A的距离为x=，故选项B正确；探测器到达星球B的过程中，由于B的质量大于A的质量，从A到B万有引力的总功为正功，则动能增加，所以探测器到达星球B的速度一定大于发射时的速度，故C、D错误。
5.
(多选)通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量。假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量。这两个物理量可以是
(　　)
A.卫星的速度和角速度　　
B.卫星的质量和轨道半径
C.卫星的质量和角速度
D.卫星的运行周期和轨道半径
【答案】AD
【解析】
根据线速度和角速度可以求出半径r=，根据万有引力提供向心力：=m，整理可以得到：M==，故选项A正确，B、C错误；若知道卫星的周期和半径，则=m()2r，整理得到：M=，故选项D正确。
6.
“玉兔号”月球车与月球表面的第一次接触实现了中国人“奔月”的伟大梦想．“玉兔号”月球车在月球表面做了一个自由下落试验，测得物体从静止自由下落h高度的时间为t，已知月球半径为R，自转周期为T，引力常量为G.求：
(1)月球表面重力加速度；
(2)月球的质量和月球的第一宇宙速度；
(3)月球同步卫星离月球表面高度．
【答案】(1)　(2)　(3)－R
【解析】(1)由自由落体运动规律有：h＝gt2，所以有：g＝.
(2)月球的第一宇宙速度为近月卫星的运行速度，根据重力提供向心力mg＝m，
所以：v1＝＝
在月球表面的物体受到的重力等于万有引力，则有：
mg＝
所以M＝.
(3)月球同步卫星绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有：＝m＝m(R＋h′)
解得h′＝－R.
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精品试卷·第
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