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第十四讲
公式与通项归纳
通项简单的说就是一个数列的规律，通过题目中的数据与等差数列，等比数列的通项公式之间的联系，推导出新数列的规律。
通项归纳法需要借助于代数，将算式化简，将“形似”的复杂算式及数列，用字母表示后化简为常见的一般形式。
1.能用数列的通项公式解题。
2.用代数的形式表示数，并通过化简代数式来化简算式。
例1：________
。
分析：方法一：令，则，两式相减，得。
方法二：找规律计算得到
答案：
例2：在一列数：中，从哪一个数开始，1与每个数之差都小于？
分析：这列数的特点是每个数的分母比分子大2，分子为奇数列，要1－＜，解出n＞999.5，从n＝1000开始，即从开始，满足条件
答案：
例3：计算：
分析：先找通项公式
原式
答案：
例4：
分析：（法1）：可先找通项
原式
（法2）：原式
答案：
例5：计算：
．
分析：本题的通项公式为，没办法进行裂项之类的处理．注意到分母，可以看出如果把换成的话分母的值不变，所以可以把原式子中的分数两两组合起来，最后单独剩下一个．
将项数和为100的两项相加，得
，所以原式．（或者，可得原式中99项的平均数为1，所以原式）
答案：
例6：计算：
分析：通项归纳，
原式
答案：
A
1.
计算：
分析：先找通项：
原式
答案：
2.计算：
分析：先通项归纳：，
原式
答案：
3.
分析：
原式＝＝
答案：
4.
分析：
原式
答案：
5.
计算：
分析：通项公式：，
原式
答案：
B
6.
分析：找通项
原式，
通过试写我们又发现数列存在以上规律，这样我们就可以轻松写出全部的项，所以有
原式
答案：
7.计算：
分析：由于，则，
原式
答案：
8.计算：
分析：（法1）：可先来分析一下它的通项情况，
原式=
（法2）：
答案：
9.
分析：通项为：，
原式
答案：
10.
分析：
原式==
答案：
C
11.
分析：虽然很容易看出＝，＝……可是再仔细一看，并没有什么效果，因为这不象分数裂项那样能消去很多项．我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式，
于是我们又有．．
减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个”呢？
＝
＝
＝
＝＝
＝＝．
答案：
12.计算：
分析：通项归纳：
原式=
答案：
13.计算：
分析：原式
通项归纳，
原式
答案：
14.计算：（共条分数线）
分析：
………………
，所以条分数线的话，答案应该为
答案：
1.下面的算式是按一定规律排列的,那么第100个算式的得数是多少?
4+3,5+6,6+9,7+12,…
解答：
仔细观察可知:
每个算式的第一个加数组成一个公差为1的等差数列:4,5,6,7,…;
每个算式的第二个加数组成一个公差为3的等差数列:3,6,9,12,…;
若要求第100个算式的得数,只要分别算出每个等差数列的第100项即可.
根据通项:
.
第一个加数为:4+(100-1)×1=4+99=103;
第二个加数为:3+(100-1)×3=3+99×3=3×100=300.
所以第100个算式的得数为:103+300=403.
2.
若干人围成8圈,一圈套一圈,从外向内各圈人数依次少4人.如果共有304人,最外圈有几人?
解答：
最外圈人数有:+(8-1)×4=(+28)人.
所以共有人数可表示为:
(+28)×8÷2=304
+28=76
=48
=24
最外圈有:
24+28=52(人).
3.
在1~100这一百个自然数中所有不能被11整除的奇数的和是多少?
解答：
(1+3+5+7+…+97+99)-(11+22+33+44+55+66+77+88+99)
=(1+99)×50÷2-[(11+99)×4+55]
=2500-495
=2005.
4.
在2949,2950,2951,…2997,2998这五十个自然数中,所有偶数之和比所有奇数之和多多少?
解答：
根据题意可列出算式:
(2950+2952+…+2998)-(2949+2951+…+2997)
注意到这两个等差数列的项数相等,公差相同,且对应项差为1,所以25项就差25个1,即
原式=(2950-2949)+(2952-2951)+…+(2998-2997)
=1+1+1+…+1
=25.
5.
求一切除以4后余1的两位数的和?
解答：
除以4后余1的最小两位数是多少?
12+1=13.
除以4后余1的最大两位数是多少?
96+1=97.
除以4后余1的两位数一共有多少个?
96÷4-2=22(个).
它们的和是:
13+17+21+…+97
=(13+97)×22÷2
=1210.
1.在1000到2000之间，所有个位数字是7的自然数之和是多少？
解答：
首先写出符合条件数列，在求值。
数列为：1007,1017,1027….1997
和为
(1007+1997)×100÷2=150200
2.在1～100这一百个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？
解答：
我们先计算1～100得自然数和，再减去能被9整除的自然数和，就是所有不能被9整除的自然数和了
1+2+……+100＝(1+100)×100÷2=5050
9+18+27+……+99＝(9+99)×11÷2=594
所有不能被9整除的自然数和：5050-594=4456
3.在1～100这一百个自然数中，所有不能被9整除的奇数的和是多少？
解答：
先计算1～100的奇数和，再减去能被9整除的奇数和。
1+3+……+99-(9+27+45+……+99)＝(1+99)×50÷2－(9+99)×6÷2=2176
4.在1～200这二百个自然数中，所有能被4整除或能被11整除的数的和是多少？
解答：
先求出能被4整除的自然数和，再求出能被11整除的自然数和，将二者相加，但是此时得到的不是题目需要的和，因为44、88等数在两个数列中都存在，也就是说能被44整除的数列被计算了两次，所以我们还应改减去能被44整除的数列和。
(4+8+12+……+200)+(11+22+33+……+198)-(44+88+132+176)=(4+200)×50÷2+(11+198)×18÷2-(44+176)×4÷2＝6541
5.有一列数：1，1993，1992，1，1991，1990，1，……，从第三个数起，每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差。求从第一个数起到第1993个数这1993个数之和。
解答：
经过观察可以发现，这是由两个数列组成的数列，一个是全1，另一个是公差为1，首项为1993的等差数列，把1,1993,1992这样三个数算为一组，整个数列到第1993个的时候应该有1993÷3＝664组，最后一个数是1，所以总共有665个1，等差数列有664×2项，最后四个数是1,667,666,1
分为两个数列求和：
(1993+666)×1328÷2+1×665＝1766241
6.求所有加6以后能被11整除的三位数的和。
解答：
我们可以先求能被11整除的三位数和，然后再减去
项数×6，同时还要求这些三位数减去6后仍然是三位数。
110-6+121-6+……+990-6+1001-6=(110+1001)×92÷2-6×92＝50554
7.利用公式，计算：
解答：
公式是一个从1到n2的和，而要求计算的是152到212的和，我们可以通过适当的变换，将要求的算式变成能套用公式的形式。
=
=
=2296
8.求和
解答：
这类题我们可以用裂项的办法来求解。我们知道：
将题目中每项都按照上面的公式拆分，就可以很方便的计算出结果。
＝
＝
＝
＝330
9.计算：
解答：
上面序列的通项公式为，我们可以这样来裂项：
＝
＝
＝362879第十四讲
公式与通项归纳
通项简单的说就是一个数列的规律，通过题目中的数据与等差数列，等比数列的通项公式之间的联系，推导出新数列的规律。
通项归纳法需要借助于代数，将算式化简，将“形似”的复杂算式及数列，用字母表示后化简为常见的一般形式。
1.能用数列的通项公式解题。
2.用代数的形式表示数，并通过化简代数式来化简算式。
例1：________
。
例2：在一列数：中，从哪一个数开始，1与每个数之差都小于？
例3：计算：
例4：
例5：计算：
．
例6：计算：
A
1.
计算：
2.计算：
3.
4.
5.
计算：
B
6.
7.计算：
8.计算：
9.
10.
C
11.
12.计算：
13.计算：
14.计算：（共条分数线）
1.下面的算式是按一定规律排列的,那么第100个算式的得数是多少?
4+3,5+6,6+9,7+12,…
2.
若干人围成8圈,一圈套一圈,从外向内各圈人数依次少4人.如果共有304人,最外圈有几人?
3.
在1~100这一百个自然数中所有不能被11整除的奇数的和是多少?
4.
在2949,2950,2951,…2997,2998这五十个自然数中,所有偶数之和比所有奇数之和多多少?
5.
求一切除以4后余1的两位数的和?
1.在1000到2000之间，所有个位数字是7的自然数之和是多少？
2.在1～100这一百个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？
3.在1～100这一百个自然数中，所有不能被9整除的奇数的和是多少？
4.在1～200这二百个自然数中，所有能被4整除或能被11整除的数的和是多少？
5.有一列数：1，1993，1992，1，1991，1990，1，……，从第三个数起，每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差。求从第一个数起到第1993个数这1993个数之和。
6.求所有加6以后能被11整除的三位数的和。
7.利用公式，计算：
8.求和
9.计算：

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