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初二（上）第3章勾股定理知识点与典型题（复习经典）
1、勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方
∵
∴
例1：（1）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7
cm，正方形A、B、C的面积分别是8
cm2、10
cm2、14
cm2，则正方形D的面积是_______cm2．
（2）如图，已知1号、4号两个正方形的面积为为7，2号、3号两个正方形的面积和为4，则a，b，c三个方形的面积和为
（3）如图，阴影部分是以直角三角形的三边为直径的半圆，两个小半圆的面积和为100．则大的半圆面积是__________．
例2：(1)在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝45°，AB＝3，则AC＝_______．BC＝______．
(2)在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3，则AC＝_______．BC＝______.
(3)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC:AB=3:4，AB＝25，则AC＝_______．BC＝______.
(4).在Rt△ABC中,
AB＝6，AC＝8，则BC=
.
例3：（1）如图，已知AB＝13，BC＝14，AC＝15，AD⊥BC于D，求AD长．
（2）已知△ABC中，AB＝13，
AC＝15，AD⊥BC，且AD=12，求BC的长.
例4：（1）在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝45°，BC＝6,
求AC和BC．
（2）在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，BC＝3，求AB和AC．
（3）若直角三角形中，一斜边比一直角边大2，且另一直角边长为6，求斜边的长．
（4）等腰三角形ABC的面积为12，底上的高AD为4，求它的腰长
（5）等腰三角形的周长是20
cm，底边上的高是6
cm，求它的面积.
例5：（1）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝8，DE垂直平分AB，求BE的长.
（2）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝8，AE平分∠CAE，ED⊥AB,求BE的长.
（3）如图，折叠长方形纸片ABCD，是点D落在
边BC上的点F处，折痕为AE，AB=CD=6，
AD=BC=10，试求EC的长度.
2、勾股定理的逆定理：
一个三角形中，如果两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形
∵
∴
例1：每个小正方形的边长为1.
(1)求ΔABC的面积
(2)判断ΔABC的形状
例2：如图，在四边形ABCD中，AB＝3
cm，AD＝4
cm，BC＝13
cm，CD＝12
cm，∠A＝90°，求四边形ABCD的面积．
　　　
例3：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，AD＝9，BD＝1，CD＝3
试问：△ABC是直角三角形吗？为什么？
例4：如图，在△ABC中，AB=17
cm，BC=16
cm，BC边上的中线AD=15
cm，求AC
3、勾股数：
常见勾股数有：3、
、
；5、
、
；6、
、
；
7、
、
；8、
、
；9、
、
；
例：下列命题中，是假命题的是(
)．
A．在△ABC中，若∠B＝∠C＝∠A，则△ABC是直角三角形
B．在△ABC中，若a2＝(b＋c)
(b－c)，则△ABC是直角三角形
C．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形
D．在△ABC中，若a：b：c＝5：4：3，则△ABC是直角三角形
4、补充：①长方体盒子内最长的线段
；
②长方体盒子外小虫爬行的最短路线
；
11
圆柱体盒子内最长的线段
21
圆柱体盒子外小虫爬行的最短路线
两条路线比较：其一、AC+BC即高+直径
其二、
例2：底面周长为12，高为8的圆柱体上有一只小蚂蚁要从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短距离是(
)．
A．10
B．8
C．5
D．4
例3：某开发区有一空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量，∠B＝90°，AB＝3m，BC＝4
m，AD＝12
m，CD＝13
m，若每种植1平方米草皮需要100元，问总共需要投入多少元？
5、勾股定理的应用
例1：（1）一轮船以16
km／h的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12km／h的速度同时从港口出发向东南方向航行，那么离开港口A2h后，两船相距
（2）一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5
m，消防车的云梯最大升长为13
m，则云梯可以达到该建筑物的最大高度是
（3）一棵树在离地面9m处断裂，树的顶部落在离底部12
m处，树折断之前有_______m．
例2：如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为7m，
梯子的顶端B到地面的距离为24
m，现将梯子的底端A向外移动到
A'，使梯子的底端A'到墙根O的距离等于15
m．同时梯子的顶端
B下降至B'，那BB'等于
(
)
A．3m
B．4
m
C．5
m
D．6
m
课后练习
1：如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形(涂上阴影)。
(1)在图①中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
(2)在图②、图③中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理数．
2：《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米／时．一辆“小汽车”在一条城市街道上直道行驶，如图某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方50米C处，过了6秒后，测得“小汽车”位置B与“车速检测仪A”之间的距离为130米，这辆“小汽车”超速了吗？请说明理由．
3：如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否回受到噪声的影响？说明理由．如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米／时，那么学校受影响的时间为多少秒？
4：如图，A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1
km，BD＝3
km，CD＝3
km现在河边CD上建一水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的费用为20
000元／千米，请你在河CD边上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用？
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