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导数取点赋值基本定理
取点赋值的基本定理
设函数f(x)在定义域上单调递增,且存在一个零点
已知该零点无法通过代数方法解出,则为
证明该函数在定义域上有零点,我们需要找到合适的上下界,证明函数值在两个界点处异号
为了寻找一个点
作为区间左端点,使f(x1)<0,我们需要找到一个函数g(x),设置如下要求
g(x)>f(x),且g(x)的零点x=x1可以通过代数方法解出.那么,当x=x1时,必有x1同理,如果我们要找到一个点x=x2作为区间右端点,使f(x2)>0,也需要找到一个函数h(x),其中
h(x)且f(x2)>0
函数∫(x)在定义域上单调递减的情况同理
我们可以通过示意图来直观地理解这个原理.(仅绘出f(x)单调递增的示意图图象表示的是原函数零
点附近的大致走势,并非全局的单调性
取点赋值的基本技能:优先原则
(1)常数优先
值点优先
简单运算优先:运用指对性质,将式
对数与常数合并,与指数
合的转移到指数位置,然后借助指对不等
对数化:x
)指数化
放缩是重点,也是难点:切线放缩是核心
e≥x+1
c≥y两边乘以e
1代
两边除以e
x≥lnx+
两边减1
以ex代x
类型一常数优先原则
例1.(19全国2)已知函数f(x)
(1)讨论f(x)的单
并证明f(x)有且仅有两个零点
(2)略
(1)函数f(X)的定义域为
因f(x)的定义域为(0,1)
即
即f(X)在(0,1)和
递增;目
(0
显
)当X∈(0,1),函数f(×)有零点
数f(x)在X∈(0,1)上单调递
(0,1)时,函数f(x)有
零
因为f(e)·f(e2)<0,所以函数f(x)在(e,e)必有一零点,而函数f(x)在
1+∞)上是单调递增,故当X∈(1
函数f(x)有唯一的零
所述,函数f(×)的定义域
(1+∞)内有2个零
(2)略
例2.已知函数
r)存在唯一极大值
有且仅
零点
)函数f(x)
函数
调递减,又
存在
当x∈(0,x)时,g(x)
f(x)>0,函数f(x)单调递增;当x∈(x3,x)时,g
函数f(x)单调递减
数f(x)
在唯一极大值点x
)可知,函数
单调递增
单调递减
数f(x)的极大值点
在区间(
存在一个零点,在区间(x3,z)
零点
时,设
则h(
)在(r,+∞)上单调递减
时,f(x)<0,无零点
+∞)时,f(x)<0,无零
函数f(x)在区间(x,+∞)内无零点
函数f(x)有且仅有2个零
类型
极(最)值点优先
例3(19全国2)已知函数f(
存
极值点
仅有两个实根,且两个实根互为倒数
【解】(1)由题意可得,f(×)的定义域为(0,+∞)
1,得f'(x)

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