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浅谈中考数学规律题的解题方法
增城市朱村街第二中学 刘成星
（2011年6月25日）
摘要：规律题的练习可以灵动学生的数学思维，在平时的练习中可以提高学生的数学技能，活跃学生的数学思维。近年来，在中考中常常有关于规律题的考查，但学生的得分率比较低，主要原因没有引起教师教学的重视，学生平时练习少。在中考复习时，规律题零星的会出现在复习指导书中，多数教师也只是在复习过程中哪里有这样的题，就让学生练习那样的题，哪里有出现规律题的练习就让学生练习，没有联系知识引导学生寻找规律的方法，教会学生学会找规律的的方法，必须引起重视。
关键词：教学 规律题 解题方法
现行初中数学教学书没有单独成章成节的“规律”教学，但在中考试题中常常有找规律的题目，所涉及的知识面广，综合性强，主要考察学生的观察能力、归纳能力。让学生摸不着头脑，常常一头莫展。下面就谈谈规律题的解题方法：
虽然找规律的题目形式多样，但归结起来主要有以下三种情形。
利用图形的变换找规律
初中图形的变换有平移、轴对称、旋转。但轴对称和旋转的题型较常见。教学中应以轴对称和旋转为重点，抓住概念的特征找出变化的规律。
1.1利用轴对称找规律：如果一个图形沿着一条直线对折,直线两侧的图形能够完全重合,这个图形就是轴对称图形。 对称轴:折痕所在的这条直线叫做对称轴。例如，仔细观察下列图案，如图1，并按规律在横线上画出合适的图形。
图1
根据轴对称图形的定义可知，这些图形是字母顺序是B、C、D、F、G横线上画出合适的图形是E。
又如把26个英文字母按规律分成5组，现在还有5个字母D、M、Q、X、Z，请你按原规律补上，其顺序依次为（　　）
（1）F，R，P，J，L，G，（ ）
（2）H，I，O，（　　）
（3）N，S，（　　）
（4）B，C，K，E，（　　）
（5）V，A，T，Y，W，U，（　　）
A、Q，X，Z，M，D B、D，M，Q，Z，X
C、Z，X，M，D，Q D、Q，X，Z，D，M
分析各组的对称性与字母D、M、Q、X、Z，的对称性，即可作出判断：
（1）中所给的字母既不是对称图形，又不是中心对称图形，则应是Q；
（2）中所给的字母有两条对称轴，并且两对称轴互相垂直，则应是X；
（3）中所给的字母是中心对称图形，则应是Z；
（4）中所给的字母是轴对称图形，对称轴是一条水平的直线，则应是D；
（5）中所给的字母是轴对称图形，对称轴是竖直的直线，则应是M．
可知顺序依次为：Q，X，Z，D，M．故选D．
1.2利用旋转找规律：在平面内，一个图形绕着一个顶点旋转一定的角度得到另一个图形的变化较做旋转，定点O叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角，原图形上的一点旋转后成为的另一点成为对应点。例如 分析图2①,②,④中阴影部分的分布规律，按此规律在图2③中画出其中的阴影部分.
① ② ③ ④ ⑤
图2
观察可知，旋转中心是两条对角线的交点，旋转角是90°，所以可画出③中的阴影部分为图2⑤。
2、数与式关系问题
2.1、等式规律 ：例如，观察下列顺序排列的等式：
9×0＋1＝1，
9×1＋2＝11，
9×2＋3＝21，
9×3＋4＝31，
9×4＋5＝41，
…… ．
猜想：第n个等式（n为正整数）应为____________________________．
分析：观察可知，9是常量，因为第n个等式的n为正整数，从上往下看等式左边的0、1、2、3、4……与序号n的关系可表示为（n-1），而1、2、3、4、5……与序号n相同可表示为n，等号右边与序号n的关系可表示为10n+1,所以第n个等式（n为正整数）应为9（n-1）+n=10n+1。
2.2、分式规律：例如，（2008年北京市）一组按规律排列的式子：，，，，…（），其中第7个式子是 ，第个式子是 （为正整数）．
分析，(1)观察各分式的系数，第1个分式的系数是-1，第2个分式的系数是1，第3个分式的系数是-1，第4个分式的系数是1，…，因为为正整数，所以各分式的系数为（-1）n;(2)观察各分式的分母依次是a、a2、a3、a4，…故可表示为an,（3）观察各分式的分子依次是b2、b5、b8、b11 …，故分母可以表示为，所以第个式子是。当n=7时，第7个式子是 。
3.用一次函数的待定系数法来求解
初中数学找规律的题目中，很多找规律的题目是可以用一次函数的待定系数法来求解的，这类题目的共性是：如果把序号作为横坐标，它的对应值作为纵坐标，描在直角坐标系中，所描的点连起来在同一条直线上，那么这样的规律题就可以用一次函数的待定系数法来求解。例如，如图3-①，图3-②，图3-③，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第个“广”字中的棋子个数是________
……
① ② ③
图3
学生在做第一空格的时候容易完成，但要完成第二个空格的时候就就范难了，因为他需要用含n的代数式来表示第n个“广”字。其实这规律是一种函数的对应关系，第1个“广”字有7个棋子，第2个“广”字有9个棋子，第3个“广”字有11个棋子，第4个“广”字有13个棋子，这里的第n个的n看作是函数的自变量，第n “广”字的个数看作是函数，这种对应的关系就是一次函数的对应关系，故可用一次函数的待定法来求解。设第n “广”字中棋子的个数为S，则分别把（1，7）和（2，9）代入上式得
解得所以函数关系式为,
当时，第5广”字中的棋子个数是15。
第个“广”字中的棋子个数是。
又如，为庆祝“六·一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图4所示：
图4
按照上面的规律，摆个“金鱼”需用火柴棒的根数为（ ）
A． B． C． D．
显然，这题也是可以用一次函数的待定系数法来求解的，故选A．
4.用二次函数的待定系数法来求解
这类的题目也是很多的，且难度比较大。教师应与学生共同讨论，分析这类题型的共性。这类题目的共性是：如果把序号作为横坐标，它的对应值作为纵坐标，描在直角坐标系中，所描的点连起来在同一条抛物线上，那么这样的规律题就可以用二次函数的待定系数法来求解。例如，如图5，都是由边长为1的正方体叠成的图形。
图5
例如第①个图形的表面积为6个平方单位，第②个图形的表面积为18个平方单位，第③个图形的表面积是36个平方单位。依此规律，则第⑤个图形的表面积 个平方单位。
分析：把序号看作自变量，表面积看作是序号的函数，把它们的对应值即（1，6）、（2，18）和（3、36）描在直角坐标系中，可以发现抛物线经过这三个点，故可用二次函数的待定系数法来求解。
解：设函数关系式为,分别把（1，6）、（2，18）和（3、36）代入上式得，
解得 ， ， .
所以，,
当时，.
所以，第⑤个图形的表面积是90个平方单位.
综上所述，初中数学规律题是所学知识的运用，符合学生的认知规律，只要我们细心探究，就能得出正确的答案。
参考书目： [1]广州市初中毕业生学业指导书.数学/广州市教育局数学研究室编.—广州：广东教育出版社，2011.1
[2]广州市义务教育阶段学科学业质量评价标准·数学/广州市教育局数学研究室编.—广州：广东教育出版社，2009.10
[3]初中数学专题讲座/广州市教育局数学研究室编.—4版. —广州：新世纪出版社，2010.1
[4]初中升学复习指导·数学/周国强主编.—广州：中山大学出版社，2009.11（修订）
……
①
②
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