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一元二次方程根的判别式、根与系数的关系的应用
1. 已知关于x的二次方程有实数根，求的取值范围。
2. 已知、是方程的两个实数根，求代数式的值。
分析一：消元
分析二：降次
3. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围。
(2)是否存在实数k，使方程的两个实根的倒数和等于0 若存在，求出k的值；若不存在，说明理由
4. 已知关于x的方程
（1）求证：这个方程总有两个实数根；
（2）若等腰的一边长a=4 ，另两边b、c的长恰好是这个方程的两个根，求的周长。
5. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根和。
（1）求实数m的取值范围；
（2）当时，求m的值。
6. 已知关于x的方程
（1）求证：这个方程总有两个相异的实数根；
（2）若这个方程的两个根和满足，求的值及相应的、。
7. 若方程的两个实根的倒数和是S，求S的取值范围。
8. 若方程的两个实数根的平方和等于11，求的值。一元二次方程根与系数的关系（探究和应用）
（一）探究：
一元二次方程在 时有实数根，
为x=
= ,
= = .
(二)应用：
1. 直接写出下列方程两根的和与积
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） 。
2. 已知方程的两根为，试求下列式子的值。
（1） ；（2） ；（3） ；（4） 。
3. 已知方程的两根为。
（1）试判断两根的符号； （2）求的值。
4. 已知方程的一根为6，求k的值及另一个根。
5. k为何值时，方程的两实根满足。
6. 已知方程两根之比为2：3，求m的值。
练习巩固
1. 直接写出下列方程两根的和与积
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） 。
2. 已知方程，则：
（1）m= 时，方程两根互为倒数；
（2）m= 时，方程两根互为相反数；
（3）m= 时，方程有一根为零。
3. 已知方程，分别求两根的
（1）倒数和；（2）平方和；（3）差。
4. 已知方程有一根为，求方程的另一根及b的值。
5. 已知方程两实根的平方和等于6，求k的值。
6. 已知方程，
（1）求证：方程必有两个不等实根；
（2）当k在什么范围时，两实根异号，且负根的绝对值较大。
7. 已知a、b、c为直角三角形三边（∠c=90°），且a、b为方程两根，求斜边c的长。
8. 已知a、b、c为直角三角形三边（∠c=90°），且a、b为方程两根，若斜边c的长为5，求的值。

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