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圆锥曲线
一、圆锥曲线的定义
何定义
用一个平面去截一个圆锥面,得到的交线就称为圆锥曲线(
conic
sections)
通常提到的圆锥曲线包括椭圆,双曲线和抛物线,但严格来讲,它还包括一些退化情形。具体而言
1)当平面与圆锥面的母线平行,且不过圆锥顶点,结果为拋物线
2)当平面与圆锥面的母线平行,且过圆锥顶点,结果退化为一条直线
3)当平面只与圆锥面一侧相交,且不过圆锥顶点,结果为椭圆
4)当平面只与圆锥面一侧相交,且不过圆锥顶点,并与圆锥面的对称轴垂直,结果为圆
5)当平面只与圆锥面一侧相交,且过圆锥顶点,结果退化为一个点
6)当平面与圆锥面两侧都相交,且不过圆锥顶点,结果为双曲线的一支(另一支为此圆锥面的对顶圆锥
面与平面的交线)
7)当平面与圆锥面两侧都相交,且过圆锥顶点,结果为两条相交直线
思考
【做】例1、(14年3月13校联考14题)设B、C是定点,且均不在平面a上,动点A在平面a上,且
sin∠ABC=-,则点A的轨迹为()
(A)圆或椭圆(B)抛物线或双曲线C)椭圆或双曲线(D)以上均有可能
4、书本上基本的定义
在平面内
1)圆:到定点的距离等于定长
2)椭圆:到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)
3)双曲线:到两定点距离之差的绝对值为常数(小于两定点的距离)
4)抛物线:到定点与定直线距离相等.(定点不在定直线上)
三、轨迹方程
求曲线方程的一般步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围
2、求动点轨迹方程的几种方法
(1)直接法:(2)定义法:(3)代入法:(4)参数法:(5)点差法
典型例题
直接法
此类问题重在寻找数量关系
例1:一条线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动,求AB中点M的轨迹方程?
二:定义法
例1:已知△ABC的顶点A,B的坐标分别为(-4,0),(4,0),C为动点,且满足sinB+sinA==sinC
求点C的轨迹
2:一动圆与圆
+y2=1外切,而与圆C:x2+y2-6X+8=0内切,那么动圆的圆心M的轨迹是
A:抛物线B:圆C:椭圆D:双曲线一支
三:参数法
此类方法主要在于设置合适的参数,求出参数方程,最后消参,化为普通方程。注意参数的取值范
例1.过点P(2,4)作两条互相垂直的直线1
若交x轴于A点,12交y轴于B点,求线段AB
的中点M的轨迹方程
P(2,4)
四:代入法
例1.点B是椭圆
y2
1上的动点,A(2a0)为定点,求线段AB的中点M的轨迹方程
五、点差法
例1直线1:axy-(a+5)=0(a是参数)与抛物线y=(x+1)的相交弦是AB,求弦AB的中点轨
迹方程
三、方程识别
1、平面直角坐标方程
2、参数方程
(1)圆(x=+rc05(2)椭图(x=a0sB(3)双曲线|y=bn(4)抛物线(x=2pr2
x=asec
e
ly=b+sine

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