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导数取点赋值的基本应用
常见放缩
指数型
e
线放缩
当02对数型
X→令X→
→lnX≤
X<
当x>4时,割线放缩,Inx
基本技能
指数化变形过
1,当X≈0.6时等号成
对数化变形过程
升阶等
例1:设常数λ>0,a>0,函数f(
对于任意给定的正实数A
证明:存在实数X,当X>X时,f(x)
证明:令g的)南x-×则g(x)
当x∈Q时,g(x)
x)递
递减;即
4
)≤g(4
)
总结:显然本题通过降阶来实现的
变式:证明:对任意给定正数c,总存在X,使得当∈(X,+∞)时,恒有X证明:易证
妨考虑x>0时
解得
取x
当
注:这题取点方式很多,变换途径也多,比如可以cex>cx2再令cx2>x
例2(2020全国1卷文科)已知函数f(x)
)若f(x)有两个零点,求实数a的取值范围
零点,不成
(2)
最小值
)至多
点,不成立
∞,na)上有唯一零
∞)有唯一零点
法一:割线放缩,两
(割线放缩),取X>4
在(1na,+∞)上有唯一零点X2,故f(x)在(-∞,+∞)上有两个零点
法二:升阶,即
132
令,
故f(X)在(-∞,+∞)上有两个零点
所以满足条件的
设函数f(x
2(1+2×)
),其
若对x≥0,恒有f(
求实数a的取值范围。
解法一:(必要条件探路)X≥0,f(x)≥0恒成
意到f(O
a
①若a≥2时,f(
弟增
己g(X)=X-n(x+1)(X>0),g(
递增,g(
X
所
4
即存在x使得X∈(0
减
矛盾
的取值范围[2
解法二:(对数单身狗)f(x)≥0等
注意到g(
x)
(x)在
单
h(X)≥h(O)=a
x)递增
g(×)≥g(0
符合题意
解
-(a+8)+√a-4)+112
减
(0)
的取值范围
例4.设函数
是否存在实数a,使得关于x的不等式
a的解集为(0,+∞)?若存在,求a的取值范围;若不存在,试
说明理由
解:①当
(1
1+X
故关
不等式f(x)≥a的解集为
②
0时,令
(×)>0
g(×)递增;当X∈(4,+∞
g(x)递减
时
2
意
方面
解之得
a
意不符
时,关于X的不等式
综上可知,存在a,使得关于X的不等式
集为(0
为(
点的方式很多
如这个题也
两路合围的策略
在
式为
点更简洁,可以进一步放缩
(1
再用两
策略解决
专题小练
的零点的个数
函数f(x)=hx+-a的零点的个数
论函数f(x)
零点的个数
4设函数f(
对任意正数a,存
恒有f(x)

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