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极值点偏移中点问题的探究
【例题呈现】
1.(2010天津理)已知函数f(x)=xe(x∈R)如果x≠x2,且f(x)=f(x2),证明:x+x2>2
【解析】法一:f(x)=(-x)e.令f"(x)=(1-x)e=0,则x
所以f(x)在区间(-∞,1)内是增函数,在区间(,+∞)内是减函数
函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)·且f(1)
.IT..I
记F(x)=f(1+x)-f(1-x),则F(x)=f"(1+x)+f(-x)=xe(e2-1)
当x>0时,F'(x)>0,当x<0时,F(x)>0.于是函数F(x)在区间R上是增函数
因此当x<0时,F(x)若(x1-1)(x2-1)=0,由f(x)单调性及f(x)=f(x2),得x1=x2,与x≠x2矛盾
若(x-1)(x2-1)>0,由f(x)单调性及f(x)=f(x2),得x=x,与x≠x2矛盾
因此(x1-1)(x2-1)<0.不妨设x1<1f(x)=f(x2)=f(1-(1-x2)>f(1+(1-x2)=f(2-x2)
为x2>1,所以2=x2<1,又x<1,又f(x)在区间(-∞,1)内是增函数,
所以x1>2-x2,即x1+x2>2
法二由题意:xe=xe分e=2,设t=x2-x,(>0),则x2=1+耳
x
2t
x1+x2=t+
因为x+x2>2分{+-2;>2台(t-2)(-1)+2>0
设g()=(-2)(-1)+2(>0,g()=(t-1le+1g"t)=l>0,
g()在!∈(0,+∞)单调递增,g()>g(O)=0,所以g(1)在t∈(0,+∞)单调递增,g()>g(0)=0,
从而(-2)(-1)+2>0,即x+x2>2.(注:也可利用1=,(>1)换元来实现)
点评】两种方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元不等式,方法一利用归纳的通法通过
消元来实现,法二则是通过换元来实现,x,x2能否用代换的变元t来表示是关键
法三:直接换元证法
x=h血互=,设x1,则x=,
xx
In
tx
In
x,
lnt+lnx=t→
In
t
In,=In
tx
,=Int+Inx=Int
nt
tIn
t
x.x.>eslnx
+Inx>29-Int
>2
Int>
t+1
点评】1.方法一通过取对数化归到极值点左移,对方程的合理变形是关键(这正是解决方程与不等式
问题的关键所在),因为要证x+hnx2>2,因此变形的方向是:lnx1,lnx2是新构建的函数的两个零
点,1是该函数的极值点
2方法二是在方程组血x=αxhx=αx无法求解得根的情况下,变形消去变元a,将原不等式转换为证
h-如2>2,集中变元后换元实现化单变元,法三是先构建xx2的等量关
lnxx,再
直接换元1=2来实现化单变元,

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