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第3节　单摆
学习目标：1.[物理观念]知道单摆的振动是简谐运动．　2.[科学思维]掌握影响单摆周期的因素和周期公式．　3.[科学态度与责任]能够利用单摆周期公式解释与单摆相关的现象．　4.[科学探究]学会用单摆周期公式测定重力加速度的方法．
一、单摆的振动
1．单摆模型
把一根不能伸长的细线上端固定，下端拴一个小球，线的质量和球的大小可以忽略不计，这种装置叫作单摆．
2．单摆的回复力
(1)回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力．
(2)回复力的特点：在偏角很小时(通常θ<5°)，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－x.
(3)运动规律
单摆在偏角很小时做简谐运动，其振动图像遵循正弦函数规律．
二、单摆的周期
1．实验探究
(1)探究方法：控制变量法．
(2)实验结论：
①单摆振动的周期与摆球质量无关．
②摆长越长，周期越大；摆长越短，周期越小．
2．周期公式
(1)公式：T＝2π.
(2)单摆的等时性：单摆的周期与振幅无关．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)单摆模型中对细线的要求是细线的伸缩可忽略，质量可忽略．
(√)
(2)单摆模型中对小球的要求是密度较大，其直径与线的长度相比可忽略．
(√)
(3)摆球质量越大，周期越长． (×)
(4)摆动幅度越大，周期越长． (×)
2．关于单摆的运动，下列说法正确的是(　　)
A．单摆摆球运动的回复力是摆线张力和重力的合力
B．单摆摆球经过轨迹上的同一点速度是相同的
C．单摆摆球经过轨迹上的同一点加速度是相同的
D．单摆摆球经过平衡位置时受力是平衡的
C　[摆球运动的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，A错；根据简谐运动的对称性可知摆球经过轨迹上的同一点时速度大小相等，方向可能相同，也可能不同，加速度的大小、方向都相同，故B错，C对；摆球经过平衡位置时，回复力为零，合外力不为零，并不平衡，所以D错．]
3.如图所示是一个单摆(θ＜5°)，其周期为T，则下列说法正确的是(　　)
A．把摆球的质量增加一倍，其周期变小
B．摆球的振幅变小时，周期也变小
C．此摆由O→B运动的时间为
D．摆球B→O时，动能向势能转化
C　[单摆的周期与摆球的质量无关，A错误；单摆的周期与振幅无关，B错误；此摆由O→B运动的时间为，C正确；摆球B→O时，势能转化为动能，D错误．]
单摆模型的回复力及运动情况
如图所示，一根细线上端固定，下端连接一个金属小球，用手使小球偏离竖直方向一个夹角，然后释放．
讨论：
(1)小球受到哪些力的作用？
(2)向心力和回复力分别是由什么力提供的？
提示：(1)小球受重力和细线的拉力．
(2)细线的拉力和重力沿细线方向的分力的合力提供向心力．小球重力沿圆弧切线方向的分力提供回复力．
1．单摆的回复力
(1)单摆受力：如图所示，受细线拉力和重力作用．
(2)向心力来源：细线拉力和重力沿径向的分力的合力．
(3)回复力来源：重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsin θ提供了使摆球振动的回复力．
2．单摆做简谐运动的推证
在偏角很小时，sin θ≈，又回复力F＝mgsin θ，所以单摆的回复力为F＝－x(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，单摆做简谐运动．
【例1】　振动的单摆小球通过平衡位置时，关于小球受到的回复力及合力的说法中正确的是(　　)
A．回复力为零，合力不为零，方向指向悬点
B．回复力不为零，方向沿轨迹的切线
C．合力不为零，方向沿轨迹的切线
D．回复力为零，合力也为零
思路点拨：(1)考虑摆动情况，小球在平衡位置回复力为零．
(2)考虑圆周运动情况，小球在平衡位置所受合外力不为零．
A　[单摆的回复力不是它的合力，而是重力沿圆弧切线方向的分力；当摆球运动到平衡位置时，回复力为零，但合力不为零，因为小球还有向心力，方向指向悬点(即指向圆心)．]
单摆中的回复力
(1)单摆振动中的回复力不是它受到的合外力，而是重力沿圆弧切线方向的一个分力．单摆振动过程中，有向心力，这是与弹簧振子不同之处．
(2)在最大位移处时，因速度为零，所以向心力为零，故此时合外力也就是回复力．
(3)在平衡位置处时，由于速度不为零，故向心力也不为零，即此时回复力为零，但合外力不为零．
1．关于单摆的描述，正确的是(　　)
A．单摆的运动一定是简谐运动
B．单摆运动的回复力是重力与绳子拉力的合力
C．单摆运动过程中经过平衡位置时达到平衡状态
D．单摆经过平衡位置时回复力为零
D　[当单摆的偏角较小时单摆的运动才是简谐运动，故A错误；单摆运动的回复力是重力在切线上的分力提供的，故B错误；单摆运动过程中经过平衡位置时有向心加速度，所以没有达到平衡状态，故C错误；根据F＝－kx可知单摆经过平衡位置时回复力为零，故D正确．]
单摆的周期
央视新闻2019年3月1日消息，“嫦娥四号”着陆器已于上午7点52分自主唤醒，中继前返向链路建立正常，平台工况正常，目前正在进行状态设置，按计划开始第三月昼后续工作．假设将一单摆随“嫦娥四号”着陆器带至月球表面，单摆在做简谐运动时其周期与在地球上相比有何变化？并说明原因．
提示：变大，月球表面的重力加速度比地球表面小．
1．单摆的周期公式：T＝2π.
2．对周期公式的理解：
(1)单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立(偏角为5°时，由周期公式算出的周期和精确值相差0.01%)．
(2)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离，即l＝l线＋r球．
(3)公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定．
(4)周期T只与l和g有关，与摆球质量m及振幅无关．所以单摆的周期也叫固有周期．
3．摆长的确定
(1)图(a)中，甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为lsin α，这就是等效摆长，其周期T＝2π.图(b)中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙摆等效．
(2)如图(c)所示，小球在光滑的半径较大的圆周上做小幅度(θ很小)的圆周运动时，可等效为单摆，小球在A、B间做简谐运动，周期T＝2π.
4．公式中重力加速度g的变化与等效
(1)若单摆系统只处在重力场中且处于静止状态，g由单摆所处的空间位置决定，即g＝，式中R为物体到地心的距离，M为地球的质量，g随所在位置的高度的变化而变化．另外，在不同星球上M和R也是变化的，所以g也不同，g＝9.8 m/s2只是在地球表面附近时的取值．
(2)等效重力加速度：若单摆系统处在非平衡状态(如加速、减速、完全失重状态)，则一般情况下，g值等于摆球相对静止在自己的平衡位置时，摆线所受的张力与摆球质量的比值．如图所示，球静止在平衡位置O时，FT＝mgsin θ，等效加速度g′＝＝gsin θ.
【例2】　一个单摆的长为l，在其悬点O的正下方0.19l处有一钉子P(如图所示)，现将摆球向左拉开到A，使摆线偏角θ＜5°，放手后使其摆动，求出单摆的振动周期．
思路点拨：(1)左边和右边摆长不同．
(2)单摆的周期等于两个摆周期之和的一半．
[解析]　摆球释放后到达右边最高点B处，由机械能守恒可知B和A等高，则摆球始终做简谐运动．摆球做简谐运动的摆长有所变化，它的周期为两个不同单摆的半周期的和．
小球在左边的周期为T1＝2π，
小球在右边的周期为T2＝2π，
则整个单摆的周期为
T＝＋＝π＋π＝1.9π.
[答案]　1.9π
求单摆周期的方法
(1)明确单摆的运动过程，看是否符合简谐运动的条件．
(2)在运用T＝2π时，要注意l和g是否发生变化，如果发生变化，则分别求出不同l和g时的运动时间．
(3)改变单摆振动周期的途径是：
①改变单摆的摆长．
②改变单摆的重力加速度(如改变单摆的位置或让单摆失重或超重)．
(4)明确单摆振动周期与单摆的质量和振幅没有任何关系．
训练角度1　单摆周期的特点
2．若单摆的摆长不变，摆球的质量由20 g增加为40 g，摆球离开平衡位置的最大角度由4°减为2°，则单摆振动的(　　)
A．频率不变，振幅不变 B．频率不变，振幅改变
C．频率改变，振幅不变 D．频率改变，振幅改变
B　[单摆的周期公式为T＝2π，与摆球的质量和摆
角的大小无关，所以周期不变，频率也不变，摆角减小则振幅减小，故B正确，A、C、D错误．]
训练角度2　单摆的振动图像
3.(多选)如图为甲、乙两单摆的振动图像，则(　　)
A．由图像可知两单摆周期之比为2∶1
B．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比l甲∶l乙＝2∶1
C．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比l甲∶l乙＝4∶1
D．若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙＝4∶1
AC　[由题中图像可知T甲∶T乙＝2∶1，若两单摆在同一地点，则两摆摆长之比l甲∶l乙＝4∶1，若两摆摆长相等，则所在星球的重力加速度之比为g甲∶g乙＝1∶4.]
1．物理观念：单摆的受力与运动．
2．科学方法：单摆模型．
3．科学思维：单摆周期的决定因素．
1．(多选)下列有关单摆运动过程中的受力，说法正确的是(　　)
A．单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力
B．单摆经过平衡位置时合力提供向心力
C．单摆运动的回复力是摆线拉力的一个分力
D．在摆角很小的情况下，单摆回复力符合简谐运动特点
ABD　[单摆运动的回复力不是由重力与摆线拉力的合力提供，平衡位置时，重力和摆线拉力的合力提供向心力，B正确；单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力，而不是摆线拉力的分力，A正确，C错误；当θ＜5°时，单摆回复力符合简谐运动特点，D正确．]
2．(多选)一单摆做小角度摆动，其振动图像如图所示，以下说法正确的是(　　)
A．t1时刻摆球速度为零，摆球的回复力最大
B．t2时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小
C．t3时刻摆球速度为零，摆球的回复力最小
D．t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大
AD　[由振动图像知，t1和t3时刻摆球偏离平衡位置的位移最大，此时摆球的速度为零，摆球的回复力最大，A正确，C错误；t2和t4时刻摆球位移为零，正在通过平衡位置，速度最大，由于摆球做圆周运动(一部分)，由牛顿第二定律得出悬线对摆球拉力最大，D正确，B错误．]
3．(多选)如图所示，在同一地点的A、B两个单摆做简谐运动的图像，其中实线表示A的运动图像，虚线表示B的运动图像．以下关于这两个单摆的判断中正确的是(　　)
A．这两个单摆的摆球质量一定相等
B．这两个单摆的摆长一定不同
C．这两个单摆的最大摆角一定相同
D．这两个单摆的振幅一定相同
BD　[从题图可知，两单摆的振幅相等，周期不等，所以两单摆的摆长一定不同，故B、D对；由振幅相等而摆长不等知C错；单摆的周期与质量无关，故A错．]
4．已知在单摆a完成10次全振动的时间内，单摆b完成6次全振动，两单摆摆长之差为1.6 m，则两单摆摆长La与Lb分别为(　　)
A．La＝2.5 m，Lb＝0.9 m
B．La＝0.9 m，Lb＝2.5 m
C．La＝2.4 m，Lb＝4.0 m
D．La＝4.0 m，Lb＝2.4 m
B　[单摆完成一次全振动所需的时间即单摆的周期，据题设可知a、b两单摆的周期之比为＝，由单摆周期公式T＝2π得：＝，据题设得Lb－La＝1.6 m，联立解得La＝0.9 m，Lb＝2.5 m．故正确答案为B.]
5．如图所示的双线摆，如果摆球大小不计，其摆线长均为L，线与天花板间的夹角为α，求：
(1)此双线摆等效为单摆时的摆长；
(2)当小球垂直于纸面做简谐运动时的周期．
[解析]　(1)摆球垂直纸面做简谐运动，由图可知此双线摆等效为单摆时的摆长是：l＝Lsin α.
(2)根据单摆的振动周期T＝2π可得摆球垂直纸面做简谐运动的周期为：
T＝2π.
[答案]　(1)Lsin α　(2)2π
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