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二次函数题型归纳
【知识梳理1：二次函数的性质】
1.
一般地，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）有以下性质：
条件
图像
增减性
最值
a
＞0
＝0
＜0
对称轴为
a＞0
a＜0
2.
二次函数（a≠0）的图像与x轴的交点个数由
的符号决定：
（1）当b2-4ac＞0时，其图像与x轴有
个交点；
（2）当b2-4ac=
0时，其图像与x轴有
个交点；
（3）当b2-4ac＜0时，其图像与x轴有
个交点。
3.
二次函数的三种表达式：
（1）一般式：
y=ax2+bx+c（a≠0）
（2）顶点式：
（3）交点式：
【知识梳理2：二次函数的性质与其特征参数的综合应用】
二次函数的图像特征与a，b，c的关系
（1）开口方向与大小——a
（2）对称轴与a，b的关系（简记口诀“左同右异”）
（3）c为二次函数图象与y轴交点的纵坐标
（4）的符号与抛物线与x轴交点的个数的关系
（5）a+b+c对应二次函数x=1时的函数值；a-b+c对应二次函数x=-1时的函数值
【考点1
二次函数的概念】
【例1】
下列函数关系式中，是的二次函数是　　
A．
B．
C．
D．
【变式1】
已知函数：①；②；③；④．其中，二次函数的个数为　　
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【变式2】
已知函数，其图象是抛物线，
则的取值是　　
A
．
B
．
C
．
D
．
【变式3】若是二次函数，则等于　　
A．
B．2
C．
D．不能确定
【考点2
二次函数图象的平移】
【例2】抛物线经过平移得到，平移方法是　　
A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
【变式1】在平面直角坐标系中，如果抛物线不动，而把轴、轴分别向下、向右平移2个单位长度，那么在新坐标系下抛物线的解析式为　　
A．
B．
C．
D．
【变式2】将二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到二次函数的图象，用，的值分别是　　
A．，
B．，
C．，
D．，
【考点3
二次函数与一次函数图象】
【例3】
在同一直角坐标系中与图象大致为　　
A．
B．
C．
D．
【变式1】
在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式2】
在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为　　
A．
B．
C．
D．
【变式3】
如图，一次函数与二次函数图象相交于、两点，则函数的图象可能是　　
A．
B．
C．
D．
【考点3
二次函数的增减性】
【例3】设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为　　
A．
B．
C．
D．
【变式1】
已知二次函数，若自变量分别取，，，且，则对应的函数值，，的大小关系正确的是　　
A
．
B
．
C
．
D
．
【变式2】
已知抛物线过，，，四点，则与的大小关系是　　
A．
B．
C．
D．不能确定
【变式3】
已知二次函数中，其函数与自变量之间的部分对应值如下表所示：
0
1
2
3
5
2
1
2
点，、，在函数的图象上，则当，时，与的大小关系正确的是　　
A．y1≥y2
B．y1＞y2
C．y1＜y2
D．y1≤y2
【考点5
二次函数的图象与a，b，c的关系】
【例5】
已知二次函数的图象如下所示，下列5个结论：①；②；③；④；⑤的实数），其中正确的结论有　　
A．①②③
B．②③④
C．②③⑤
D．③④⑤
【变式1】
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②3b+2c＜0；③m（am+b）+b≤a；④（a+c）2＜b2；其中正确结论的个数有（　　）个．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4
【变式2】
已知二次函数，过，，．
①若时，则
②若时，则
③若，，且，则
④若，，且，则抛物线的顶点一定在第三象限
上述四个判断正确的有　　个．
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式3】
二次函数的部分图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④，其中错误结论的个数是　　
A．1
B．2
C．3
D．4
【考点6
二次函数与一元二次方程之间的关系】
【例6】
函数的图象如图所示，那么关于一元二次方程的根的情况是　　
A．有两个不相等的实数根
B．有两个异号的实数根
C．有两个相等的实数根
D．没有实数根
【变式1】
如图，抛物线的对称轴为直线，若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有解，则的取值范围是　　
A．﹣5＜t≤4
B．3＜t≤4
C．﹣5＜t＜3
D．t＞﹣5
【变式2】
函数中与的对应关系如下表所示，方程两实数根中有一个正根，下列对的估值正确的是　　
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.0725
0.19
0.3125
A．
B．
C．
D．
【考点7
二次函数解析式】
【例7】经过，，三点的抛物线解析式是　　．
【变式1】若二次函数的与的部分对应值如下表：
3
5
3
则二次函数的解析式为　
　．
【变式2】
二次函数在时，有最小值，且函数的图象经过点，则此函数的解析式为　
　．
【变式3】
抛物线与轴两个交点为，，其形状与抛物线相同，则抛物线解析式为　
　．
【考点8
二次函数的应用—面积问题】
【例8】如图，用长的篱笆沿墙建造一边靠墙的矩形菜园，已知墙长，设矩形的宽为．
（1）用含的代数式表示矩形的长；
（2）设矩形的面积为，用含的代数式表示矩形的面积，并求出自变量的取值范围；
（3）这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
【变式1】为了节省材料，小浪底水库养殖户小李利用水库的岸堤（足够长）为一边，用总长为120米的网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设的长度为，矩形区域的面积为．
（1）求与之间的函数关系式，并注明自变量的取值范围；
（2）请你帮养殖户小李计算一下边多长时，养殖区面积最大，最大面积为多少？
【考点8
二次函数的应用—销售问题】
【例8】（2018秋?鼓楼区校级期中）某公司投资销售一种进价为每件15元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量（件与销售单价（元之间的关系可近似的看作一次函数：，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的．
（1）设该公司每月获得利润为（元，求每月获得利润（元与销售单价（元之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围．
（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
【变式8-1】（2019春?宿豫区期中）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件，设衬衫的单价降元，每天获利元．
（1）如果商场里这批衬衫的库存只有44件，那么衬衫的单价应降多少元，才能使得这批衬衫一天内售完，且获利最大，最大利润是多少？
（2）如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利不少于1200元，那么衬衫的单价应降多少元？
【变式8-2】（2019春?安吉县期中）为建设美丽家园，某社区将辖区内的一块面积为的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为，种草所需费用（元与的函数关系图象如图所示，栽花所需费用（元与的函数关系式为．
（1）求（元与的函数关系式；
（2）设这块空地的绿化总费用为（元，请利用与的函数关系式，求绿化总费用的最大值．
【变式8-3】（2019秋?沂源县期末）某公司生产的某种商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商
品在未来40天内的日销售量（件与时间（天的关系如下表：
时间（天
1
3
5
10
36
日销售量（件
94
90
86
76
24
未来40天内，前20天每天的价格y1（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y1＝t+25（1≤t≤20且t为整数），后20天每天的价格y2（元/件）与时间t（天）的函数关系式为y2＝﹣t+40（21≤t≤40且t为整数）．
下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：
（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的（件与（天之间的表达式；
（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
【考点9
二次函数的应用—面积问题】
【例9】（2018秋?开封期中）如图，用长的篱笆沿墙建造一边靠墙的矩形菜园，已知墙长，设矩形的宽为．
（1）用含的代数式表示矩形的长；
（2）设矩形的面积为，用含的代数式表示矩形的面积，并求出自变量的取值范围；
（3）这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
【变式9-1】（2018秋?洛阳期中）为了节省材料，小浪底水库养殖户小李利用水库的岸堤（足够长）为一边，用总长为120米的网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设的长度为，矩形区域的面积为．
（1）求与之间的函数关系式，并注明自变量的取值范围；
（2）请你帮养殖户小李计算一下边多长时，养殖区面积最大，最大面积为多少？
【变式9-2】（2018秋?洪山区期中）如图，是一块边长为8米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形的形状，其中点在边上，点在的延长线上，，设的长为米，改造后苗圃的面积为平方米．
（1）求与之间的函数关系式（不需写自变量的取值范围）；
（2）若改造后的矩形苗圃的面积与原正方形苗圃的面积相等，此时的长为　　米．
（3）当为何值时改造后的矩形苗圃的最大面积？并求出最大面积．
【变式9-3】（2018秋?鼓楼区期中）如图，一面利用墙（墙的最大可用长度为，用长为的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边的长为，面积为．
（1）若与之间的函数表达式及自变量的取值范围；
（2）若要围成的花圃的面积为，则的长应为多少？
【考点10
二次函数的应用—抛物线问题】
【例10】（2019秋?南海区校级期中）如图，已知排球场的长度为18米，位于球场中线处球网的高度为2.4米，一队员站在点处发球，排球从点的正上方1.6米的点向正前方飞出，当排球运行至离点的水平距离为6米时，到达最高点建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）当球上升的最大高度为3.4米时，对方距离球网的点处有一队员，他起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明．
（2）若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度的取值范围是多少？（排球压线属于没出界）
【变式10-1】（2019秋?台安县期中）一位篮球运动员投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心距离底面的距离为．
（1）求球在空中运行的最大高度为多少？
（2）如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为，要想投入篮筐，则问他距离蓝筐中心的水平距离是多少？
【变式10-2】甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在点正上方的处发出一球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足函数表达式，已知点与球网的水平距离为，球网的高度为．
（1）当时，①求的值；②通过计算判断此球能否过网．
（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点的水平距离为，离地面的高度为的处时，乙扣球成功，求的值．
【变式10-3】（2019秋?萧山区期中）小明跳起投篮，球出手时离地面，球出手后在空中沿抛物线路径运动，并在距出手点水平距离处达到最高．已知篮筐中心距地面，与球出手时的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求此抛物线对应的函数关系式；
（2）此次投篮，球能否直接命中篮筐中心？若能，请说明理由；若不能，在出手的角度和力度都不变的情况下，球出手时距离地面多少米可使球直接命中篮筐中心？
（3）在篮球比赛中，当进攻方球员要投篮时，防守方球员常借身高优势及较强的弹跳封杀对方，这就是平常说的盖帽．（注：盖帽应在球达到最高点前进行，否则就是“干扰球”，属犯规．若此时，防守方球员乙前来盖帽，已知乙的最大摸球高度为，则乙在进攻方球员前多远才能盖帽成功？
【考点11
二次函数与图形面积的综合】
【例11】如图，抛物线的顶点为，与轴的负半轴交于点，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点在该抛物线上，求的值．
【变式11-1】（2019?新余模拟）如图，已知二次函数图象的顶点为，并经过点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）直线与该二次函数的图象交于点（非原点），求点的坐标和的面积；
【变式11-2】（2019春?利津县期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
（1）求点，点和点的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上有一动点，求的值最小时的点的坐标；
（3）若点是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积的最大值．
【变式11-3】如图，二次函数的图象经过点与．
（1）求，的值；
（2）点是该二次函数图象上，两点之间的一动点，横坐标为，写出四边形的面积关于点的横坐标的函数表达式，并求的最大值．
【考点12
与二次函数有关的存在性问题】
【例12】已知抛物线过点，且与直线只有一个交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线与抛物线相交于两点、，则在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
【变式12-1】（2019?齐齐哈尔一模）如图，
过点、的抛物线与轴交于点，它的对称轴与轴交于点．
（1）
求抛物线解析式；
（2）
求抛物线顶点的坐标；
（3）
若抛物线的对称轴上存在点使，求此时的长
．
【变式12-2】如图，
已知抛物线与轴交于点、两点，
与轴交于点，
点的坐标为，抛物线与直线交于、两点
．
连接、．
（1）
求的值
．
（2）
抛物线上有一点，满足，求点的坐标
．
【变式12-3】（2018?绥阳县模拟）如图，已知抛物线的图象经过点，，与轴交于点，抛物线的顶点为，对称轴与轴相交于点，连接．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在抛物线上点和点之间是否存在一点使得四边形的面积最大，若存在求出四边形的最大面积，若不存在，请说明理由．
（3）直线上有一点，使得时，过作轴于，点为轴上一动点，为直线上一动点，为抛物线上一动点，当以点，，，四点为顶点的四边形为正方形时，求点的坐标．

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