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解直角三角形及其应用
一、选择题
1．（2020·温州）如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为
A．(1.5＋150tan)米
B．(1.5＋)米
C．(1.5＋150sin)米
D．(1.5＋)米
{答案}A
{解析}本题考查了解直角三角形的应用，过点A作AE⊥BC，垂足为E，由题意
AE＝CD＝150，在Rt△ABE中，tanα＝,∴，∴BC＝BE＋CE＝1.5＋150tanα，因此本题选A．
2．（2020·黔西南州）如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（　　）
A．米
B．4sinα米
C．米
D．4cosα米
{答案}B
{解析}本题考查了锐角三角函数的应用．如答图，过点A′作A′C⊥AB于点C．在Rt△OCA′中，sinα＝，所以A′C＝A′O·sinα．由题意得A′O＝AO＝4，所以A′C＝4sinα，因此本题选B．
3．（2020·安徽）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A，若AC＝4，cosA＝，则BD的长度为（　）
A．
B．
C．
D．4{答案}C
{解析}在Rt△ABC中，cosA＝＝，则AB＝AC＝5，∴BC＝＝3.在Rt△BCD中，cos∠DBC＝＝，cos∠DBC＝cosA，∴BD＝BC＝×3＝.
4．（2020·重庆A卷）如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡的CD坡度（或坡比）
i=1:0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD=45m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼的高度约为（
）
（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）
A．76.9m
B．82.1m
C．94.8m
D．112.6m
{答案}B{解析}如图，过点D作DE⊥AB于E，作DF⊥BC交BC的延长线于点F，则四边形DFBF是矩形.在Rt△DCF中，∵CD的坡度为1:0.75，∴.设DF=4k，CF=3k，则CD=5k.∵CD=45，∴k=9，DF=36,CF=27，∴BE=36，DE=BF=27+60=87.在Rt△ADE中，
AE=DE·tan∠ADQ=87×0.53=46.11，∴AB=46.11+36≈82.1（m）．
5.（2020·苏州）如图，小明想要测量学校操场上旗杆的高度，他作了如下操作：（1）在点处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角；（2）量得测角仪的高度；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离.利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（
）
A.
B.
C.
D.
{答案}A{解析}本题考查了利用三角函数计算物体高度，作CF⊥AB于F，由题意得CF=DB=b，∵tan∠ACF=AF:CF,∴AF=tan∠ACF×CF=，∴AB=AF+FB=AF+CD=,因此本题选A.
6．（2020·聊城）如图，在Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝30°，将Rt△ABC绕点A
转得到Rt△AB′C′，使点B的对应点B′落在AC上，在B′C′上取点D，使B′D＝2，那么，点D到BC的距离等于（　　）
A．2(＋1)
B．＋1
C．－1
D．＋1
{答案}D{解析}本题可直接通过解直角三角形解答．如图，设DE⊥BC于点E，交AC于点F，则∠B′DF＝∠C＝30°，∴DF＝2B′F．在Rt△B′DF中，设B′F＝x，根据勾股定理，得x2＋22＝(2x)2，解得x＝，∴DF＝．由旋转知AB′＝AB＝2．在Rt△ABC中，∠C＝30°，∴AC＝2AB＝4，∴B′C＝4－2＝2，∴CF＝B′C－B′F＝2－，∴EF＝CF＝1－．∴DE＝DF＋EF＝＋1－＝＋1．
7．（2020·重庆B卷）如图垂直于水平面的5G信号塔
建在垂直与水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A,B,C在同一条直线上），再沿斜坡DE方向前行78米到E点（点A,B,C,D,E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡的坡度（或坡比）i=1:2.4，则信号塔AB的高度约为（
）
（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）
A．23米
B．24米
C．24.5米
D．25米
{答案}D
{解析}本题考查了锐角三角函数的实际应用，如图，过点E作EF⊥AC于E，作EG⊥CD交CD的延长线于点G，则四边形EFCG是矩形.在Rt△DEG中，∵DE的坡度为1:2.4，∴.设EG=5k，DG=12k，则DE=13k.∵DE=78，∴k=6，EG=30,DG=72，∴CF=30，EF=CG=72+78=150.在Rt△AEF中，
AF=EF·tan∠AEF=150×0.93=139.5，∴AC=139.5+30=169.5（m），∴AB=169.5-144.5=25（m），因此本题选D．
8．（2020·天水）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，BC＝12.8m，则建筑物CD的高是（　　）
A．17.5m
B．17m
C．16.5m
D．18m
{答案}A
{解析}由题意得EB⊥AC，DC⊥AC，从而EB∥DC，所以△AEB∽△ADC，从而得到＝，即＝，解得CD＝17.5（cm）．因此本题选A．
9．（2020·深圳）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏东70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（　　）
A．200tan70°米
B．米
C．200sin70°米
D．米
{答案}B
{解析}在Rt△PQT中，利用∠PQT的度数，得到∠PTQ的度数，进而由PQ的长根据三角函数即可求得PT的长．在Rt△PQT中，∵∠QPT＝90°，∠PQT＝90°－70°＝20°，∴∠PTQ＝70°，∴tan70°＝，∴PT＝＝，即河宽米，此本题选B．
10．（2020·长沙）从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角是30度，船离灯塔的水平距离为
（　　）
A．米
B．米
C．21米
D．42米
{答案}A
{解析}本题考查了三角函数的应用——仰俯角问题，如图水平距离＝42÷tan30°＝42÷＝，因此本题选A．
二、填空题
1．（2020·温州）如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸l上依次取点E，F，N，使AE⊥l，BF⊥l，点N，A，B在同一直线上．在F点观测A点后，沿FN方向走到M点，观测C点发现∠1＝∠2．测得EF＝15米，FM＝2米，MN＝8米，∠ANE＝45°，则场地的边AB为
米，BC为
米．
{答案}15，20
{解析}本题考查了解直角三角形，根据题意可知EN＝15+2+8＝25，又∠ANE＝45°，得到AN＝25，AE＝25.又因为FN＝10，所以BN＝10，所以AB＝AN－BN＝15；延长CB交l于点Q，显然△BQF≌△BNF，QF＝BF＝10，BQ＝10，在Rt△CPQ中，PQ＝CP，由∠1＝∠2，所以tan∠1＝,所以CP＝30，所以CQ＝30，所以BC＝20.
因此本题答案为15，20．
2．（2020·黔西南州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝，则BD的长度为________．
{答案}
{解析}本题考查了解直角三角形，含30°角的直角三角形的性质（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）．因为∠C＝90°，∠ADC＝60°，所以∠DAC＝30°，所以CD＝AD．因为∠B＝30°，∠ADC＝60°，所以∠BAD＝30°，所以BD＝AD，所以BD＝2CD．因为BC＝，所以CD＋2CD＝，所以CD＝，所以DB＝，因此本题答案为．
3．（2020·新疆）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC上一动点，则2AD＋DC的最小值为___________．
{答案}6
{解析}本题考查了含30°的直角三角形，垂线段最短．如答图，作∠BCE＝30°，CE与AC在BC两侧，过点D作DF⊥CE于F．过点A作AH⊥CE于点H．在Rt△CDF中，因为∠BCE＝30°，所以DF＝CD，则由“垂线段最短”可知，AD＋DF的最小值为线段AH的长，即AD＋CD的最小值为线段AH的长．在Rt△ABC，因为∠B＝60°，所以∠ACB＝30°，因为AB＝2，所以BC＝4，AC＝．在Rt△ACH中，∠ACH＝∠ACB＋∠BCE＝30°＋30°＝60°，所以∠CAH＝30°，所以CH＝AC＝×＝，AH＝CH＝×＝3，所以AD＋CD的最小值为3，因为2AD＋DC＝2(AD＋CD)，所以2AD＋DC的最小值为6．
4．（2020·枣庄）人字梯为现代家庭常用的工具（如图）．若AB，AC的长都为2m，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是____m．（结果精确到0.1m，参考依据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
{答案}1.5{解析}直接利用正弦求解．在Rt△ADC中，AC＝2，∠α＝50°，
则sin50°＝，∴AD＝AC·sin50°＝2×0.77≈1.5．
5．(2020自贡)如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB．BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为　
　米（结果保留根号）．
{答案}故答案为：6．
{解析}本题考查了解直角三角形的知识，通过构造直角三角形，解直角三角形，从而解决问题．
解：过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F．
∵CD∥AB，DE⊥AB，CF⊥AB，∴DE＝CF，在Rt△CFB中，CF＝BC?sin45°＝3（米），
∴DE＝CF＝3（米），在Rt△ADE中，∵∠A＝30°，∠AED＝90°，∴AD＝2DE＝6（米），
因此本题答案为：6．
6．（2020·泰安）如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长26m，斜坡AB的坡比为12：5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡，如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移___________m时，才能确保山体不滑坡．（取tan50°﹦1.2）
{答案}10
{解析}本题考查了锐角三角函数的应用，因为斜坡AB的坡比为12：5，即BE:AE=12：5．设BE=12k，则AE=5k，AB=13k.因为斜坡AB长26m，所以13k=26，所以k=2，即：BE=24
m，则AE=10
m，设坡顶B沿BC至少向右移至点G处，过点G作GH⊥AD，垂足为点H，且设BG=x，则GH：AH≤tan50°，即24：AH≤1.2，所以AH≥20，因为AE=10，所以EH≥10，即坡顶B沿BC至少向右移10
m时，才能确保山体不滑坡．，因此本题答案为10．
7．（2020·乐山）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯AB的倾斜角为30°，在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角为60°，A、C之间的距离为4m，则自动扶梯的垂直高度BD＝________m．（结果保留根号）
{答案}2
{解析}先由三角形外角的性质及等腰三角形的判定，得到BC＝AC＝4，再解直角三角形BCD求BD．∵∠BAC＋∠ABC＝∠BCD＝60°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝30°，∴∠ABC＝∠BAC，∴BC＝AC＝4，在Rt△BCD中，BD＝BCsin60°＝4×＝2．
8．（2020·乐山）把两个含30°角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点E为AD的中点，连接BE交AC于点F，则＝________．
{答案}
{解析}连接CE，根据直角三角形斜边上中线的性质，得到CE＝AD＝AE，从而∠ECA＝∠CAE＝∠BAC，从而CE∥AB，所以△ABF∽△CEF，因而＝；设AC＝2x，则AB＝ACcos30°＝x，AD＝＝x，从而CE＝x，因此＝＝，进而求得＝．
9.如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，?B处的俯角为60°.若斜面坡度为1：,则斜坡AB的长是__________米.
{答案}
{解析}由题意得：∠APB=60°-15°=45°，PH=30，
∵在P处测得?B处的俯角为60°，∴∠PBH=60°，
又∵斜面AB坡度为1：,∴，
∴∠ABC=30°，∴∠ABP=90°，
∴△ABP是等腰直角三角形，∴AB=PB.
由sin∠PBH=，∴PB=,
∴AB=（米）.
10.（2020·达州）小明为测量校园里一颗大树AB的高度，在树底部B所在的水平面内，将测角仪CD竖直放在与B相距8m的位置，在D处测得树顶A的仰角为52°.若测角仪的高度是1m，则大树AB的高度约为
.（结果精确到1m.参考数据：sin52°≈0.78，cos52°≈0.61，tan52°≈1.28)
{答案}11米
{解析}AB=1＋8tan52°=1＋8×1.28=11.24≈11（米）．
11．（2020·南通）测高仪CD距离建筑物AB底部5
m，测高仪D处观测建筑物顶端的仰角为50°，测高仪高度为1.5
m，则建筑物AB的高度为
▲
m．（精确到0.1m，sin50°＝0.77，cos50°＝0.64，tan50°＝1.19）
{答案}7.5
{解析}过点D作AB的垂线，得矩形BCDE和Rt△AED，可得BE，DE的长，在Rt△AED中求出AE的长，求出AB＝AE＋BE．
过点D作DE⊥AB于点E，
由题意可得：BE＝DC＝1.5m，DE＝BC＝5m，
在Rt△AED中，，
∴，
∴AB＝AE＋BE＝1.5＋5.95≈7.5（m）．
12．（2020·咸宁）如图，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东60°方向上，一艘轮船从北小岛A出发，由西向东航行到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30°方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方，此时轮船与灯塔P的距离是________．（结果保留一位小数，）
{答案}20.8
{解析}本题考查了解直角三角形的应用，如图，过P作PD⊥AB于D，∵AB=24，∵∠PAB=90°-60°=30°，∠PBD=90°-30°=60°，∴∠BPD=30°，∴∠APB=30°，即∠PAB=∠APB，∴AB=BP=24，在直角△PBD中，PD=BP?sin∠PBD=24×=≈20.8，因此本题填20.8．
13．（2020·天门仙桃潜江）如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛
A
位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛
A
在它的北偏西
60°
方向，此时轮船与小岛的距离AD为
海里．
(
（第
13
题图）
A
D
B
45
°
60
°
北
东
)
{答案}
{解析}过点A作AC⊥BD于点C，∵在B点测得小岛A在东北方向上,
时轮船与小岛相距20海里,
D处，测得小岛
A
在它的北偏西
60°
方向，
(
（第
13
题图）
A
D
B
45
°
60
°
北
东
C
)
∴∠ABC=45?,AB=20海里,∠ADC=30°，
∴在Rt△ABC中,AC=BC，AC=20×sin45°=
∴Rt△ADC中AD=2AC=
(海里)
答：此时轮船与小岛A的距离AD为海里。因此本题答案为.
三、解答题
1．（2020·绍兴）如图，点E是□ABCD的边CD的中点，连结AE并延长，交BC的延长线于点F．
（1）若AD的长为2．求CF的长．
（2）若∠BAF=90°，试添加一个条件，并写出∠F的度数．
{解析}本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形中的三角函数或是两锐角互余．在第（1）小题中，由平行四边形的性质得出AD∥CF，则∠DAE＝∠CFE，∠ADE＝∠FCE，由点E是CD的中点，得出DE＝CE，由AAS证得△ADE≌△FCE，即可得出结果；在第（2）小题中，若添加边的条件，如AB=BC，可以利用三角函数求出∠F的度数．
{答案}解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CF，∴∠DAE=∠CFE，∠ADE=∠FCE，
∵点E是CD的中点，∴DE=CE，∴△ADE≌△FCE（AAS），∴CF=AD=2.
（2）添加一个条件：如当AB=BC时，∵CF=AD=BC，AB=BC，∴AB=BC=CF，又∵∠BAF=90°，∴sinF=，∴∠F=30°（答案不唯一）．
2．(2020·绍兴)如图1为搭建在地面上的遮阳棚，图2、图3是遮阳棚支架的示意图．遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块E，H可分别沿等长的立柱AB，DC上下移动，AF＝EF＝FG＝1m．
（1）若移动滑块使AE＝EF，求∠AFE的度数和棚宽BC的长．
（2）当∠AFE由60°变为74°时，问棚宽BC是增加还是减少？增加或减少了多少？
（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
{解析}本题考查了等边三角形的性质，菱形的性质，解直角三角形．在第（1）小题中，可求出等边三角形AFE的高，进而可得菱形较长的一条对角线是这一高线的2倍，BC长是较长对角线的4倍，从而得解；第（2）小题中，在等腰△AFE中，求出底边AE上的高，类比于上一题的解法求出BC长，通过比较得出结论．
{答案}解：（1）∵AE=EF=AF=1，∴△AEF是等边三角形，∴∠AFE=60°，
延长菱形对角线MF交AE于点K，则FM=2FK，∵△AEF是等边三角形，
∴AK=，∴FK=，∴FM=2FK=，∴BC=4FM=4≈6.92≈6.9（m）；
（2）∵∠AFE=74°，∴∠AFK=37°，∴KF=AF?cos37°≈0.80，∴FM=2FK=1.60，
∴BC=4FM=6.40＜6.92，6.92﹣6.40=0.5.
答：当∠AFE由60°变为74°时，棚宽BC是减少了，减少了0.5m．
3.(2020·宁波)图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成.当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中(底盒固定在地面下)，此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位.图2是其示意图，经测量，钢条AB＝AC＝50　cm，∠ABC＝47°.
（1）求车位锁的底盒长BC．
（2）若一辆汽车的底盘高度为30　cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位？(参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈l.07)
{解析}本题考查了解直角三角形的实际应用．
（1）作AH⊥BC于点H，根据三角函数计算BH，进而求得BC；
（2）由三角函数计算AH的长，从而作出判断．
{答案}19.解：（1）过点A作AH⊥BC于点H，∵AB＝AC，
∴BH＝HC，在Rt△ABH中，∠B＝47°，AB＝50，
∴BH＝AB·cosB＝50cos47°＝50×0.68＝34，
∴BC＝2BH＝68cm.
（2）在Rt△ABH中，AH＝AB·sinB＝50sin47°≈50×0.73＝36.5(cm)，
∵36.5>30，
∴当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位.
4．（2020湖州）有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度．图2是这种升降熨烫台的平面示意图．AB和CD是两根相同长度的活动支撑杆，点O是它们的连接点，OA＝OC，h（cm）表示熨烫台的高度．
（1）如图2﹣1．若AB＝CD＝110cm，∠AOC＝120°，求h的值；
（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度为120cm时，两根支撑杆的夹角∠AOC是74°（如图2﹣2）．求该熨烫台支撑杆AB的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．）
【分析】（1）过点B作BE⊥AC于E，根据等腰三角形的性质得到∠OAC＝∠OCA30°，根据三角函数的定义即可得到结论；
（2）过点B作BE⊥AC于E，根据等腰三角形的性质和三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：（1）过点B作BE⊥AC于E，∵OA＝OC，∠AOC＝120°，
∴∠OAC＝∠OCA30°，∴h＝BE＝AB?sin30°＝11055；
（2）过点B作BE⊥AC于E，∵OA＝OC，∠AOC＝74°，
∴∠OAC＝∠OCA53°，∴AB＝BE÷sin53°＝120÷0.8＝150（cm），
即该熨烫台支撑杆AB的长度约为150cm．
5．（2020台州）人字折叠梯完全打开后如图1所示，B，C是折叠梯的两个着地点，D是折叠梯最高级踏板的固定点．图2是它的示意图，AB＝AC，BD＝140cm，∠BAC＝40°，求点D离地面的高度DE．（结果精确到0.1cm；参考数据sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94）
【分析】过点A作AF⊥BC于点F，根据等腰三角形的三线合一性质得∠BAF的度数，进而得∠BDE的度数，再解直角三角形得结果．
【解答】解：过点A作AF⊥BC于点F，则AF∥DE，
∴∠BDE＝∠BAF，∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠BDE＝∠BAF＝20°，
∴DE＝BD?cos20°≈140×0.94＝131.6（cm）．
答：点D离地面的高度DE约为131.6cm．
6．（2020·铜仁）如图，一艘船由西向东航行，在A处测得北偏东60°方向上有一座灯塔C，再向东继续航行60km到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔C的周围47km内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？
{解析}探究这艘船继续向东航行是否安全，只要判断它到灯塔C的距离与47
km的大小即可。因此考虑过C作CD⊥AB于点D构造直角三角形，然后通过解Rt△BCD求出CD，与47
km比较大小即可解决问题．
{答案}解：如图所示：过点C作CD⊥AB，垂足为D．
根据题意可知∠BAC＝90°﹣30°＝30°，∠DBC＝90°﹣30°＝60°，∵∠DBC＝∠ACB+∠BAC，∴∠BAC＝30°＝∠ACB，∴BC＝AB＝60
km.
在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠DBC＝60°，sin∠DBC＝，
∴sin60°＝，∴CD＝60×sin60°＝60×＝30（km）＞47km，∴这艘船继续向东航行安全．
7．（2020·新疆）如图，为测量建筑物CD的高度，在A点测得建筑物顶部D的仰角为22°，再向建筑物CD前进30米到达B点，测得建筑物顶部D的仰角为58°（A、B、C三点在一条直线上），求建筑物CD的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，，，）
{解析}本题考查了用锐角三角函数解决实际问题．设CD的高度为x米，先利用直角三角形的边角关系表示出BC和AC的长，再列方程求解．
{答案}解：设CD＝x米.在Rt△BCD中，∵tan∠CBD＝，∴BC＝＝≈＝x．在Rt△ACD中，∵tan∠CAD＝，∴AC＝≈＝x．∵AC－BC＝AB，∴x－x＝30，解得x＝16．答：建筑物CD的高度16米．
8．（2020·遵义）某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门．如图为该测温门截面示意图，已知测温门AD的顶部A处距地面高为2.2m，为了解自己的有效测温区间身高1.6m的小聪做了如下实验:当他在地面N处时测温门开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为18°;在地面M处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°．求小聪在地面的有效测温区间MN的长度．(额头到地面的距离以身高计计算精确到0．1m，
sin18°≈0.31，
cos18°≈0.95，
tan18°≈0.32)
{解析}本题考查锐角三角函数的实际应用，根据锐角三角函数的意义及MN＝BC＝BE－EC列方程求解即可．解题时要注意牢记特殊三角函数值，按要求取近似数．
{答案}解:延长BC交AD于点E，则AE＝AD－DE＝0.6m．根据题意，得MN＝BC＝BE－EC，
即MN＝－＝1.875－0.346≈1．529≈1.5（m）
答:小聪在地面的有效距离MN的长度约为1.5m．
9．（2020·常德）如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是，卸货时，车厢与水平线AD成，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为，若米，求BC的长度．结果保留一位小数
参考数据：，，，，，，
{解析}本题考查了解直角三角形的应用．直接过点C作于点F，构造直角三角形（构造直角三角形时不要破坏特殊角），利用锐角三角函数关系得出CF的长，进而求出BC的长．
{答案}解：方法一：解：如图1，过点C作于点F，
在中，，，
在中，，，，
答：所求BC的长度约为米．
方法二：解：如图2，过点A作于点E，在中，，
，即，，
即，又在中，，，
，
答：所求BC的长度约为米．
10．（2020·安徽）如图，山顶上有一个信号塔AC，已知信号塔高AC＝15米，在山脚下点B处测得塔底C的仰角∠CBD＝36.9°，塔顶A的仰角∠ABD＝42.0°，求山高CD（点A，C，D在同一条竖直线上）.
（参考数据：tan36.9°≈0.75，sin36.9°≈0.60，tan42.0°≈0.90.）
{解析}在Rt△ABD和Rt△BCD中，由正切
的定义分别用BD表示出AD与CD的长，进而求解.
{答案}解:由题意，在Rt△ABD与Rt△CBD中，AD＝BD·tan∠ABD≈0.9BD，CD＝BD·tan∠CBD≈0.75BD.
于是AC＝AD－CD＝0.15BD.因为AC＝15(米)，所以BD＝100(米).所以山高CD＝0.75BD＝75(米).
11．(2020·绥化)如图8，热气球位于观测塔P的北偏西50°方向，距离观测塔100km的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于观测塔P的南偏西37°方向的B处，这时，B处距离观测塔P有多远？
(结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19．)
(
北
P
C
A
B
图
8
50
°
37
°
)
{解析}由AB∥南北线，求得∠A，∠B．然后利用正弦先求出PC，再求出PB．
{答案}解：由已知，得∠A＝50°，∠B＝37°，PA＝100．
在Rt△PAC中，∵sinA＝，∴PC＝PA·sin50°≈77．在Rt△PBC中，∵sinB＝，∴PB＝≈128(千米)．答：这时，B处距离观测塔约为128千米．
12.（2020·江苏徐州）小红和爸爸绕着小区广场锻炼.在矩形广场ABCD边AB的中点M处有一座雕塑.在某一时刻，小红到达点P处，爸爸到达点Q处，此时雕塑在小红的南偏东45?方向，爸爸在小红的北偏东60?方向，若小红到雕塑的距离PM=30m，求小红与爸爸的距离PQ.
（结果精确到1m，参数数据，，）
（第25题）
{解析}先解直角三角形PAM求出AM的长，再求出AB的长，然后构造以PQ为边的直角三角形，然后解这个三角形可得PQ的长，最后再进行精确计算.
{答案}解：在Rt△PAM，∵PM=30m，∴AM=PM×sin45?=30×=15（m）,
∴AB=2AM=30m.过点P作PH⊥BC，得矩形PABH，∴PH=AB=30m,
∵∠DPQ=60?，∴∠QPH=30?,在Rt△PHQ中，PQ=49（m）.
答：小红与爸爸的距离PQ约为49m.
13．（2020·聊城）如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量．先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，后站在M点处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45°．居民楼AB的顶端B的仰角为55°．已知居民楼CD的高度为16.6m，小莹的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB的高度（精确到1m）．
（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）
(
55°
45°
A
B
C
D
M
N
)
{解析}过点N作出平行于AC的直线，即可构造两个直角三角形，通过解直角三角形求解，均属于“已知一边一角”解直角三角形类型．
{答案}解：过点N作EF∥AC交AB于点E，交CD于点F．
则AE＝MN＝CF＝1.6，EF＝AC＝35，∠BEN＝∠DFN＝90°，EN＝AM，NF＝MC，
则DF＝CD－CF＝16.6－1.6＝15．在Rt△DFN中，∵∠DNF＝45°，∴NF＝DF＝15．
∴EN＝EF－NF＝35－15＝20．在Rt△BEN中，∵tan∠BNE＝，
∴BE＝EN·tan∠BNE＝20×tan55°≈20×1.43＝28.6°．∴AB＝BE＋AE＝28.6＋1.6≈30．
答：居民楼AB的高度约为30m．
(
55°
45°
A
B
C
D
M
N
E
F
)
14．（2020·宿迁）如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A在B的正西方向，AB＝2
km，从观测站A测得船C在北偏东45°的方向，从观测站A测得船C在北偏西30°的方向．求船C离观测站A的距离．
{解析}过点C作CD⊥AB于点D，设AD＝CD＝x
km，从而AC＝x
km，在Rt△BCD中，由正切函数得到x的方程求解即可．
{答案}解：如答图，过点C作CD⊥AB于点D，则∠CAD＝∠ACD＝45°，从而AD＝CD＝x
km，AC＝x
km，DB＝(2－x)km，∠CBD＝60°．
在Rt△BCD中，由tan∠CBD＝，得tan60°＝，即＝，解得x＝3－，经检验，x＝3－是原方程的根，从而AC＝x
km＝?(3－)＝(3－)
km．答：船C离观测站A的距离为(3－)
km．
15．（2020·河南）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一.某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度.如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16
m到达点N处，测得点A的仰角为45°.测角仪的高度为1.6
m.
(1)求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1
m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）；
(2)“景点简介”显示，观星台的高度为12.6
m.请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议.
{解析}本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是能将实际问题转化为解直角三角形问题．(1)过A点作AE⊥BC，交BC的延长线于点E，交MP于点F，设AE=
m,从而构建出两个直角三角形.在Rt△ACE利用∠ACE=45°，表示出BE=x+16；在Rt△ABE中，利用tan∠ABE建立方程，求出x的值，再加上测角仪的高度即是观景台的高度；（2）可采用多次测量求平均值来减小误差.
{答案}解：(1)过A点作AE⊥BC，交BC延长线于点E，交MP于点F，设AE=.
在Rt△ACE中，∠ACE=
45°，∴AE=CE=，∵BC=16，∴BE=+16；
在Rt△ABE中，∠ABE=
22°，∴tan22°=，
，解得:x≈10.67，
由题意，易知四边形BEFM为矩形，∴EF=BM=1.6，
∴AF=10.67+1.6=12.27≈12.3().
答：观景台的高度约为12.3m.
(2)本次测量的误差为:12.6－12.3=0.3()，宜多测量几次，取这几次计算结果的平均数，可以尽可能地减小误差.
16．（2020·衡阳）小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线OB与底板的边缘线OA所在水平线的夹角为120°时感觉最舒适(如图①).侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点B、O、C在同一直线上，OA=OB?=24cm，BC⊥AC，∠OAC=30°.
求OC的长；
如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB'与水平线的夹角仍保持120°，求点B'到AC的距离.
(结果保留根号)
{解析}本题考查了解直角三角形的应用与相似三角形，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．（1）如图3中，解直角三角形求出CO即可．（2）如图④，过B
'作B
'
D⊥AC交AC的延长线于D，延长B'O交AC于E，在Rt△OCE中先根据三角函数的定义求OE，从而求得B
'
E，再利用相似三角形对应边成比例或解直角三角形求B
'
D．
{答案}解：（1）如图3中，∵BC⊥AC，垂足为C，∠OAC=30°，
∵sin∠OAC
，∴OC＝OA?sin∠OAC＝24?sin30°＝12（cm）；
（2）如图④，过B
'作B
'
D⊥AC交AC的延长线于D，延长B'O交AC于E.则
∠B
'
EA＝∠BOA＝120°，∠B
'
DE＝∠OCA＝90°
，O
B
'=OB?=24cm，∵∠B
'
EA=∠OCA+∠COE，∴∠COE＝∠B
'
EA﹣∠OCA＝120°﹣90°＝30°，在Rt△OCE中，cos∠COE
=，∴OE=cm，∴B
'
E=B
'
O+
OE=+24，
∵∠B
'
DE＝∠OCA，∴OC∥B
'
D，∴，∴，解得B
'
E=12+，点B'到AC的距离为（12+）cm．
17．（2020·贵阳）（8分）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为60°，房屋的顶层横梁EF＝12m，EF∥CB，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，1.7）
（1）求屋顶到横梁的距离AG；
（2）求房屋的高AB（结果精确到1m）．
{解析}本题考查了．
{答案}解：（1）∵房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，EF∥BC，∴AG⊥EF，EG∠AEG＝∠ACB＝35°，
在Rt△AGE中，∠AGE＝90°，∠AEG＝35°，∵tan∠AEG＝tan35°，EG＝6，
∴AG＝6×0.7＝4.2（米）；答：屋顶到横梁的距离AG为4.2米；
（2）过E作EH⊥CB于H，设EH＝x，在Rt△EDH中，∠EHD＝90°，∠EDH＝60°，
∵tan∠EDH，∴DH，在Rt△ECH中，∠EHC＝90°，∠ECH＝35°，
∵tan∠ECH，∴CH，∵CH﹣DH＝CD＝8，∴8，
解得：x≈9.52，∴AB＝AG+BG＝13.72≈14（米），答：房屋的高AB为14米．
18．（2020·陕西）如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测量对面商业大厦的高度MN．他俩在小明家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数．于是，他俩上楼来到小华家，在窗台C处测得商业大厦底部M的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2恰好相等．已知A、B、C三点共线，CA⊥AM，MN⊥AM，AB＝31m，BC＝18m，试求商业大厦的高MN．
第20题图
{解析}如答图，过点C作CE⊥MN，垂足为E，过点B作BF⊥MN，垂足为F．证四边形AMEC和四边形AMFB均为矩形以及△BFN≌△CEM，根据矩形的性质和全等三角形的性质可以求出MN的长．
{答案}解：如答图所示，过点C作CE⊥MN，垂足为E，过点B作BF⊥MN，垂足为F．
∴∠CEF＝∠BFE＝90°．∵CA⊥AM，NM⊥AM，∴四边形AMEC和四边形AMFB均为矩形．
∴CE＝BF，ME＝AC．又知∠1＝∠2，∴△BFN≌△CEM．∴NF＝ME＝31+18＝49．
由矩形性质，易得EF＝CB＝18，∴MN＝NF+EM－EF＝49+49－18＝80（m）．
∴商业大厦的高MN为80m．
第18题图
19．（2020·南京）如图，在港口A处的正东方向有两个相距6km的观测点B、C.一艘轮船从A处出发，沿北偏东26°方向航行至D处，在B、C处分别测得∠ABD＝45°，∠C＝37°.
求轮船航行的距离AD.(参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75).
{解析}过点D作AC的高线DH，构造Rt△ADH、Rt△BDH和Rt△DCH，运用三角函数关系用DH表示BH、CH，由CH－BH的值求出DH.在Rt△ADH中由余弦的定义求AD的长.
{答案}解：如图，过点D作DH⊥AC，垂足为H.
在Rt△DCH中，∠C＝37°.
∵tan37°＝，
∴CH＝.
在Rt△DBH中，∠DBH＝45°.
∵tan45°＝，
∴BH＝.
∵BC＝CH－BH，
∴－＝6，解得：DH≈18.
在Rt△DAH中，∠ADH＝26°，
∵cos26°＝，
∴AD＝≈20.
因此，轮船航行的距离AD约为20km.
20．热气球的探测器显示，从热气球A处看大楼BC顶部C的仰角为30°，看大楼底部B的俯角为45°，热气球与该楼的水平距离AD为60米，求大楼BC的高度．
(结果精确到1米，参考数据:
≈1.73)
{解析}本题考查了解直角三角形的实际应用．根据直角三角形中的边角关系，可以分别求得BD和CD的长，从而可以求得BC的长.
{答案}解：在Rt△ADB中，∵∠BAD＝45°，AD＝60，∴BD＝60．
在Rt△ADC中，∵∠CAD＝30°，AD＝60，
∴DC＝AD·tan30°＝60×＝20≈35(米)．
∴大楼BC的高度约为60+35=95米．
21.
(2020·连云港)
(本题满分12分)筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道:“水能利物，轮乃曲成”.如图，半径为3
m的筒车⊙O按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心O距离水面的高度OC长为2.2
m.筒车上均匀分布着
若干个盛水筒.若以某个盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间。
(1)经过多长时间，盛水筒P首次到达最高点?
(2)浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面多高?
(3)若接水槽MN所在直线是⊙O的切线，且与直线AB交于点M，MO=8
m.求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线MN上.
(参考数据:cos43°=
sin47°≈，sinl6°=
cos74°≈，sin22°=
cos68°≈）
{答案}(1)如图1，由题意得，筒车每秒旋转360°=
5°.
连接OA，在Rt△ACO中，cos∠AOC=，所以∠AOC=43°.
所以=27.4(秒).
答:盛水简P首次到达最高点所需的时间为27.4秒.
...................4分
(第25题图1）
(第25题图2）
(第25题图3）
(2)如图2，盛水简P浮出水面3.4秒后，此时∠AOP=3.4×5°=17°.
所以∠POC=∠A0C+∠AOP=
43°+17°=
60°.
过点P作PD⊥OC，垂足为D，在Rt△POD中，OD=OP·cos60°=3×=1.5.
2.2-
1.5=0.7.
答:此时盛水简P距离水面的高度0.7m.
(3)如图3，因为点P在O上，且MN与O相切，
所以当P在直线MN上时，此时P是切点.
连接OP，所以OP⊥MN.
在Rt△OPM中，cos∠POM
=所以∠POM=68°.
在Rt△OCM中，cos∠COM
=.所以∠COM=74°，
所以∠POH=
180°-∠POM-∠COM=180°
-
68°-74°=
38°.
所以需要的时间为=7.6(秒).
答:从最高点开始运动，7.6秒后盛水简P恰好在直线MN上.
22.（2020·淮安）（本小题满分8分）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A、B、C，测得∠CAB＝30°，∠ABC＝45°，AC＝8千米，求A、B两点间的距离．（参考数据：1.4，1.7，结果精确到1千米）．
{解析}过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，通过解直角三角形可求出AD，CD的长，在Rt△BCD中，由∠BDC＝90°，∠CBD＝45°可得出BD＝CD，再结合AB＝AD+BD即可求出A、B两点间的距离．
{答案}解：过点C作CD⊥AB于点D，如图所示．
在Rt△ACD中，AC＝8千米，∠CAD＝30°，∠CAD＝90°，
∴CD＝AC?sin∠CAD＝4千米，AD＝AC?cos∠CAD＝4千米≈6.8千米．
在Rt△BCD中，CD＝4千米，∠BDC＝90°，∠CBD＝45°，
∴∠BCD＝45°，
∴BD＝CD＝4千米，
∴AB＝AD+BD＝6.8+4≈11千米．
答：A、B两点间的距离约为11千米．
23.如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板固定在支撑板顶端点处，且，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动.（结果保留小数点后一位）
（1）若，，求点到直线的距离；
（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把绕点逆时针旋转后，再将绕点顺时针旋转，使点落在直线上即可，求旋转的角度.
（参考数据：，,,
,）
【解析】（1）如图1，过点C作CH⊥DE于点H.
∵CD80，∠CDE=60°，∴sin60°=，
∴
作AM⊥DE于点M，CN⊥AM于点N.∴MN=CH=，∠NCD=∠CDE=60°
∵∠DCB=80°，∴∠ACN=180°-80°-60°=40°.
∵sin∠ACN=∴AN=80sin40°≈80×0.643≈51.44.
∴AM=AN+NM≈51.44+69.28≈120.7mm.
（2）解法一：
∵AB绕着点C逆时针旋转10°，∴∠DCB=90°.如图2，连接BD.
∵DC=80，CB=40.∴tan∠CDB==0.5.
∴∠CDB≈26.6°.∴∠BDE≈60°-26.6°=33.4°
答：CD旋转的度数约为33.4°
解法二：
当点B落在DE上时，如图3
在Rt△BCD中，BC=40，CD=80（∠DCB=90°，同解法一）
∴tan∠CDB==0.5.∴∠CDB≈26.6
∴∠=∠-∠BDC=60°-26.6°=33.4°
答：CD旋转的度数约为33.4°
24..（2020·盐城）
如图，在中，的平分线交于点.求的长？
20．解析：本题考查的是解直角三角形的知识，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．第一步在Rt△ABC利用锐角三角函数关系求出∠A和∠ABC，第二步在Rt△BCD中求利用锐角三角函数关系得出BC的长，第三步在Rt△ABC利用锐角三角函数关系求出AB的长．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝
∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠CBD＝∠ABD＝30°，
又∵CD＝，
∴
，
在Rt△ABC中，∠C＝90°∠A＝30°
∴.
25.（2020·襄阳）（6分）襄阳东站的建成运营标志着我市正式进入高铁时代，郑万高速铁路襄阳至万州段的建设也正在推进中．如图，工程队拟沿AC方向开山修路，为加快施工进度，需在小山的另一边点E处同时施工．要使A，C，E三点在一条直线上，工程队从AC上的一点B取∠ABD＝140°，BD＝560米，∠D＝50°，那么点E与点D间的距离是多少米？（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
{解析}本题考查了解直角三角形，解题的关键是合理地选择锐角三角函数公式．
{答案}∵∠ABD＝140°，
∴∠EBD＝40°．
又∵∠D＝50°，
∴∠E＝90°．
在Rt△BDE中，cosD＝，
∴DE＝BD?cosD＝560×0.64＝358.4（米）．
∴点E与点D间的距离是358.4米．
26.．（2020·青岛）如图，在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头B，D，某海岛上的观测塔A距离海岸5海里，在A处测得B位于南偏西22°方向.一艘渔船从D出发，沿正北方向航行至C处，此时在A处测得C位于南偏东67°方向.求此时观测塔A与渔船C之间的距离(结果精确到0.1海里).
(参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈）
解：如图所示，作AE⊥BD于E，CF⊥AE于F，
由题意得AE=5，BD=6，∠BAE=22°，∠CAF=67°，∠AED=∠AEB=∠CFA=∠CFE=∠CDE=90°，
∴四边形CDEF是矩形，∴CF=DE=BD-BE=6-BE.
在Rt△ABE中，∵，∴BE=2，∴CF=6-BE6-2=4.
在Rt△ACF中，∵，∴AC=≈4.3.
答：此时观测塔A与渔船C之间的距离约为4.3海里.
27.（10分）如图，无人机在离地面60米的C处，观测楼房顶部B的俯角为30°，观测楼房底部A的俯角为60°，求楼房的高度.
{解析}添加辅助线，构造相应的直角三角形，利用锐角三角函数解答.
{答案}解：过点B作BE⊥CD交CD于点E，由题意得，
∠CBE=30°,∠CAD=60°.
在Rt△ACD中，tan∠CAD=tan60°=,
∴,
∴.
在Rt△BCE中，tan∠CBE=tan30°=,
∴,
∴ED=CD-CE=60-20=40,
∴AB=ED=40(米).
答：这栋楼房的高度为40米.
28.．（2020·岳阳）共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图A,B两地向C地新建AC，BC两条笔直的污水收集管道，现测得C地在A地北偏东45°方向上，在B地北偏西68°方向上，AB的距离为7km，求新建管道的总长度.（结果精确到0.1km，sin22°≈0.37，cos22°≈0.
93，tan22°≈0.40，≈1.41）
{解析}本题考查解直角三角形的应用.
过点C作CD垂直于AB于D，由此得到两个直角三角形.
假设CD=x
km，利用三角函数表示出AD和BD，利用AB长度为7
km，从而解出x，进而求出AC，BC以及它们的和.
{答案}解:
如图，过点C作于点D.
由题意得：∠CAD=45°，∠CBD=22°.
设CD=x
km.
∴，AD=CD.
∵AB=AD+BD，
∴.
解得x=2.
∴km.
答：新建管道的总长度约为8.2
km．
29.（2020·菏泽）某兴趣小组为了测量大楼CD的高度，先沿着斜坡AB走了52米到达坡顶点B处，然后在点B处测得大楼顶点C的仰角为53°，已知斜坡AB的坡度为i＝1∶2.4，点A到大楼的距离AD为72米，求大楼的高度CD．（参考数据：sin53°≈，sin53°≈，tan53°≈）
(
53°
A
B
C
D
)
{解析}为利用已知条件坡度与仰角，构造两个直角三角形与矩形求解．
{答案}解：如图，过点B作BE⊥AD于点E，作BF⊥CD于点F．
在Rt△ABE中，AB=52，∵i＝1∶2.4，
∴tan∠BAE==，∴AE=2.4BE，
又∵BE2+AE2=AB2，∴BE2+(2.4BE)2=522，
解得BE=20，∴AE=2.4BE=48．
∵∠BED=∠D=∠BFD=90°，
∴四边形BEDF是矩形，
∴FD=BE=20，BF=ED=AD－AE=72－48=24．
在Rt△BCF中，
tan∠CBF=，即tan53°==，
∴CF=BF=32，
∴CD=CF+FD=32+20=52．
答：大楼的高度CD为52米．
(
E
F
53°
A
B
C
D
)
30．(2020·荆门)如图12，海岛B在海岛A的北偏东30°方向，且与海岛A相距20海里．一艘渔船从海岛B出发，以5海里/时的速度沿北偏东75°方向航行，同时一艘快艇从海岛A出发，向正东方向航行．2小时后，快艇到达C处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的E处．
(1)求∠ABE的度数；
(2)求快艇的速度及C，E之间的距离．
(参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.73)
{解析}(1)过点B作AC的垂线，垂足为D，则∠ABE＝∠ABD＋∠DBE；
(2)过点B作CE的垂线，垂足为F，则所作辅助线把四边形ABEC分割成两个直角三角形和一个矩形，分别解两个直角三角形即可．
{答案}解：(1)如图#，过点B作BD⊥AC于点D，作BF⊥CE于点E．由题意得：
∠NAB＝30°，∠GBE＝75°．
∵AN∥BD，∴∠ABD＝∠NAB＝30°．
而∠DBE＝180°－∠GBE＝180°－75°＝105°．
∴∠ABE＝∠ABD＋∠DBE＝30°＋105°＝135°．
(2)BE＝5×2＝10(海里)．
在Rt△BEF中，∠EBF＝90°－75°＝15°．
EF＝BE╳sin15°≈10×0.26＝2.6(海里)．
BF＝BE╳cos15°≈10×0.97＝9.7(海里)．
在Rt△ABD中，AB＝20，∠ABD＝30°，
AD＝AB×sin30°＝20×＝10(海里)．
BD＝AB×cos30°＝20×＝10≈10×1.73＝17.3．
∵BD⊥AC，BF⊥EC，CE⊥AC，∴∠BDC＝∠DCF＝∠BFC＝90°．
∴四边形BDCF为矩形．
∴DC＝BF＝9.7，FC＝BD＝17.3．
∴AC＝AD＋DC＝10＋9.7＝19.7．
CE＝EF＋CF＝2.6＋17.3＝19.9．
设快艇的速度为v海里/时，则v＝＝9.85(海里/时)．
答：快艇的速度为9.85海里/时，C，E之间的距离为19.9海里．
31．（2020·随州）如图，某楼房AB顶部有一根天线BE，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点C，D，A，在点C处测得天线顶端E的仰角为60°，从点C走到点D，测得CD=5米，从点D测得天线底端B的仰角为45°，已知A，B，E在同一条垂直于地面的直线上，AB=25米.
(1)求A与C之间的距离；
(2)求天线BE的高度.(参考数据：√5≈=1.73,结果保留整数)
{解析}本题考查了解直角三角形的实际应用．
（1）由∠ADB=45°，得到AD=AB=25米.再由CD=5米，可以求得A，C之间的距离为30米；
（2）在Rt△ACE中，利用∠ACE=60°，AC=30米，可以求得AE=30·tan60°=30（米），再用AE减去AB即可得到BE=(30-25)米，最后按精确度求出近似值，即可得到答案.
{答案}解：(1)依题意可得，在Rt△ABD中，∠ADB=45°，∴AD=AB=25米.……2分
∵CD=5米，∴AC=AD+CD=25+5=30（米）.即A，C之间的距离为30米.………4分
(2)在Rt△ACE中，∠ACE=60°，AC=30米，∴AE=30·tan60°=30（米），…6分
∵AB=25米，∴BE=AE-AB=(30-25)米.……7分
由≈1.73，并精确到整数可得BE≈27米.即天线BE的高度约为27米.……8分
32．（2020·泰州）我市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动，小亮在河畔的一幢楼上看到一艘龙舟迎面驶来，他在高出水面15
m的A处测得在处的龙舟俯角为；他登高到正上方的处测得驶至处的龙舟俯角为，问两次观测期间龙舟前进了多少？（结果精确到，参考数据：，，，）
{解析}若直角顶点记为点E，分别在Rt△BDE和Rt△ACE中，求出CD和DE的长，两条线段相减即可得到CD的长．
{答案}解：如图，由题意，∠ACE＝23°，∠BDE＝50°，AE＝15，AB＝6．
在Rt△BDE中，DE＝＝≈17.647
在Rt△ACE中，CE＝＝≈35.714
∴CD＝35.714－17.647≈18（m）
答：两次观测期间龙舟前进了18米．
33.（2020·镇江）（本小题满分6分）
如图，点
与树
的根部点
、建筑物
的底部点
在一条直线上，
．小明站在点
处观测树顶
的仰角为
，他从点
出发沿
方向前进
到点
时，观测树顶
的仰角为
，此时恰好看不到建筑物
的顶部
（
三点在一条直线上）．已知小明的眼睛离地面
，求建筑物
的高度（结果精确到
）．
参考数据：
．
{解析}本题考查了解直角三角形，根据题意作辅助线，构造出含特殊角的直角三角形是解题的关键．
{答案}解：过点H作HM⊥AB于M，并延长交CD于点N，则HN⊥CD．
由题意可知，EG＝FH＝6，MN＝AC＝10，∠BFM＝30°，
在Rt△
BMH中，∠BHM＝45°，
设BM＝MH＝a
在Rt△
FMB中，∠BFM＝30°，tan∠BFM＝
∴
tan30°＝
∴
a＋b＝
∴
在Rt△
DNH中，∠DHN＝45°，
∴
DN＝NH＝NM＋MH＝
．
∴
CD＝DN＋NC＝
答：建筑物的高度约为19．8米．
34.．图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过，图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形ABC和DEF是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，BC
和EF均垂直于地面，扇形的圆心角∠ABC＝∠DEF＝28°，半径BA＝ED＝60cm，点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为10cm．
（1）求闸机通道的宽度，即BC与EF之间的距离（参考数据:
sin28°≈0.47，
cos28°≈0.88，
tan28°≈0.53）;
（2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，
180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数．
第21题图
{解析}本题考查锐角三角函数的实际应用和分式方程的应用．
（1）适当添加辅助线得MN的长度就是BC与EF之间的距离，由轴对称可得AM=
DN，利用锐角三角函数的边角关系求得AM，由MN＝AM＋DN＋AD得解；
（2）根据“一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍”“180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟”列分式方程，求解即可．
{答案}解:（1）连接AD，并向两方延长，分别交BC，EF于点M，N．）
由点A与点D在同－水平线上，BC，EF均垂直于地面可知，MN⊥BC，MN⊥EF，
所以MN的长度就是BC与EF之间的距离．
同时，由两圆弧翼成轴对称可得AM=
DN．
在Rt△ABM中，∠AMB
=90°，∠ABM=28°，AB=60,
∵sin∠ABM
=．
∴AM＝AB·sin∠ABM＝60×sin28°≈60
×0.47
＝28.2．
∴MN＝AM＋DN＋AD＝2AM＋AD＝28.2×2＋10＝66.4．
∴BC与EF之间的距离为66.4cm．
（2）解法一:设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为x人．
根据题意，得－3＝.
解，得x＝30．
经检验x＝30是原方程的解．
当x＝30时，2x＝60．
答:一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为60人．
解法二:设一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为x人.
根据题意，得＋3＝.
解，得x＝60．
经检验x＝60是原方程的解．
答:一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为60人.
35．（2020·天水）为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图所示，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行30分钟后到达B处，此时测得灯塔P在北偏东45°方向上．
（1）求∠APB的度数；
（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？（参考数据：≈1.414，≈1.732）
{解析}（1）在△ABP中，求出∠PAB、∠PBA的度数即可解决问题；
（2）作PH⊥AB于H．求出PH的值即可判定；
{答案}解：（1）在△ABP中，∠PAB＝90°－60°＝30°，∠PBA＝90°＋45°＝135°，
∴∠APB＝180°－∠PAB－∠PBA＝180°－30°－135°＝15°；
（2）作PH⊥AB交AB的延长线于点H，设PH＝x海里，
则BH＝PH＝x海里，AB＝40×＝20海里，
在Rt△APH中，tan30°＝，∴＝，
解得：x＝10＋10≈27.32＞25．
∴海监船继续向东方向航行安全．
36．（2020·鄂州）鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行50米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°．线段的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．其中米．
（1）求无人机的飞行高度；（结果保留根号）
（2）求河流的宽度．（结果精确到1米，参考数据：）
{解析}此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是熟知解直角三角形的方法．
（1）根据正切的定义即可求出AM的长；
（2）过点B作BH⊥MD，根据三角函数求出DH的长，利用CD＝DH-CH即可求解．
{答案}解：（1）由题意可得AF∥MD
∴∠ACM＝∠FAC＝
在Rt△ACM中，AM＝CMtan∠ACM＝CM(米);
（2）如图，过点B作BH⊥MD，
在Rt△BDH中，∠BDH＝∠FBD＝30°，BH＝
∴DH＝BH÷tan30°＝÷＝300米，
∵AM⊥DM，AM⊥AF
∴四边形ABHM是矩形
∴MH＝AB＝50米
∴CH＝CM-MH＝-50(米)
∴CD＝DH-CH＝300-（-50）＝350-≈263（米）
故河流的宽度为263米．
37.（2020?湘西州）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，BA＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．探究图中线段AE，CF，EF之间的数量关系．
小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CG＝AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFG≌△BFE，可得出结论，他的结论就是　
　；
探究延伸1：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，BA＝BC，∠ABC＝2∠MBN，∠MBN绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由；
探究延伸2：如图3，在四边形ABCD中，BA＝BC，∠BAD+∠BCD＝180°，∠ABC＝2∠MBN，∠MBN绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由；
实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处．舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处．且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°．试求此时两舰艇之间的距离．
（第25题图）
{解析}本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEF≌△AGF是解题的关键．易得他的结论就是AE+CF=EF；（探究延伸2）如答图1，延长DC到点H．使CH＝AE，连结BH，即可证明△BCH≌△BAE，可得BE＝HB，再证△HBF≌△EBF，可得EF＝HF，即可得到结论；（实际应用）如答图2，连接EF，延长AE、BF相交于点G，先验证的是否符合“探究延伸2”的条件，然后利用（探究延伸2）结论求此时两舰艇之间的距离即可．
{答案}解：他的结论就是AE+CF=EF；探究延伸1：上述结论仍然成立；
（第25题答图1）
（第25题答图2）
探究延伸2：上述结论仍然成立．
证明如下：如答图1，延长DC到点H．使CH＝AE，连结BH．
∵∠BAD+∠BCD=180°，∠BCH+∠BCD=180°，∴∠BCH＝∠BAD，
∵BA＝BC，CH＝AE，∴△BCH≌△BAE，
∴BE＝HB，∠ABE＝∠HBC，∴∠HBE=∠ABC，
∵∠ABC＝2∠MBN，∴∠HBE＝2∠MBN，∵BF＝BF，
∴△HBF≌△EBF，∴EF＝HF，∴AE+CF=EF；
实际应用：如答图2，连接EF，延长AE、BF相交于点G，∵舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处．舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，∴∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∵指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°，∴∠EOF＝70°，∴∠AOB=
2∠EOF，又∵OA＝OB，∠A＝60°，∠B＝120°，∴∠A+∠B＝180°∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF＝AE+BF成立，由题意得AE=
75×1.2=90（海里），
BF=100×1.2=120（海里），∴EF＝90+120＝210海里．答：此时两舰艇之间的距离是210海里
38.．（2020·怀化）如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树A点处测得古树顶端D的仰角为30°，然后向古树底端C步行20米到达点B处，测得古树顶端D的仰角为45°，且点A、B、C在同一直线上求古树CD的高度．（已知：1.414，1.732，结果保留整数）
{答案}解：由题意可知，AB＝20，∠DAB＝30°，∠C＝90°，∠DBC＝45°，
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴CB＝CD，
设CD＝x，则BC＝x，AC＝20+x，
在Rt△ACD中，
tan30°，
解得x＝1010≈10×1.732+10＝27.32≈27，
∴CD＝27，
答：CD的高度为27米．
39.
(2020·湘潭)为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形为矩形，，其坡度为，将步梯改造为斜坡，其坡度为，求斜坡的长度．（结果精确到，参考数据：，）
{解析}先由DE的坡度计算DC的长度，根据矩形性质得AB长度，再由AF的坡度得出BF的长度，根据勾股定理计算出AF的长度．
{答案}∵，其坡度为，
∴在中，
∴解得
∵四边形ABCD为矩形
∴
∵斜坡的坡度为
∴
∴
在中，（m）
∴斜坡的长度为20.61米．
40.
（2020·张家界）“南天一柱”是张家界“三千奇峰”中的一座，位于世界自然遗产武陵源风景名胜区袁家界景区南端．2010年1月25日，“南天一柱”正式命名为《阿凡达》的“哈利路亚山”．如图，航拍无人机以的速度在空中向正东方向飞行，拍摄云海中的“南天一柱”美景．在A处测得“南天一柱”底部C的俯角为，继续飞行到达B处，这时测得“南天一柱”底部C的俯角为，已知“南天一柱”的高为，问这架航拍无人机继续向正东飞行是否安全？（参考数据：，，）
{解析}本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．设无人机距地面xm，直线AB与南天一柱相交于点D，根据AD-BD=AB列方程求出x的值，与南天一柱的高度比较即可．
{答案}解：设无人机距地面xm，直线AB与南天一柱相交于点D，由题意得∠CAD=37°，∠CBD=45°．
在Rt△ACD中，
∵tan∠CAD=，
∴AD=．
在Rt△BCD中，
∵tan∠CBD=，
∴BD=．
∵AD-BD=AB，
∴-=9×6，
∴x=162，
∵162>150，
∴这架航拍无人机继续向正东飞行安全．

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