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一元一次不等式（组）的应用
一、选择题
7．（2020·杭州）在某次演讲比赛中，五位评委给选手圆圆打分，得到互不相等的五个分数．若去掉一个最高分，平均分为x；去掉一个最低分，平均分为y；同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分为z，则（　　）
A．
B．
C．
D．
{答案}A
{解析}本题考查了算术平均数，设五位评委给选手圆圆打分为a，b，c，d，e，其中a＜b＜c＜d＜e，则x＝(a＋b＋c＋d)，y＝(b＋c＋d＋e)，z＝(b＋c＋d)，所以x－z＝(a＋b＋c＋d)－(b＋c＋d)＝(3a－b－c－d)，因为a＜b，a＜c，a＜d，所以a＋a＋a＜b＋c＋d，即3a－b－c－d＜0，所以x－z＜0，所以x＜z，即z＞x．因为y－z＝(b＋c＋d＋e)－
(b＋c＋d)＝(3e－b－c－d)，因为b＜e，c＜e，d＜e，所以b＋c＋d＜3e，所以3e－b－c－d＞0，所以y－z＞0，所以y＞z．综合知y＞z＞x，因此本题选A．
8．（2020·常德）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处，按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是
A．C、E
B．E、F
C．G、C、E
D．E、C、F
{答案}
D{解析}设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，
因棋子移动了k次后走过的总格数是，应停在第格，这时P是整数，且使，分别取，2，3，4，5，6，7时，，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，
若，设2，代入可得，，
由此可知，停棋的情形与时相同，
故第2，4，5格没有停棋，即顶点C，E和F棋子不可能停到，因此本题选D．
7．（2020·重庆B卷）小明准备用40元钱购买作业本和签字笔．已知每个作业本6元，每支签字笔2.2元．小明买了7支签字笔，他最多还可以买的作业本个数为（
）
A．5
B．4
C．3
D．2
{答案}B
{解析}本题考查了不等式的应用，设小明买了x个作业本，根据题意，得6x+2.2×7≤40，解得x≤4.1，即他最多还可以买4个作业本，因此本题选B
10．（2020·宜宾）某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶6个，市场上有A型和B型两种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶500元/个，B型分类垃圾桶550元/个，总费用不超过3100元，则不同的购买方式有（　　）
A．2种
B．3种
C．4种
D．5种
{答案}B
{解析}设购买A型分类垃圾桶x个，则B型分类垃圾桶（6－x）个，根据“总费用不超过3100元”列出不等式500x＋550（6－x）≤3100，解得x≥4，又由于6－x≥0，得x≤6，因为x为整数，所以x＝4，5，6，6－x＝2，1，0，所以不同的购买方式有3种．
二、填空题
15．（2020·绍兴）有两种消费券：A券，满60元减20元，B券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元，30元．小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，则所购商品的标价是　
　元．
{答案}85或100
{解析}本题考查了一元一次方程的应用，分类讨论思想．不妨设商品标价为x元，若x≤60，显然不成立；若60＜x＜90，则2x-20=150，得x=85；若x≥90，则2x-20-30=150，x=100，综上所述，x=85或100．因此本题答案为85或100．
16．（2020·绵阳）我市认真落实国家“精准扶贫”政策，计划在对口帮扶的贫困县种植甲、乙两种火龙果共100亩．根据市场调查，甲、乙两种火龙果每亩的种植成本分别为0.9万元、1.1万元，每亩的销售额分别为2万元、2.5万元．如果要求种植成本不少于98万元，但不超过100万元，且所有火龙果能全部售出，则该县在此项目中获得的最大利润是
万元．（利润=销售额－种植成本）
{答案}125
{解析}设种植甲种火龙果x亩，则种植乙种火龙果(100－x)亩．根据“甲、乙两种火龙果每亩的种植成本分别为0.9万元、1.1万元”得甲、乙两种火龙果的种植成本分别为0.9x万元、1.1(100－x)万元，结合已知条件“要求种植成本不少于98万元，但不超过100万元”可得不等式组98≤0.9x＋1.1(100－x)≤100，解得50≤x≤60．根据“每亩的销售额分别为2万元、2.5万元，且所有火龙果能全部售出．”可知利润为w＝(2－0.9)x＋(2.5－1.1)(100－x)＝－0.3x＋140，∵－0.3＜0，∴w随x的增大而减小，故当x＝50时w最大值为－0.3×50＋140＝125（万元）．故答案为125万元．
(2020·南充）14.笔记本5元/本，钢笔7元/支，某同学购买笔记本和钢笔恰好用去100元，那么最多可以购买钢笔
支.
{答案}10
{解析}设购买了笔记本x本，钢笔y支，由题意得：5x+7y=100.所以≥0.解得.所以y可以取14，13，12，11，10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0.又因为x，y要取整数，所以y取5的倍数即10，5.而最大的是10.所以钢笔最多买10支.
14.
（2020·攀枝花）
世纪公园的门票是每人5元；一次购门票满40张，每张门票可少收1元.
若少于40人时，一个团队至少要有
人进公园，买40张门票反而合算.
{答案}33
{解析}设x人进公园，若购满40张票则需要：40×（5-1）=40×4=160（元），故5x＞160时，解得：x＞32，则当有32人时，购买32张票和40张票的价格相同，则再多1人时买40张票较合算；32+1=33（人）．则至少要有33人去世纪公园，买40张票反而合算．
15．
（2020?宁夏）《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某兴趣小组阅读四大名著的人数，同时满足以下三个条件：
（1）阅读过《西游记》的人数多于阅读过《水浒传》的人数；
（2）阅读过《水浒传》的人数多于阅读过《三国演义》的人数；
（3）阅读过《三国演义》的人数的2倍多于阅读过《西游记》的人数．
若阅读过《三国演义》的人数为4，则阅读过《水浒传》的人数的最大值为　6　．
【解析】设阅读过《西游记》的人数是a，阅读过《水浒传》的人数是b（a，b均为整数），
依题意，得：，
∵a，b均为整数
∴4＜b＜7，
∴b最大可以取6．
故答案为：6．
三、解答题
22．（2020·遵义）为倡导健康环保，自带水杯已成为一种好习惯，某超市销售甲，乙两种型号水杯，进价和售价均保持不变，其中甲种型号水杯进价为25元/个，乙种型号水杯进价为45元/个，下表是前两月两种型号水杯的销售情况:
时间
销售数量(个)
销售收入(元)
(销售收入＝售价×销售数量)
甲种型号
乙种型号
第一月
22
8
1100
第二月
38
24
2460
(1)求甲、乙两种型号水杯的售价:
(2)第三月超市计划再购进甲、乙两种型号水杯共80个这批水杯进货的预算成本不超过2600元，且甲种型号水杯最多购进55个，在80个水杯全部售完的情况下设购进甲种号水杯a个，利润为w元，写出w与a的函数关系式，并求出第三月的最大利润．
{解析}本题考查二元一次方程组、一元一次不等式、一次函数的实际应用.（１）由题中的等量关系：甲种型号销售收入＋乙种型号销售收入＝总销售收入列解方程组即可得解；（2）由“第三月超市计划再购进甲、乙两种型号水杯共80个这批水杯进货的预算成本不超过2600元，且甲种型号水杯最多购进55个”列不等式组，求出甲种型号水杯a的取值范围，再由总利润w＝甲种型号水杯的利润+乙种型号水杯的利润列出关于w与a的函数关系式，根据一次函数的性质得到第三月的最大利润．
{答案}解:
(1)设甲种型号水杯售价为x元，乙种型号水杯售价为y元，
根据题意，得解得答:甲种型号水杯售价为30元，乙种型号水杯售价为55元．
(2)
由题意得解得50≤a≤55．
w＝(30－25)a＋(55－45)(80－a)＝－5a＋800．
∵－5<0，
∴w随a的增大而减小．∴当a＝50时，w有最大值，最大为550.
答:第三月的最大利润为550元．
25．（2020·哈尔滨）昌云中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪.若购买1个大地球仪和3个小地球仪需用136元；若购买2个大地球仪和1个小地球仪需用132元.
（1）求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元；
（2）昌云中学决定购买以上两种地球仪共30个，总费用不超过960元，那么昌云中学最多可购买多少个大地球仪？
{解析}本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式的应用；能够通过已知条件列出准确的方程组和不等式是解题的关键，（1）设每个大地球仪x元，每个小地球仪y元，根据题意得：，求解即可；（2）设设昌云中学可以购买m个大地球仪,则购买小地球仪(30－m)个，根据题意不超过是≤，所以列式得：52m＋28(30－m)≤960，即可求解．
{答案}解：(1)解:设每个大地球仪x元，每个小地球仪y元
根据题意得
解得∴每个大地球仪52元，每个小地球仪28元
(2)解:设昌云中学可以购买m个大地球仪,则购买小地球仪(30－m)个.
根据题意得52m＋28(30－m)≤960解得m≤5∴昌云中学最多可以购买5个大地球仪.
21.
（2020·苏州）如图，“开心”农场准备用的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为，宽为.
（1）当时，求的值；
（2）受场地条件的限制，的取值范围为，求的取值范围.
{解析}（1）根据a，b关系列代数式，求时代数式的值；（2）根据的取值范围列一元一次不等式组求解．
{答案}解：（1）由题意得：，当时，.解得.
（2）∵，，∴解这个不等式组，得.
答：矩形花园宽的取值范围为.
20．（2020·福建）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元.由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨.
（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？
（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润.
{答案}解：（1）设这个月该公司销售甲特产吨，则销售乙特产吨.
依题意，得，
解得，则.
经检验符合题意.
所以，这个月该公司销售甲特产15吨，乙特产85吨.
（2）设一个月销售甲特产吨，则销售乙特产吨，且.
公司获得的总利润.
因为，所以随着的增大而增大.
又因为，
所以当时，公司获得的总利润的最大值为26万元.
故该公司一个月销售这两种特产能获得的最大总利润为26万元.
（2020·济宁）20.(8分)为加快复工复产，某企业需运输批物资．据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱．
（1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资；
（2）计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元．请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少．最少费用是多少？
{解析}（1）设1辆大货车一次运输x箱物资，1辆小货车一次运输y箱物资，由“2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱”，可列方程组，即可求解；
（2）设有a辆大货车，（12﹣a）辆小货车，由“运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元”可列不等式组，可求整数a的值，即可求解．
{答案}解：（1）设1辆大货车一次运输x箱物资，1辆小货车一次运输y箱物资，
由题意可得：，
解得：，
答：1辆大货车一次运输150箱物资，1辆小货车一次运输100箱物资，
（2）设有a辆大货车，（12﹣a）辆小货车，
由题意可得：，
∴6≤a＜9，
∴整数a＝6，7，8；
当有6辆大货车，6辆小货车时，费用＝5000×6+3000×6＝48000元，
当有7辆大货车，5辆小货车时，费用＝5000×7+3000×5＝50000元，
当有8辆大货车，4辆小货车时，费用＝5000×8+3000×4＝52000元，
∵48000＜50000＜52000，
∴当有6辆大货车，6辆小货车时，费用最小，最小费用为48000元．
（2020·德州）23.（12分）小刚去超市买画笔，第一次花60元买了若干支A型画笔，第二次超市推荐了B型画笔，但B型画笔比A型画笔的单价贵2元，他又花100元买了相同支数的B型画笔.
（1）超市B型画笔单价多少元？
（2）小刚使用两种画笔后，决定以后使用B型画笔，但感觉其价格稍贵，和超市沟通后，超市给出以下优惠方案：一次性购买不超过20支，则每支B型画笔打九折；若一次购买超过20支，则前20支打九折，超过的部分打八折，设小刚购买的B型画笔x支，购买费用为y元，请写出y关于x的函数关系式.
（3）在（2）的优惠方案下，若小刚计划用270元购买B型画笔，则能购买多少支B型画笔？
{解析}（1）设超市B型画笔单价为未知数，根据等量关系列方程求出未知数的值.
（2）分别求出B型画笔支数x≤20和x＞20时的函数关系.
{答案}解：（1）设超市B型画笔单价a元，则A型画笔单价为（a-2）元，
由题意列方程，得，
解得，.
经检验是原分式方程的根.
答：超市B型画笔单价是5元.
（2）由题意知，
当小刚购买的B型画笔支数x≤20时，费用为y=0.9×5x=4.5x；
当小刚购买的B型画笔支数x＞20时，费用为y=20×0.9+（x-20）×0.8×5=4x+10.
所以，其中x为正整数.
（3）当4.5x=270（x≤20）时，解得x=60，因为60＞20不符合题意，舍去.
当4x+10=270（x＞20）时，解得x=65.
答：小刚能购买65支B型画笔.
22.（2020·湖北孝感）某电商积极响应市政府号召，在线销售甲、乙、丙三种农产品，己知1kg乙产品的售价比1kg甲产品的售价多5元，1kg
内产品的售价是1kg甲产品售价的3倍，用270元购买丙产品的数量是用60元购买乙产品数量的3倍.
(1)求甲、乙、丙三种农产品每千克的售价分别是多少元?
(2)电商推出如下销售方案:甲、乙、丙三种农产品搭配销售共40kg，其中乙产品的数量是丙产品数量的2倍，且甲、丙两种产品数重之和不超过乙产品数量的3倍.请你帮忙计算，按此方案购买40kge农产品最少要花费多少元?
{解析}本题考查列方程解应用题和用一次函数求实际问题中的最值.
根据题意找到相等关系用270元购买丙产品的数量是购买乙产品数量的3倍，分别用含未知数的代数表示这个相等关系就可得到方程.解出方程可得甲乙丙三种产品的售价.
用函数关系表示出购买40千克农产品的费用，再根据取值范围求出最值即可.
{答案}解：设1kg甲产品的售价为元，则1kg乙产品的售价为（+5）元，1kg丙产品的售价为3元，由题意得：，
解得：,经检验，既符合方程也符合题意.∴+5＝10，3＝15.
所以甲乙丙三种农产品每千克的售价分别为5元，10元，15元.
设40kg农产品中有丙产品kg，则有乙产品2kg,甲产品有（40－3）kg,
∴40－3+≤2×3
，解得：≥5.
设按此方案购买农产品40kg所需费用为元，由题意，得：
＝20+200.
∵随的增大而增大，∴当＝5时，取最小值，且.
所以，按此方案购买40kg农产品最少需要花费300元.
22.（2020·达州）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表：
原进价（元张）
零售价（元张）
成套售价（元/套）
餐桌
a
380
940
餐椅
a﹣140
160
已知用元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同．
（1）求表中的值；
（2）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的倍还多张，且餐桌和餐椅的总数量不超过张．若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
{解析}（1）由等量关系“600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同”列方程即可解得a的值；（2）根据题中的不等关系列出不等式求得餐桌、餐椅的数量所满足的关系，再根据题意列出利润关于餐桌、餐椅的函数关系式，利用函数的性质求最值即可.
{答案}（1）由题意得，
解得a=260，
经检验：a=260是原方程的解，且符合实际意义.
答：a的值为260.
（2）设商场获得的利润为W，购进餐桌x张，则购进的餐椅数量为（5x＋20）张，
由题意得x＋5x＋20≤200，
解得x≤30，
W=【940－260－4×（260－140）】＋（380－260）＋（5x＋20－）（160－260＋140）
整理得：W=280x＋800
∵280＞0，x≤30，
∴W随x的增大而增大，且当x=30时，W取最大值，W最大=280×30＋800=9200（元）
当x=30时，5x＋20=170，
答：当购进30张餐桌，170张餐椅时，获得的利润最大，最大利润为9200元.
24．（2020·常州）(8分)某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买
2千克苹果和1千克梨共需22元．
（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；
（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？
{答案}解：（1）1千克苹果x元，1千克梨y元；
所列方程组为，
解得
答：1千克苹果8元，1千克梨6元.
（2）设购买苹果a千克，则购买梨（15－a）千克
8a＋6(15－a)≤100
a≤5
答：最多买5千克苹果．
{解析}考查列二元一次方程组及列一元一次不等式解决实际问题；（1）根据两个总价得到相应的关系式是解决本题的关键．关系式为：1千克苹果与2千克梨的总价＝13；2千克苹果与1千克梨的总价＝14，把相关数值代入即可．（2）根据总价不超过100元列不等式．
25．（2020·天水）天水市某商店准备购进A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用2000元购进A种商品和用1200元购进B种商品的数量相同．商店将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元．
（1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？
（3）“五一”期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A种商品售价优惠m（10＜m＜20）元，B种商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出m的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案．
{解析}（1）设A种商品每件的进价是x元，根据用2000元购进A种商品和用1200元购进B种商品的数量相同，列分式方程，解出可得结论；
（2）设购买A种商品a件，根据用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，列不等式组，求出正整数解可得结论；
（3）设销售A、B两种商品总获利y元，根据y＝A商品的利润＋B商品的利润，根据m的值及一次函数的增减性可得结论．
{答案}解：（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为(x－20)元．
依题意得＝，解得x＝50，经检验x＝50是原方程的解且符合题意．
当x＝50时，x－20＝30．
答：A种商品每件的进价为50元，B种商品每件的进价为30元．
（2）设购进A种商品a件，购进B种商品(40－a)件，
依题意得解得≤a≤18，
∵a为整数，∴a＝14，15，16，17，18．
∴该商店有5种进货方案．
（3）设销售A、B两种商品总获利y元，则
y＝(80－50－m)a＋(45－30)(40－a)＝(15－m)a＋600．
①当m＝15时，15－m＝0，y与a的取值无关，即（2）中的五种方案都获利600元；
②当10＜m＜15时，15－m＞0，y随a的增大而增大，∴当a＝18时，获利最大，
即在（2）的条件下，购进A种商品18件，购进B种商品22件，获利最大；
③当15＜m＜20时，15－m＜0，y随a的增大而减小，∴当a＝14时，获利最大，
即在（2）的条件下，购进A种商品14件，购进B种商品26件，获利最大．
21．（2020·深圳）端午节前夕，某商铺用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元．
（1）肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元？
（2）由于粽子畅销，商铺决定再购进这两种粽子共300个，其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍，且每种粽子的进货单价保持不变．若肉粽的销售单价为14元，蜜枣粽的销售单价为6元，试问第二批购进肉粽多少个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大？第二批粽子的最大利润是多少元？
{解析}（1）本题可以列一元一次方程或二元一次方程组解决，抓住相等关系“50个肉粽的进价＋30个蜜枣粽的进价＝620元”；
（2）设第二批购进肉粽y个，根据肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍，求得y的取值范围；再设获得利润为W元，根据W＝肉粽的销售利润＋蜜枣粽的销售利润，得到W关于y的一次函数，再根据一次函数的性质可得结论．
{答案}解：（1）设蜜枣粽的进货单价为x元，则肉粽的进货单价是（x＋6）元．
由题意知，50（x＋6）＋30x＝620，
解得x＝4，
∴x＋6＝10．
答：肉粽的进货单价为10元，蜜枣粽的进货单价为4元．
（2）设第二批购进肉粽y个，则蜜枣粽购进（300－y）个，共获得利润为W元．
由题意知，W＝（14－10）y＋（6－4）（300－y）＝2y＋600．
∵2＞0，∴W随y的增大而增大．
∵y≤2（300－y），∴y≤200．
∴当y＝200时，W取最大值，W最大＝1000元．
答：购进肉粽200个时，总利润最大，最大利润为1000元．
24.
(2020·湘潭)习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届矛盾文学奖的《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书共50本．已知购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元；购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同．
（1）求这两种书的单价；
（2）若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？
{解析}（1）设购买《北上》和《牵风记》的单价分别为x、y，根据“购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元”和“
购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元”建立方程组求解即可；
（2）设购买《北上》的数量n本，则购买《牵风记》的数量为50-n，根据“购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半”和“购买两种书的总价不超过1600元”两个不等关系列不等式组解答并确定整数解即可．
{答案}解：（1）设购买《北上》和《牵风记》的单价分别为x、y
由题意得：
解得
答：两种书的单价分别为35元和30元；
（2）设购买《北上》的数量n本，则购买《牵风记》的数量为50-n
根据题意得解得：
则n可以取17、18、19、20，
当n=17时，50－n=33，共花费17×35+33×30=1585元；
当n=18时，50－n=32，共花费17×35+33×30=1590元；
当n=19时，50－n=31，共花费17×35+33×30=1595元；
当n=20时，50－n=30，共花费17×35+33×30=1600元；
所以，共有4种购买方案分别为：购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为18本和32本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为19本和31本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为20本和30本；其中购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本费用最低，最低费用为1585元．
22．（2020·长沙）今年6月以来，我国多地遭遇强降雨，引发洪涝灾害，人民的生活受到了极大的影响，“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用A,B两种型号的货车，分两批运往受灾严重的地区，具体运算情况如下：
第一批
第二批
A型货车的辆数（单位：辆）
1
2
B型货车的辆数（单位：辆）
3
5
累计运送货物的顿数（单位：吨）
28
50
备注：第一批、第二批每辆货车均满载
（1）求A,B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？
（2）该市后续又筹集了62.4吨生活物资，现已联系了3辆A型号货车，试问至少还需联系多少辆B型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地？
{解析}本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）设A种型号货车每辆满载能运x吨生活物资，B种型号货车每辆满载能运y吨生活物资，根据前两批具体运算情况数据表中累计吨数，即可得出关于二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设还需联系m辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地，根据要求一次性至少运送62.4吨生活物资，即可得出关于m的一元一次不等式，最后要注意m一定是整数，所以解后取其中最小的整数值即为结论．
{答案}解：（1）设A种型号货车每辆满载能运x吨生活物资，
B种型号货车每辆满载能运y吨生活物资，
依题意，得：，解得：．
答：
A种型号货车每辆满载能运10吨生活物资，
B种型号货车每辆满载能运6吨生活物资．
（2）设还需联系m辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地，
依题意，得：3×10＋6m≥62.4，解得：m≥5.4，
又∵m为正整数，∴m的最小值为6．
答：至少还需联系6辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地．
（2020·包头）23、某商店销售A、B两种商品，A种商品的销售单价比B种商品的销售单价少40元，2件A种商品和3件B种商品的销售总额为820元．
（1）求A种商品和B种商品的销售单价分别为多少元？
（2）该商店计划购进A、B两种商品共60件，且A、B两种商品的进价总额不超过7800元，已知A种商品和B种商品的每件进价分别为110元和140元，应如何进货才能使这两种商品全部售出后总获利最多？
{解析}（1）（1）设A和B的销售单价分别是x和y，根据题意列出二元一次方程组即可求解；
（2）设A进货m件，根据题意可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得到结果．
{答案}（1）设A种商品和B种商品的销售单价分别为x元和y元，
根据题意可得，
解得，
∴A种商品和B种商品的销售单价分别为140元和180元．
（2）设购进A商品m件，则购进B商品件，
根据题意可得：，
解得：，
令总利润为w，则，
，
∴当时，获得利润最大，此时，
∴A进20件，B进40件时获得利润最大．
19．（2020·宜昌）红光中学学生乘汽车从学校去研学旅行基地，以75千米/小时的平均速度，用时2小时到达.由于天气原因，原路返回时汽车平均速度控制在不低于50千米/小时且不高于60千米/小时的范围内，这样需要用t小时到达.求t的取值范围.
{解析}本题考查了不等式组的应用．设时间t为未知数，由75千米/小时的速度用时2小时到达可知路程为150千米．原路返回的汽车平均速度控制在不低于50千米/小时且不高于60千米/小时的范围内可以得出两个不等关系，列出不等式组即可得出时间t的范围．
{答案}解：方法一：,
,
,
∴t的取值范围2.5≤t≤3
方法二:
,解①得
t≤3
解②得t≥2.5
,
∴t的取值范围2.5≤t≤3
22．（2020·恩施）某校足球队需购买、两种品牌的足球．已知品牌足球的单价比品牌足球的单价高20元，且用900元购买品牌足球的数量用720元购买品牌足球的数量相等．
（1）求、两种品牌足球的单价；
（2）若足球队计划购买、两种品牌的足球共90个，且品牌足球的数量不小于品牌足球数量的2倍，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元．设购买品牌足球个，总费用为元，则该队共有几种购买方案？采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？
{解析}（1）设购买A品牌足球的单价为x元，则购买B品牌足球的单价为（x-20）元，根据用900元购买品牌足球的数量用720元购买品牌足球的数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买m个A品牌足球，则购买（90?m）个B品牌足球，根据总价＝单价×数量结合总价不超过8500元，以及品牌足球的数量不小于品牌足球数量的2倍，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之取其中的最小整数值即可得出结论．
{答案}解：（1）设购买A品牌足球的单价为x元，则购买B品牌足球的单价为（x-20）元，根据题意，得
解得：x=100
经检验x=100是原方程的解
x-20=80
答：购买A品牌足球的单价为100元，则购买B品牌足球的单价为80元．
（2）设购买m个A品牌足球，则购买（90?m）个B品牌足球，则
W=100m+80(90-m)=20m+7200
∵品牌足球的数量不小于品牌足球数量的2倍，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元．
∴
解不等式组得：60≤m≤65
所以，m的值为：60,61,62,63,64,65
即该队共有6种购买方案，
当m=60时，W最小
m=60时，W=20×60+7200=8400(元)
答：该队共有6种购买方案，购买60个A品牌30个B
品牌的总费用最低，最低费用是8400元．
23．（2020·娄底）为了预防新冠肺炎疫情的发生，学校免费为师生提供防疫物品。某校花7200元购进洗手液与84消毒液共400瓶，已知洗手液的价格是25元/瓶，84消毒液的价格是15元/瓶.
求：（1）该校购进洗手液和84消毒液各多少瓶？
（2）若购买洗手液和84消毒液共150瓶，总费用不超过2500元，请问最多能购买洗手液多少瓶？
{解析}本题考查了一元一次方程与不等式的应用，（1）设购进洗手液x瓶，则购进84消毒液为瓶，根据题意得到一元一次方程，故可求解；
（2）设最多能购买洗手液a瓶，根据题意得到不等式，故可求解．
{答案}解：（1）设购进洗手液x瓶，则购进84消毒液为瓶，依题意得：
，解得
，
，答：该校购进洗手液120瓶，购进84消毒液280瓶．
（2）设最多能购买洗手液a瓶，
，解得
，答：最多能买洗手液25瓶。
24．（2020·通辽）某服装专卖店计划购进A，B两种型号的精品服装．已知2件A型服装
和3件B型服装共需4600元；1件A型服装和2件B型服装共需2800元．
（1）求A，B型服装的单价；
（2）专卖店要购进A，B两种型号服装60件，其中A型件数不少于B型件数的2倍，如果B型打七五折，那么该专卖店至少需要准备多少货款？
{解析}（1）列二元一次方程组求出A，B型服装的单价；（2）设购进A型服装x件，专卖店准备的货款为y元，根据题意列出关于A型服装件数的不等式，求出x的取值范围，列出y关于x的函数关系，利用函数的单调性求最值．
{答案}解：（1）设1件A型服装x元，1件B型服装y元，则
，得：．
答：1件A型服装800元，1件B型服装1000元．
（2）设购进A型服装x件，B型服装（60－x）件，专卖店准备的货款为y元，则
，得40≤x＜60，
∵y=800x+1000×0.75×（60－x）=50x+45000，
∴k=50＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=40时，ymin=50×40+45000=47000元．
答：该专卖店至少需要准备47000元货款．
23．（2020·东营）2020年初，新冠肺炎疫情爆发，市场上防疫口罩热销，某医药每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，且所有口罩当月全部售出，其中成本、售价如下表：
（1）若该公司三月份的销售收入为300万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？
（2）如果公司四月份投入成本不超过216万元，应怎样安排甲、乙两种型号防疫口罩的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润．
甲
乙
成本
12
4
售价
18
6
{解析}（1）根据等量关系“该公司三月份的销售收入为300万元”列一元一次方程组求解．
（2）根据“公司四月份投入成本不超过216万元”列出不等式求得自变量取值范围，由“甲两种型号防疫口罩的利润+乙两种型号防疫口罩的利润＝该月公司所获利润”列出一次函数解析式，由一次函数的性质可得答案．
{答案}解：(1)设甲种型号口罩的产量是万只,则乙种型号口罩的产量是万只.
根据题意得:
,
解得:
,
则,
则甲,乙两种型号口罩的产量分别为15万只和5万只;
(2)设甲种型号口罩的产量是万只,则乙种型号口罩的产量是万只.
根据题意得:12y+40(20-y)≤216
,
解得:
y≤17.
设所获利润为万元,则,
由于,所以随的增大而增大,即当=17时,
最大,此时=4×17+40=108.
从而安排生产甲种型号的口罩17万只,乙种型号的口罩3万只时,获得最大利润,最大利润为108万元.
24．（2020·毕节）某学校拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购买的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高20%，用5400元购进的甲种书柜的数量比用6300元购进乙种书柜的数量少6个．
（2）若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍．该校应如何进货使得购进书柜所需费用最少?
{解析}本题考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用．（1）根据题中的等量关系“每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高20%”“用5400元购进的甲种书柜的数量比用6300元购进乙种书柜的数量少6个”列出方程，解方程可得；
（2）根据等量关系“购进书柜所需费用＝购进甲种书柜所需费用+购进乙种书柜所需费用”列出关系式，再根据不等量关系“乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍”作出判断．
{答案}解：（1）设每个乙种书柜的进价是x元，则每个甲种书柜的进价是（1+20%）x元
．
根据题意，得＝－6．
解得x＝300．
经检验x＝300是原方程的解．
当x＝300时，（1+20%）x＝360．
所以每个乙种书柜的进价是300元，每个甲种书柜的进价是360元
．
（2）设购进乙种书柜a个，则购进甲种书柜（60－a）个．设购进书柜所需费用w元．
根据题意，得w＝360（60－a）＋300a＝－60＋21600．
∵2（60－a）≥a，∴a≤40．
所以该校应购进乙种书柜40个，购进甲种书柜20个时，购进书柜所需费用最少．
22.（2020·郴州）为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为3万元/吨，乙物资单价为2万元吨，采购两种物资共花费1380万元.
（1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨?
（2）现在计划安排两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资.甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆A型卡车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆B型卡车.按此要求安排A、B两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案?
{解析}（1）设甲物资采购了x吨，乙物质采购了y吨，根据“某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，且采购两种物资共花费1380万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设安排A型卡车m辆，则安排B型卡车（50－m）辆，根据安排的这50辆车一次可运输300吨甲物质及240吨乙物质，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各运输方案．
{答案}（1）设甲物资采购了x吨，乙物质采购了y吨，
依题意，得：，解得：．
答：甲物资采购了300吨，乙物质采购了240吨．
（2）设安排A型卡车m辆，则安排B型卡车（50－m）辆，
依题意，得：，
解得：25≤m≤27．
∵m为正整数，
∴m可以为25，26，27，
∴共有3种运输方案，方案1：安排25辆A型卡车，25辆B型卡车；方案2：安排26辆A型卡车，24辆B型卡车；方案3：安排27辆A型卡车，23辆B型卡车．
23.（2020·永州）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．
（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？
（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？
解：（1）设一次性医用口罩单价为x元，则N95口罩的单价为元
由题意可知，，
解方程
得．
经检验是原方程的解，
当时，．
答：一次性医用口罩和N95口单价分别是2元，12元．
（2）设购进一次性医用口罩y只
根据题意得，
解不等式得．
答：药店购进一次性医用口罩至少1400只．
24．（2020·邵阳）2020年5月，全国“两会”召开以来，应势复苏的“地摊经济”带来
了市场新活力，小丹准备购进A，B两种类型的便携式风扇到地摊一条街出售。已知2台A型风
扇和5台B型风扇进价共100元，3台A型风扇和2台B型风扇进价共62元.
(1)求A型风扇，B型风扇进货的单价各是多少元？
(2)小丹准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，A型风扇销售情况比B型风扇好，小
丹准备多购进A型风扇，但数量不超过B型风扇数量的3倍，购进A,B两种风扇的总金额不超过
1170元，根据以上信息，小丹共有哪些进货方案？
解：（1）设A型风扇、B型风扇进货的单价各是x元和y元
由题意得：
，解得
答：A型风扇、B型风扇进货的单价各是10元和16元；
（2）设购进A型风扇a台、则B型风扇购进（100-a）台
有题意得，解得：
∴a可以取72、73、74、75
∴小丹4种进货方案分别是：①进A型风扇72台，B型风扇28台；②进A型风扇73台，B型风扇27台；③进A型风扇74台，B型风扇26台；①进A型风扇75台，B型风扇24台．
24．（2020·广西北部湾经济区）倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出A型和B型两款垃圾分拣机器人，已知2台A型机器人和5台B型机器人同时工作2h共分拣垃圾3.6吨，3台A型机器人和2台B型机器人同时工作5h共分拣垃圾8吨．
（1）1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？
（2）某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批A型和B型垃圾分拣机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾20吨．设购买A型机器人a台（10≤a≤45），B型机器人b台，请用含a的代数式表示b；
（3）机器人公司的报价如下表：
型号
原价
购买数量少于30台
购买数量不少于30台
A型
20万元/台
原价购买
打九折
B型
12万元/台
原价购买
打八折
在（2）的条件下，设购买总费用为w万元，问如何购买使得总费用w最少？请说明理由．
解：（1）1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾x吨和y吨，
由题意可知：，
解得：，
答：1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾0.4吨和0.2吨．
（2）由题意可知：0.4a+0.2b＝20，
∴b＝100﹣2a（10≤a≤45）．
（3）当10≤a＜30时，
此时40≤b≤80，
∴w＝20×a+0.8×12（100﹣2a）＝0.8a+960，
当a＝10时，此时w有最小值，w＝968万元，
当30≤a≤35时，
此时30≤b≤40，
∴w＝0.9×20a+0.8×12（100﹣2a）＝﹣1.2a+960，
当a＝35时，此时w有最小值，w＝918万元，
当35＜a≤45时，
此时10≤b＜30，
∴w＝0.9×20a+12（100﹣2a）＝﹣6a+1200
当a＝45时，
w有最小值，此时w＝930，
答：选购A型号机器人35台时，总费用w最少，此时需要918万元．
20．（2020?宁夏）在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买A、B两种防疫物品．如果购买A种物品60件，B种物品45件，共需1140元；如果购买A种物品45件，B种物品30件，共需840元．
（1）求A、B两种防疫物品每件各多少元；
（2）现要购买A、B两种防疫物品共600件，总费用不超过7000元，那么A种防疫物品最多购买多少件？
解：（1）设A种防疫物品每件x元，B种防疫物品每件y元，
依题意，得：，
解得：．
答：A种防疫物品每件16元，B种防疫物品每件4元．
（2）设购买A种防疫物品m件，则购买B种防疫物品（600﹣m）件，
依题意，得：16m+4（600﹣m）≤7000，
解得：m≤383，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为383．
答：A种防疫物品最多购买383件．

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