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第22章
《二次函数》章末评测题
一．选择题
1．抛物线y＝x2﹣1与y轴交点的坐标是（　　）
A．（﹣1，0）
B．（1，0）
C．（0，﹣1）
D．（0，1）
2．函数y＝（x+1）2﹣2的最小值是（　　）
A．1
B．﹣1
C．2
D．﹣2
3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①a＜0；②b＞0；③b2﹣4ac＞0；④a+b+c＜0；其中结论正确的个数有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）图象上三点A（﹣1，y1），B（2，y2）C（4，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（　　）
A．y1＜y2＜y3
B．y2＜y1＜y3
C．y1＜y3＜y2
D．y3＜y1＜y2
5．某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG＝1米，AE＝AF＝x米，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
7．二次函数与y＝kx2﹣8x+8的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A．k＜2
B．k＜2且k≠0
C．k≤2
D．k≤2且k≠0
8．函数y＝﹣2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（　　）
A．y＝﹣2（x﹣1）2+2
B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣2
C．y＝﹣2（x+1）2+2
D．y＝﹣2（x+1）2﹣2
9．某同学在用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（　　）
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣11
﹣2
1
﹣2
﹣5
…
A．﹣11
B．﹣2
C．1
D．﹣5
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A，B，交y轴于点C．若点A坐标为（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣1，则下列结论错误的是（　　）
A．二次函数的最大值为a﹣b+c
B．a+b+c＞0
C．b2﹣4ac＞0
D．2a+b＝0
二．填空题
11．抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数）与x轴交点的个数是　
　．
12．抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（2，3），抛物线所对应的函数表达式为　
　．
13．若直线y＝2x+t与函数y＝x2﹣2|x﹣1|﹣1的图象有且只有两个公共点时，则t的取值范围是　
　．
14．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，对称轴为直线x＝，抛物线与x轴的交点分别为A、B，则A、B两点间的距离是　
　．
15．关于x的方程x2+bx+c＝x有两根x1，x2且x2＞x1＞0．对于函数y＝x2+bx+c，若自变量取x0，其对应的函数值为y0，当x1＜x0＜x2时，y0　
　x2．（填“＞”“＜”或“＝”）
三．解答题
16．已知二次函数y＝x2﹣4x+3
（1）求函数图象的顶点坐标、对称轴和与坐标的交点坐标，并画出函数的大致图象．
（2）若A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝x2﹣4x+3图象上的两点，且x1＜x2＜1，请比较y1，y2的大小关系（直接写出结果）
17．某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：
销售单价x（元/千克）
55
60
65
70
销售量y（千克）
70
60
50
40
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
18．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y＝ax2+bx+c
…
t
m
﹣2
﹣2
n
…
根据以上列表，回答下列问题：
（1）直接写出c的值和该二次函数图象的对称轴；
（2）写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝t的根；
（3）若m＝﹣1，求此二次函数的解析式．
19．金松科技生态农业养殖有限公司种植和销售一种绿色羊肚菌，已知该羊肚菌的成本是12元/千克，规定销售价格不低于成本，又不高于成本的两倍．经过市场调查发现，某天该羊肚菌的销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）的函数关系如下图所示：
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）求这一天销售羊肚菌获得的利润W的最大值；
（3）若该公司按每销售一千克提取1元用于捐资助学，且保证每天的销售利润不低于3600元，问该羊肚菌销售价格该如何确定．
20．如图，直线y＝kx+2与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．
（1）求k的值和抛物线的解析式．
（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，连接BN．
①若△BPN是直角三角形，求点N的坐标．
②当∠PBN＝45°时，请直接写出m的值．（注：当k1?k2＝﹣1时，直线y＝k1x+b1与直线y＝k2x+b2垂直）
参考答案
一．选择题
1．解：当x＝0时，y＝x2﹣1＝﹣1，
所以抛物线y＝x2﹣1与y轴交点的坐标为（0，﹣1）．
故选：C．
2．解：根据二次函数的性质，当x＝﹣1时，二次函数y＝（x﹣1）2﹣2的最小值是﹣2．
故选：D．
3．解：①∵抛物线开口向下，
∴a＜0，结论①正确；
②∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a＜0，结论②错误；
③∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，结论③正确；
④∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，结论④正确．
故选：C．
4．解：y＝ax2﹣2ax+1（a＜0），
对称轴是直线x＝﹣＝1，
即二次函数的开口向下，对称轴是直线x＝1，
即在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
A点关于直线x＝1的对称点是D（3，y1），
∵2＜3＜4，
∴y2＞y1＞y3，
故选：D．
5．解：S△AEF＝AE×AF＝x2，S△DEG＝DG×DE＝×1×（3﹣x）＝，
S五边形EFBCG＝S正方形ABCD﹣S△AEF﹣S△DEG＝9﹣x2﹣＝﹣x2+x+，
则y＝4×（﹣x2+x+）＝﹣2x2+2x+30，
∵AE＜AD，
∴x＜3，
综上可得：y＝﹣2x2+2x+30（0＜x＜3）．
故选：A．
6．解：由方程组得ax2＝﹣a，
∵a≠0
∴x2＝﹣1，该方程无实数根，
故二次函数与一次函数图象无交点，排除B．
A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错；
C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确；
D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错．
故选：C．
7．解：∵二次函数与y＝kx2﹣8x+8的图象与x轴有交点，
∴△＝b2﹣4ac＝64﹣32k≥0，k≠0，
解得：k≤2且k≠0．
故选：D．
8．解：抛物线y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），把（0，0）先向右平移1个单位，再向下平移2个单位所得对应点的坐标为（1，﹣2），所以平移后的抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣2．
故选：B．
9．解：由函数图象关于对称轴对称，得
（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）在函数图象上，
把（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）代入函数解析式，得，
解得，
函数解析式为y＝﹣3x2+1
x＝2时y＝﹣11，
故选：D．
10．解：当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c的值最大，选项A不符合题意；
抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），
当x＝1时，y＝a+b+c＞0，因此选项B不符合题意；
抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2﹣4ac＞0，故选项C不符合题意；
抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣1，
因此有：x＝﹣1＝﹣，即2a﹣b＝0，因此选项D符合题意；
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．解：∵抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数），
∴当y＝0时，0＝2x2+2（k﹣1）x﹣k，
∴△＝[2（k﹣1）]2﹣4×2×（﹣k）＝4k2+4＞0，
∴0＝2x2+2（k﹣1）x﹣k有两个不相等的实数根，
∴抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数）与x轴有两个交点，
故答案为：2．
12．解：将A（0，3），B（2，3）代入抛物线解析式得：
，
解得：b＝﹣2，c＝3，
则抛物线解析式为y＝x2﹣2x+3．
故答案为：y＝x2﹣2x+3．
13．解：由函数y＝x2﹣2|x﹣1|﹣1可知y＝，
画出函数的图象如图：
由图象可知函数的最低点为（﹣1，﹣4），
把（﹣1，﹣4）代入y＝2x+t解得t＝﹣2，
若直线y＝2x+t与函数y＝x2﹣2x+1有一个交点时，x2﹣4x+1﹣t＝0，则△＝16﹣4（1﹣t）＝0，
解得t＝﹣3，
若直线y＝2x+t与函数y＝x2+2x﹣3有一个交点时，x2﹣3﹣t＝0，则△＝4（3+t）＝0，
解得t＝﹣3，
由图象可知：直线y＝2x+t与函数y＝x2﹣2|x﹣1|﹣1的图象有且只有两个公共点时t的取值范围是t＞﹣2或t＝﹣3．
故答案为t＞﹣2或t＝﹣3．
14．解：由图象可知，
该抛物线的对称轴是直线x＝，与x轴的一个交点是（2，0），则与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
设点A（﹣1，0），则点B为（2，0），
故AB＝2﹣（﹣1）＝2+1＝3，
故答案为：3．
15．解：∵方程x2+bx+c＝x有两根x1，x2，
∴函数y＝x2+bx+c与函数y＝x的图象的两个交点的横坐标分别为x1，x2，
作出函数图象的草图如下：
由函数图象可知，当x1＜x0＜x2时，y0＜y2，
∵当x＝x2时，y＝x＝x2，即y2＝x2，
∴y0＜x2，
故答案为：＜．
三．解答题（共5小题）
16．解：（1）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴顶点坐标（2，﹣1），对称轴x＝2，
抛物线交y轴于（0，3），交x轴于（1，0）或（3，0），
函数图象如图所示：
（2）观察图象可知：当x1＜x2＜1时，y随x的增大而减小，
∴y1＞y2．
17．解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），将表中数据（55，70）、（60，60）代入得：
，
解得：．
∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣2x+180．
（2）由题意得：（x﹣50）（﹣2x+180）＝600，
整理得：x2﹣140x+4800＝0，
解得x1＝60，x2＝80．
答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克．
（3）设当天的销售利润为w元，则：
w＝（x﹣50）（﹣2x+180）
＝﹣2（x﹣70）2+800，
∵﹣2＜0，
∴当x＝70时，w最大值＝800．
答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．
18．解：（1）根据图表可知：
二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（0，﹣2），（1，﹣2），
∴对称轴为直线x＝＝，c＝﹣2；
（2）根据二次函数的对称性可知：
（﹣2，t）关于对称轴x＝的对称点为（3，t），
即﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；
（3）若m＝﹣1，则抛物线经过点（﹣1，﹣1），（0，﹣2），（1，﹣2），
代入y＝ax2+bx+c得，
解得，
∴此二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣2．
19．解：（1）①当12≤x≤20时，设y＝kx+b．代（12，2000），（20，400），
得
解得
∴y＝﹣200x+4400
②当20＜x≤24时，y＝400．
综上，y＝
（2）①当12≤x≤20时，
W＝（x﹣12）y
＝（x﹣12）（﹣200x+4400）
＝﹣200（x﹣17）2+5000
当x＝17时，W的最大值为5000；
②当20＜x≤24时，
W＝（x﹣12）y
＝400x﹣4800．
当x＝24时，W的最大值为4800．
∴最大利润为5000元．
（3）①当12≤x≤20时，
W＝（x﹣12﹣1）y
＝（x﹣13）（﹣2000x+4400）
＝﹣200（x﹣17.5）2+4050
令﹣200（x﹣17.5）2+4050＝3600
x1＝16，x2＝19
∴定价为16≤x≤19
②当20＜x≤24时，
W＝400（x﹣13）＝400x﹣5200≥3600
∴22≤x≤24．
综上，销售价格确定为16≤x≤19或22≤x≤24．
20．解：（1）把A（3，0）代入y＝kx+2中得，0＝3k+2，
∴k＝﹣，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+2，
∴B（0，2），
把A（3，0）和B（0，2）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中，
则，
解得：，
二次函数的表达式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）①点N（，）
②m＝
与m＝

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