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线段垂直平分线、角平分线、中位线
一、选择题
6．（2020·枣庄）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC=6，AC=5，则△ACE的周长为（
）
A．8
B．11
C．16
D．17
{答案}B{解析}利用线段垂直平分线的性质进行等线段间的转换，然后整体求值．∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∴△ACE的周长=AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC=5+6=11．
7．（2020·怀化）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为（　　）
A．3
B．
C．2
D．6
{答案}A
{解析}根据角平分线的性质即可求得．
解：∵∠B＝90°，
∴DB⊥AB，
又∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，
∴由角平分线的性质得DE＝BE＝3，
故选：A．
1．（2020·河北）如图1，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有
A.0条
B.1条
C.2条
D.无数条
{答案}D
{解析}在平面内，过任意一点都能作出直线m的一条垂线，故这样的垂线有无数条，选项D正确.
7．(2020·成都)如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若AC＝6，AD＝2，则BD的长为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．6
{答案}C{解析}根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．
解：由作图知，MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，∵AC＝6，AD＝2，∴BD＝CD＝4，故选：C．
9．(2020·成都)如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的长为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．
{答案}D{解析}根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
解：∵直线l1∥l2∥l3，∴，∵AB＝5，BC＝6，EF＝4，∴，∴DE，故选：D．
4．（2020·宜昌）如图，点E,F,G,Q,H在一条直线上，且EF=GH,我们知道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线，下列说法正确的是（
）.
A．l是线段EH的垂直平分线
B．l是线段EQ的垂直平分线
C．l是线段FH的垂直平分线
D．EH是线段l的垂直平分线
{答案}A{解析}根据垂直平分线的定义，可得l经过FG的中点O，∵EF=GH，∴EO=HO,∴l是线段EH的垂直平分线.
8．（2020·凉山州）点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段AB＝12cm，则线段BD的长为（
）
A．10
cm
B．8
cm
C．10
cm或8
cm
D．2
cm或4
cm
{答案}C{解析}如答图，由中点及三点分点可知，BD＝6＋2＝8或BD＝6＋4＝10，从而线段BD的长为10
cm或8
cm，故选C．
4．（2020·广州）△ABC中，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接DE，若∠C=68゜，则∠AED=（　　）A．22゜
B．68゜
C．96゜
D．112゜
{答案}B
{解析}本题考查了三角形中位线定理，由题目条件可知，DE是△ABC的中位线，三角形的中位线平行于第三边，所以DE//BC，所以∠AED=∠C=68゜，因此本题选B．
10．（2020·烟台）如图，点G为△ABC的重心，连接CG，AG并延长分别交AB，BC于点E，F，连接EF，若AB＝4.4，AC＝3.4，BC＝3.6，则EF的长度为（　　）
A．1.7
B．1.8
C．2.2
D．2.4
【解析】∵点G为△ABC的重心，∴AE＝BE，BF＝CF，∴EF1.7，故选：A．
12．（2020·淄博）如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（　　）
A．a2+b2＝5c2
B．a2+b2＝4c2
C．a2+b2＝3c2
D．a2+b2＝2c2
【解析】设EF＝x，DF＝y，
∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，
∴点F为△ABC的重心，AFACb，BDa，
∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，
∵AD⊥BE，
∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，
在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①
在Rt△AEF中，4x2+y2b2，②
在Rt△BFD中，x2+4y2a2，③
②+③得5x2+5y2（a2+b2），
∴4x2+4y2（a2+b2），④
①﹣④得c2（a2+b2）＝0，
即a2+b2＝5c2．
故选：A．
二、填空题
16.（2020·苏州）如图，在中，已知，，垂足为，.若是的中点，则_________.
{答案}1
{解析}本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理，定理，取BD中点F，连接EF，因为BD=2CD，所以FD=CD,因为，所以EF=CE,因为是的中点，所以EF为△ABD的中位线，所以EF=EC=AB=1.
12．（2020·镇江）如图，在
中，
，将
平移5个单位得到
，点
分别是
的中点，
的最小值等于
．
{答案}3．5
{解析}本题考查了中位线和平移的知识，取AC的中点D，连接PD，则PD＝BC＝1．5，DQ＝5，PQ的最小值为5－1．5＝3．5．
18．（2020·常州）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝6，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，在直线DE和直线BC上分别取点F、G，连接BF、DG．若BF＝3DG，且直线BF与直线DG互相垂直，则BG的长为________．
{答案}2或4
{解析}本题考查了三角形中位线定理，相似三角形，等腰直角三角形三边关系等知识点，考查了分类讨论思想．①如图①，F在射线ED上，过点B作BM⊥DF，过点D作DN⊥BC
∵D为中点，∴BD＝3，∵∠B＝45°，∴BN＝DN＝3，∴BM＝DN＝3
∵BF⊥DG，∴∠F＋∠FDH＝90°．又∠F＋∠FDH＝90°
∴△FMB∽△DNG，∴，
∴GN＝1，∴BG＝3－1＝2
②过点D作DM⊥BC，过F作FN⊥BC.DM＝BM＝3，∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°
∴∠1＝∠3，又∠DMG＝∠BNF＝90°
∴△DMG∽△BNF
∴
∴BF＝3DG
∴NF＝3MG＝DM＝3
∴MG＝1
∴BG＝BM＋MG＝3＋1＝4
综上所述：BG＝2或4
图1
图2
15.
(2020·湘潭)如图，点是的角平分线上一点，，垂足为点，且，点是射线上一动点，则的最小值为________．
{答案}3
{解析}本题考查了垂线段最短、角平分线的性质，根据垂线段最短可知当PM⊥OC时，PM最小，再根据角的平分线的性质，即可得出答案．
根据垂线段最短可知：当PM⊥OC时，PM最小，
当PM⊥OC时，
又∵OP平分∠AOC，，，
∴PM=PD=3
故答案为：3
（2020·本溪）15．（3分）如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D．若BC＝4，则CD的长为　2　．
{答案}2
{解析}∵M，N分别是AB和AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MNBC＝2，MN∥BC，
∴∠NME＝∠D，∠MNE＝∠DCE，
∵点E是CN的中点，
∴NE＝CE，
∴△MNE≌△DCE（AAS），
∴CD＝MN＝2．
5．(2020·青海)如图2，△ABC中，AB＝AC＝14cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，且△DBC的周长是24cm，则BC＝______cm．
{答案}10
{解析}∵MN垂直平分AB，∴AD＝BD．∵△DBC的周长为24，∴BD＋DC＋BC＝24，即AC＋BC＝24．∴BC＝24－AC＝24－14＝10．
三、解答题
25.
(2020·湘潭)阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．
（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边△ABC的重心为点，求△OBC与△ABC的面积．
（2）性质探究：如图（二），已知△ABC的重心为点，请判断、是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值：如果不是，请说明理由．
（3）性质应用：如图（三），在正方形中，点是的中点，连接交对角线于点．
①若正方形的边长为4，求的长度；
②若，求正方形的面积．
{解析}（1）连接DE，利用相似三角形证明，运用勾股定理求出AD的长，运用三角形面积公式求解即可；
（2）根据（1）的证明可求解；
（3）①证明△CME∽△ABM得，再运用勾股定理求出BE的长即可解决问题；
②分别求出S△BMC和S△ABM
即可.
{答案}（1）连接DE，如图，
∵点O是△ABC的重心，
，是，C边上的中线，
为，边上的中点，
为△ABC的中位线，
，，
∴，
，
，
，，
；
（2）由（1）可知，是定值；
是定值；
（3）①∵四边形ABCD是正方形，
，，
∴
∵E为CD的中点，
，即；
②∴，且
∴，
∵，
∴，
∴，
，
又
∴．
∴正方形ABCD的面积为：6+6=12．

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