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2019-2020学年陕西省渭南市大荔县高一第二学期期末数学试卷
一、选择题（共12小题）.
1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}，则（?UA）∩（?UB）等于（　　）
A．{1，2，3} B．{4，5，6}
C．{1，2，3，4，5，6} D．{7，8}
2．下列说法正确的是（　　）
A．第二象限角大于第一象限角
B．不相等的角终边可以相同
C．若α是第二象限角，2α一定是第四象限角
D．终边在x轴正半轴上的角是零角
3．某同学随机抽查某市10个小区所得到的绿化率情况如表所示：
小区绿化率（%） 20 25 30 32
小区个数 2 4 3 1
则关于这10个小区绿化率情况，下列说法错误的是（　　）
A．方差是13% B．众数是25%
C．中位数是25% D．平均数是26.2%
4．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．设，b＝log25，c＝ln5，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．a＞c＞b
6．为了测算如图阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是（　　）
A．12 B．9 C．8 D．6
7．已知直线m，n和平面α，β，γ，有如下四个命题：
①若m⊥α，m∥β，则α⊥β；
②若m⊥α，m∥n，n?β，则α⊥β；
③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；
④若m⊥α，m⊥n，则n∥α．
其中真命题的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知向量，满足，，则＝（　　）
A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
9．若y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最小值为﹣2，其图象相邻最高点与最低点横坐标之差为2π，且图象过点（0，1），则其解析式是（　　）
A．y＝2sin（x+） B．y＝2sin（x+）
C．y＝2sin（+） D．y＝2sin（+）
10．直线经过A（2，1），B（1，m2）两点（m∈R），那么直线l的倾斜角的取值范围是（　　）
A．[0，π） B．[0，]∪（，π）
C．[0，] D．[，）∪（，π）
11．若α∈（，π），则3cos2α＝sin（﹣α），则sin2α的值为（　　）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
12．已知MN是正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（　　）
A．[0，4] B．[0，2] C．[1，4] D．[1，2]
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二2000人、高三n人中，抽取90人进行问卷调查．已知高一被抽取的人数为36，那么高二被抽取的人数为　 　．
14．已知一扇形的圆心角为1弧度，半径为1，则该扇形的面积为　 　．
15．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率为，乙获胜的概率为，甲获胜的概率是　 　，甲不输的概率　 　．
16．设D为△ABC所在平面内的一点，若，，则＝　 　．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．计算下列各式的值：
（I）+（）2+（﹣）0；
（Ⅱ）log327+lg25+1g4+log42．
18．若角α的终边上有一点P（m，﹣8），且cosα＝﹣．
（1）求m的值；
（2）求的值．
19．已知函数是R上的偶函数．
（1）求a的值；
（2）解方程．
20．为了解某中学学生对《中华人民共和国交通安全法》的了解情况，调查部门在该校进行了一次问卷调查（共12道题），从该校学生中随机抽取40人，统计了每人答对的题数，将统计结果分成[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]六组，得到如下频率分布直方图．
（1）若答对一题得10分，未答对不得分，估计这40人的成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若从答对题数在[2，6）内的学生中随机抽取2人，求恰有1人答对题数在[2，4）内的概率．
21．如图，已知三棱锥P﹣ABC的平面展开图中，四边形ABCD为边长等于2的正方形，△ABE和△BCF均为等边三角形．
（Ⅰ）求证：AC⊥PB；
（Ⅱ）求三棱锥P﹣ABC的体积．
22．已知O为坐标原点，对于函数f（x）＝asinx+bcosx，称向量为函数f（x）的伴随向量，同时称函数f（x）为向量的伴随函数．
（1）设函数，试求g（x）的伴随向量；
（2）记向量的伴随函数为f（x），求当且时sinx的值；
（3）由（1）中函数g（x）的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平移个单位长度得到h（x）的图象，已知A（﹣2，3），B（2，6），问在y＝h（x）的图象上是否存在一点P，使得．若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}，则（?UA）∩（?UB）等于（　　）
A．{1，2，3} B．{4，5，6}
C．{1，2，3，4，5，6} D．{7，8}
解：由已知：?UA＝{4，5，6，7，8}，?UB＝{1，2，3，7，8}，
∴（?UA）∩（?UB）＝{7，8}，
故选：D．
2．下列说法正确的是（　　）
A．第二象限角大于第一象限角
B．不相等的角终边可以相同
C．若α是第二象限角，2α一定是第四象限角
D．终边在x轴正半轴上的角是零角
解：A选项，第一象限角390°＞120°，而120°是第二象限角，∴该选项错误；
B选项，360°+30°与30°终边相等，但它们不相等，∴该选项正确；
C选项，若α是第二象限角，则，
∴4kπ+π＜2α＜4kπ+2π（k∈Z）是第三象限角或第四象限角或终边在y轴负半轴上的轴线角，∴该选项错误；
D选项，360°角的终边在x轴正半轴上，但不是零角，∴该选项错误．
故选：B．
3．某同学随机抽查某市10个小区所得到的绿化率情况如表所示：
小区绿化率（%） 20 25 30 32
小区个数 2 4 3 1
则关于这10个小区绿化率情况，下列说法错误的是（　　）
A．方差是13% B．众数是25%
C．中位数是25% D．平均数是26.2%
解：根据题意，由表中的数据，
小区绿化率（%）为25%的最多，则数据的众数为25%，B正确；
小区绿化率（%）从小到大的第5个数和第6个数都是25%，则数据的中位数为25%，C正确；
数据的平均数＝（20%×2+25%×4+30%×3+32%×1）＝26.2%，D正确；
数据的方差S2＝[2×（20%﹣25%）2+4×（25%﹣25%）2+3×（30%﹣25%）2+1×（32%﹣25%）2]＝17.4%，A错误；
故选：A．
4．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据程序框图一步一步进行运算，直到跳出循环．
解：S＝0，T＝0，i＝1；
S＝1，T＝1，i＝2；
S＝3，T＝，i＝3；
S＝6，T＝，i＝4；
S＝10，T＝，i＝5；
S＝15，T＝，i＝6；
S＝21，T＝，i＝7；跳出循环，输出结果i＝7，
故选：D．
5．设，b＝log25，c＝ln5，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．a＞c＞b
【分析】可根据换底公式得出，从而可得出log25＞ln5＞1，并且可得出，然后即可得出a，b，c的大小关系．
解：∵，且log5e＞log52＞0，
∴，
∴log25＞ln5＞1，且＝1，
∴b＞c＞a．
故选：C．
6．为了测算如图阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是（　　）
A．12 B．9 C．8 D．6
【分析】设阴影部分的面积为S，根据题意，可得向正方形内随机投掷一点，其落到阴影部分的概率P＝；，又由几何概型可得P＝，可得＝，解可得答案．
解：根据题意，设阴影部分的面积为S，则正方形的面积为36，
向正方形内随机投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，
则向正方形内随机投掷一点，其落到阴影部分的概率P＝＝；
而P＝，则＝，
解可得，S＝9；
故选：B．
7．已知直线m，n和平面α，β，γ，有如下四个命题：
①若m⊥α，m∥β，则α⊥β；
②若m⊥α，m∥n，n?β，则α⊥β；
③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；
④若m⊥α，m⊥n，则n∥α．
其中真命题的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】直接利用线面垂直的判定和性质的应用，线面平行的判定和性质的应用求出正确的结果．
解：已知直线m，n和平面α，β，γ，有如下四个命题：
①若m⊥α，m∥β，则在β内，作n∥m，所以n⊥α，由于n?α，则α⊥β，故正确；
②若m⊥α，m∥n，所以n⊥α，由于n?β，则α⊥β；故正确．
③若n⊥α，n⊥β，所以α∥β，由于m⊥α，则m⊥β；故正确．
④若m⊥α，m⊥n，则n∥α也可能n?α内，故错误．
故选：C．
8．已知向量，满足，，则＝（　　）
A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
【分析】利用平面向量的线性运算，＝，即可求出答案．
解：两个向量相减得，所以，
故选：C．
9．若y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最小值为﹣2，其图象相邻最高点与最低点横坐标之差为2π，且图象过点（0，1），则其解析式是（　　）
A．y＝2sin（x+） B．y＝2sin（x+）
C．y＝2sin（+） D．y＝2sin（+）
【分析】由函数的最小值为﹣2可得A，由图象相邻最高点与最低点横坐标之差为2π，可得，根据周期公式可得ω＝＝，又图象过点（0，1），代入结合|φ|＜可求φ，从而可求函数的解析式．
解：由函数的最小值为﹣2可得，A＝2，
因为图象相邻最高点与最低点横坐标之差为2π，可得T＝4π，
根据周期公式可得ω＝＝，
所以有：y＝2sin（x+φ），
又图象过点（0，1），代入可得sinφ＝，且|φ|＜，
所以可解得：φ＝，
所以可得：y＝2sin（x+）
故选：C．
10．直线经过A（2，1），B（1，m2）两点（m∈R），那么直线l的倾斜角的取值范围是（　　）
A．[0，π） B．[0，]∪（，π）
C．[0，] D．[，）∪（，π）
【分析】根据直线过两点，求出直线的斜率，再根据斜率求出倾斜角的取值范围．
解：∵直线过A（2，1），B（1，m2）两点（m∈R），
∴直线l的斜率为k＝＝1﹣m2≤1，
∴tanα≤1，且α∈[0，π）；
∴倾斜角α的取值范围是[0，]∪（，π）．
故选：B．
11．若α∈（，π），则3cos2α＝sin（﹣α），则sin2α的值为（　　）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
【分析】由条件利用两角和差的正弦公式可得cosα+sinα＝，平方再利用二倍角公式，求得sin2α的值．
解：∵α∈（，π），则3cos2α＝sin（﹣α），
∴3（cosα+sinα）?（cosα﹣sinα）＝cosα﹣sinα，
∴cosα﹣sinα＝0 （舍去），或cosα+sinα＝，
即 cosα+sinα＝，平方可得1+2cosα?sinα＝1+sin2α＝，
∴sin2α＝﹣，
故选：C．
12．已知MN是正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（　　）
A．[0，4] B．[0，2] C．[1，4] D．[1，2]
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积求解即可．
解：以D1为坐标原点，以D1A1，D1C1，D1D所在直线为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系，如图所示；
设正方体内切球球心为S，MN是该内切球的任意一条直径，
则内切球的半径为1，
所以?＝（+）?（+）＝（+）?（﹣）＝﹣1∈[0，2]．
所以的取值范围是[0，2]．
故选：B．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二2000人、高三n人中，抽取90人进行问卷调查．已知高一被抽取的人数为36，那么高二被抽取的人数为　30　．
【分析】根据分层抽样的定义，建立比例关系即可．
解：高一年级抽取的人数为：90×＝36人，
则n＝1600；
则高二被抽取的人数90×＝30，
故答案为：30．
14．已知一扇形的圆心角为1弧度，半径为1，则该扇形的面积为　　．
【分析】直接代入扇形的面积公式即可求解．
解：根据扇形的面积公式可得S＝|α|r2＝×1×12＝．
故答案为：．
15．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率为，乙获胜的概率为，甲获胜的概率是　　，甲不输的概率　　．
【分析】甲获胜和乙不输是对立互斥事件，甲不输与乙获胜对立互斥事件，根据概率公式计算即可．
解：甲获胜和乙不输是对立互斥事件，
∴甲获胜的概率是1﹣（）＝，
甲不输与乙获胜对立互斥事件．
∴甲不输的概率是1﹣＝，
故答案为：，．
16．设D为△ABC所在平面内的一点，若，，则＝　﹣　．
【分析】根据向量减法法则进行分解求出λ，μ的值即可．
解：∵，
∴﹣＝3（﹣）＝3﹣3，
即2＝﹣3，
∴＝﹣，
∵，
∴λ＝，μ＝﹣，则＝﹣＝﹣，
故答案为：﹣
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．计算下列各式的值：
（I）+（）2+（﹣）0；
（Ⅱ）log327+lg25+1g4+log42．
【分析】（Ⅰ）直接利用有理指数幂的运算性质化简求值；
（Ⅱ）利用对数的运算性质化简求值．
【解答】（Ⅰ）+（）2+（﹣）0
＝
＝2﹣3+2﹣2+1
＝
＝；
（Ⅱ）log327+lg25+1g4+log42
＝
＝3+2lg5+2lg2+
＝3+2+
＝．
18．若角α的终边上有一点P（m，﹣8），且cosα＝﹣．
（1）求m的值；
（2）求的值．
【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，求得m的值．
（2）由题意利用诱导公式，化简所给式子的解析式，可得结果．
解：（1）点P到原点的距离为 r＝|OP|＝，
根据三角函数的概念可得cosα＝＝﹣，解得 m＝﹣6，或 m＝6（舍去）．
（2）＝＝﹣sinα，
由（1）可得 r＝＝10，sinα＝＝﹣，
∴原式＝﹣sinα＝．
19．已知函数是R上的偶函数．
（1）求a的值；
（2）解方程．
【分析】（1）根据f（x）为偶函数可得出f（﹣x）＝f（x）恒成立，从而可得出恒成立，从而可求出a＝1；
（2）根据（1）即可得出4?（2x）2﹣17?2x+4＝0，然后解出x的值即可．
解：（1）∵f（x）为偶函数，
∴f（﹣x）＝f（x）恒成立，
∴恒成立，
即恒成立，
∴，解得a＝±1，
∵a＞0，∴a＝1．
（2）由（1）知，
∴4?（2x）2﹣17?2x+4＝0，解得，
∴x＝±2，
所以原方程的解为x＝±2．
20．为了解某中学学生对《中华人民共和国交通安全法》的了解情况，调查部门在该校进行了一次问卷调查（共12道题），从该校学生中随机抽取40人，统计了每人答对的题数，将统计结果分成[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]六组，得到如下频率分布直方图．
（1）若答对一题得10分，未答对不得分，估计这40人的成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若从答对题数在[2，6）内的学生中随机抽取2人，求恰有1人答对题数在[2，4）内的概率．
【分析】（1）平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和．
（2）写出基本事件的个数和事件发生的个数，进而求出概率．
解：（1）因为答对题数的平均数约为（1×0.025+3×0.025+5×0.0375+7×0.125+9×0.1875+11×0.1）×2＝7.9．
所以这40人的成绩的平均分约为7.9×10＝79．
（2）答对题数在[2，4）内的学生有0.025×2×40＝2人，记为A，B；
答对题数在[4，6）内的学生有0.0375×2×40＝3人，记为c，d，e．
从答对题数在[2，6）内的学生中随机抽取2人的情况有（A，B），（A，c），（A，d），（A，e），（B，c），（B，d），（B，e），（c，d），（c，e），（d，e），共10种，
恰有1人答对题数在[2，4）内的情况有（A，c），（A，d），（A，e），（B，c），（B，d），（B，e），共6种，
故所求概率．
21．如图，已知三棱锥P﹣ABC的平面展开图中，四边形ABCD为边长等于2的正方形，△ABE和△BCF均为等边三角形．
（Ⅰ）求证：AC⊥PB；
（Ⅱ）求三棱锥P﹣ABC的体积．
【分析】（Ⅰ）取AC中点O，连接PO，BO．由题意得PO⊥AC，BO⊥AC，从而AC⊥面POB，由此能证明AC⊥PB．
（Ⅱ）推导出PO⊥AC．PO⊥OB．从而PO⊥平面ABC．由此能求出三棱锥P﹣ABC的体积．
解：（Ⅰ）证明：取AC中点O，连接PO，BO．
由题意得PO⊥AC，BO⊥AC，PO∩BO＝O，
所以AC⊥面POB，
又因为PB?面POB，所以AC⊥PB．
（Ⅱ）解：由题意，得PA＝PB＝PC＝2，
又，
所以，．
因为在△PAC中，PA＝PC，O为AC的中点，所以PO⊥AC．
因为在△POB中，，，PB＝2，
所以PO2+OB2＝PB2，所以PO⊥OB．
又因为AC∩OB＝O，AC，OB?平面ABC，
所以PO⊥平面ABC．
三棱锥P﹣ABC的体积．
22．已知O为坐标原点，对于函数f（x）＝asinx+bcosx，称向量为函数f（x）的伴随向量，同时称函数f（x）为向量的伴随函数．
（1）设函数，试求g（x）的伴随向量；
（2）记向量的伴随函数为f（x），求当且时sinx的值；
（3）由（1）中函数g（x）的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平移个单位长度得到h（x）的图象，已知A（﹣2，3），B（2，6），问在y＝h（x）的图象上是否存在一点P，使得．若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据辅助角公式进行化简，结合伴随向量的定义进行求解即可
（2）根据方程，结合两角和差的正弦公式进行转化求解即可
（3）根据三角函数的图象变换关系求出h（x）的解析式，结合向量垂直建立方程关系进行求解．
解：（1）∵
∴
∴g（x）的伴随向量；
（2）向量的伴随函数为，
∵，∴
∵，∴，∴，
（3）由（1）知：
将函数g（x）的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，得到函数，
再把整个图象向右平移个单位长得到h（x）的图象，得到，
设，∵A（﹣2，3），B（2，6），
∴，
又∵，∴
∴
即
∴（*）
∵，∴，
∴，
又∵，
∴当且仅当x＝0时，和同时等于，这时（*）式成立．
∴在y＝h（x）的图象上存在点P（0，2），使得．

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