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第4节　弹性碰撞与非弹性碰撞
核心素养 物理观念 科学思维 科学态度与责任
1.知道弹性碰撞和非弹性碰撞、完全非弹性碰撞的概念及特点。
2.掌握弹性碰撞的规律。 能在熟悉的问题情境中根据实际情况选择弹性碰撞或非弹性碰撞模型解决物理问题；会用系统和守恒的思想分析物理问题，能对综合性物理问题进行分析和推理，获得结论并作出解释；能用证据分析解释弹性碰撞与非弹性碰撞等问题；能从牛顿运动定律、动量守恒、能量守恒等不同角度思考物理问题。 能根据弹性碰撞的规律解释判断有关现象，会应用动量和能量的观点分析、解决一维碰撞问题。
知识点　弹性碰撞与非弹性碰撞
[观图助学]
右图为两球相撞时，由于碰撞角度不同而导致碰后速度不同，但无论怎样碰撞，内力都远大于外力，动量守恒，但碰撞过程中机械能是否守恒呢？
1.碰撞的分类
弹性碰撞：若碰撞过程中系统的机械能守恒，即碰撞前后系统的总动能相等，这种碰撞称为弹性碰撞，又称作完全弹性碰撞。
非弹性碰撞：碰撞过程中系统的机械能有损失的碰撞称为非弹性碰撞。
完全非弹性碰撞：非弹性碰撞中，如果碰撞后物体结合在一起，系统的动能损失最大，这种碰撞称为完全非弹性碰撞。
2.弹性碰撞的实验研究(教材P22实验与探究)
(1)质量相等的两个钢球相碰撞，碰撞后原来运动的小球立即停下，而原来静止的小球几乎摆到运动小球原来释放时的高度，碰撞后两球交换了速度。
(2)当被碰球质量较小时，碰撞后两球都向前运动。
(3)当被碰球质量较大时，碰撞后原来运动的球会被反弹，而原来静止的小球向前运动。
3.弹性碰撞的规律
质量为m1的小球以速度v1与静止的质量为m2的小球发生弹性碰撞。碰撞过程中动量守恒，碰撞前后动能相等。
m1v1＝m1v1′＋m2v2′
m1v＝m1v1′2＋m2v2′2
碰后两个物体的速度分别为
v1′＝v1，v2′＝v1。
[思考判断]
(1)弹性碰撞过程中动量守恒、动能不守恒。(×)
(2)两个质量相同的小球发生正碰时一定交换速度。(×)
(3)质量较大的物体与质量较小且静止的物体发生碰撞时不可能被反弹。(√)
(4)速度不同的两小球碰撞后粘在一起，碰撞过程中没有能量损失。(×)
(5)碰撞后，两个物体粘在一起，动量是守恒的，但机械能损失是最大的。(√)
碰撞过程中，两球在同一水平面上碰撞，碰撞过程中研究机械能是否守恒，只需要研究动能是否变化。
弹性碰撞是一种理想情况，实际的碰撞都有能量的损失。
只有质量相同的两球发生弹性碰撞时才会交换速度。
“运动的物体”与“静止的物体”发生弹性碰撞时，v1′＝v1，v2′＝v1才成立。
核心要点 　碰撞的理解和分析
[问题探究]
如图所示，光滑水平面上并排静止着小球2、3、4，小球1以速度v0射来，已知四个小球完全相同，小球间发生弹性碰撞，则碰撞后各小球的运动情况如何？
答案　小球1与小球2碰撞后交换速度，小球2与小球3碰撞后交换速度、小球3与小球4碰撞后交换速度，最终小球1、2、3静止，小球4以速度v0运动。
[探究归纳]
1.碰撞的特点
(1)时间特点：碰撞现象中，相互作用的时间极短，相对物体运动的全过程可忽略不计。
(2)相互作用力特点：在碰撞过程中，系统的内力远大于外力，所以动量守恒。
2.弹性碰撞的规律
设质量为m1的小球以速度v1与质量为m2的静止的小球发生弹性碰撞，碰后m1、m2的速度分别为v1′和v2′，由动量守恒和动能守恒有m1v1＝m1v1′＋m2v2′①
m1v＝m1v1′2＋m2v2′2②
以上两式联立可解得v1′＝v1，v2′＝v1，
由以上两式对弹性碰撞实验研究结论的解释：
(1)当m1＝m2时，v1′＝0，v2′＝v1，表示碰撞后两球交换速度；
(2)当m1＞m2时，v1′＞0，v2′＞0，表示碰撞后两球向前运动；
(3)当m1＜m2时，v1′＜0，v2′＞0，表示碰撞后质量小的球被反弹回来。
[试题案例]
[例1] 大小、形状完全相同，质量分别为300 g和200 g的两个物体在无摩擦的水平面上相向运动，速度分别为50 cm/s和100 cm/s。
(1)如果两物体碰撞并粘合在一起，求它们共同的速度大小；
(2)求碰撞后损失的动能；
(3)如果碰撞是弹性碰撞，求两物体碰撞后的速度大小。
解析　(1)取v1＝50 cm/s＝0.5 m/s的方向为正方向，
则v2＝－100 cm/s＝－1 m/s，
设两物体碰撞后粘合在一起的共同速度为v，
由动量守恒定律得m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v，
代入数据解得v＝－0.1 m/s，负号表示方向与v1的方向相反。
(2)碰撞后两物体损失的动能为
ΔEk＝m1v＋m2v－(m1＋m2)v2＝×0.3×0.52＋×0.2×(－1)2－×(0.3＋0.2)×(－0.1)2 J＝0.135 J。
(3)如果碰撞是弹性碰撞，设碰后两物体的速度分别为v1′、v2′，由动量守恒定律得m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′，
碰撞前后动能相等，
得m1v＋m2v＝m1v1′2＋m2v2′2，
代入数据解得v1′＝－0.7 m/s，v2′＝0.8 m/s。
答案　(1)0.1 m/s　(2)0.135 J　(3)0.7 m/s　0.8 m/s
[针对训练1] 光滑水平轨道上有三个木块A、B、C，质量分别为mA＝mB＝m，mC＝2m，开始时B、C均静止，A以初速度v0向右运动，A与B发生弹性正碰后，B又与C发生碰撞并粘在一起，求：
(1)B与C碰撞前后B的速度分别是多大？
(2)B与C碰撞中损失的动能是多少？
解析　(1)设A与B碰撞后，A的速度为vA，B的速度为vB，A与B发生弹性正碰，由动量守恒定律和能量守恒定律有mv0＝mvA＋mvB
mv＝mv＋mv，得vA＝0，vB＝v0
设B与C发生碰撞后粘在一起的速度为v，
由动量守恒定律有mvB＝3mv，得v＝。
(2)B与C碰撞中损失的动能
E损＝mv－·3m·v2，得E损＝mv。
答案　(1)v0　　(2)mv
核心要点 　碰撞过程是否存在的判断
[要点归纳]
判断碰撞过程是否存在的三个依据
(1)系统动量守恒，即p1＋p2＝p1′＋p2′。
(2)系统动能不增加，即Ek1＋Ek2≥Ek1′＋Ek2′或,2m1)＋,2m2)≥＋。
(3)符合实际情况，如果碰前两物体同向运动，则后面的物体速度必大于前面物体的速度，即v后＞v前，否则无法实现碰撞。碰撞后，原来在前的物体的速度一定增大，且原来在前的物体速度大于或等于原来在后的物体的速度，即v前′≥v后′，否则碰撞没有结束。如果碰前两物体相向运动，则碰后两物体的运动方向不可能都不改变，除非两物体碰撞后速度均为零。
[试题案例]
[例2] (多选)质量相等的A、B两球在光滑水平面上沿同一直线相向运动，如图所示，若以向左为运动的正方向，A球的速度为v1＝－2 m/s，B球的速度为v2＝6 m/s，某时刻A球与B球发生相互碰撞，碰撞后仍在一条直线上运动，则碰后A、B球速度的可能值是(　　)
A.vA＝1 m/s，vB＝3 m/s
B.vA＝7 m/s，vB＝－3 m/s
C.vA＝2 m/s，vB＝2 m/s
D.vA＝6 m/s，vB＝－2 m/s
解析　设两球的质量均为m。
验证方法：(1)动量角度：p初＝4m，而所给选项均满足要求；
(2)碰撞实际情况(碰撞只能发生一次)：A项不符合题意；
(3)能量角度：两球碰撞前的总动能：Ek初＝mv＋mv＝20m，B选项中，两球碰后的总动能为Ek末＝mv＋mv＝29m，不符合题意；C、D项完全符合碰撞现象的三个原则，故碰撞能发生。
答案　CD
[针对训练2] 在光滑水平面上，有两个小球A、B沿同一直线同向运动(B在前)，已知碰前两球的动量分别为pA＝12 kg·m/s、pB＝13 kg·m/s，碰后它们动量的变化分别为ΔpA、ΔpB。下列数值可能正确的是(　　)
A.ΔpA＝－3 kg·m/s、ΔpB＝3 kg·m/s
B.ΔpA＝3 kg·m/s、ΔpB＝－3 kg·m/s
C.ΔpA＝－24 kg·m/s、ΔpB＝24 kg·m/s
D.ΔpA＝24 kg·m/s、ΔpB＝－24 kg·m/s
解析　对于碰撞问题要遵循三个规律：动量守恒定律、碰后系统的机械能不增加和碰撞过程要符合实际情况。本题属于追及碰撞，碰前，后面运动小球的速度一定要大于前面运动小球的速度(否则无法实现碰撞)，碰后，前面小球的动量增大，后面小球的动量减小，减小量等于增大量，所以ΔpA<0，ΔpB>0，并且ΔpA＝－ΔpB，据此可排除选项B、D；若ΔpA＝－24 kg·m/s、ΔpB＝24 kg·m/s，碰后两球的动量分别为pA′＝－12 kg·m/s、pB′＝37 kg·m/s，根据关系式Ek＝可知，A小球的质量和动量大小不变，动能不变，而B小球的质量不变，但动量增大，所以B小球的动能增大，这样系统的机械能比碰前增大了，选项C可以排除；经检验，选项A满足碰撞所遵循的三个原则，本题答案为A。
答案　A
1.(对碰撞的理解)(多选)下面关于碰撞的理解正确的是(　　)
A.碰撞是指相对运动的物体相遇时，在极短时间内它们的运动状态发生了显著变化的过程
B.在碰撞现象中，一般内力都远远大于外力，所以可以认为碰撞时系统的总动量守恒
C.如果碰撞过程中机械能也守恒，这样的碰撞叫作非弹性碰撞
D.微观粒子的碰撞由于不发生直接接触，所以不满足动量守恒的条件，不能应用动量守恒定律求解
解析　碰撞过程中机械能守恒的碰撞为弹性碰撞，C错误；动量守恒定律是自然界普遍适用的规律之一。不仅低速、宏观物体的运动遵守这一规律，而且高速、微观物体的运动也遵守这一规律，D错误。
答案　AB
2.(弹性碰撞)现有甲、乙两滑块，质量分别为3m和m，以大小相等的速度v在光滑水平面上相向运动，发生了碰撞。已知碰撞后，甲滑块静止不动，那么这次碰撞是(　　)
A.弹性碰撞 B.非弹性碰撞
C.完全非弹性碰撞 D.条件不足，无法确定
解析　由动量守恒有3m·v－mv＝0＋mv′，所以v′＝2v，碰前总动能Ek＝·3m·v2＋mv2＝2mv2，碰后总动能Ek′＝mv′2＝2mv2，Ek＝Ek′，所以A正确。
答案　A
3.(完全非弹性碰撞)如图所示，物体A静止在光滑的水平面上，A的左边固定有轻质弹簧，与A质量相等的物体B以速度v向A运动并与弹簧发生碰撞，A、B始终沿同一直线运动，则A、B组成的系统动能损失最大的时刻是(　　)
A.A开始运动时 B.A的速度等于v时
C.B的速度等于零时 D.A和B的速度相等时
解析　A、B两物体碰撞过程中动量守恒，当A、B两物体速度相等时，系统动能损失最大，损失的动能转化成弹簧的弹性势能，故D正确。
答案　D
4.(碰撞过程是否存在的判断)质量相等的A、B两球在光滑水平面上沿同一直线、同一方向运动，A球的动量是7 kg·m/s，B球的动量是5 kg·m/s，当A球追上B球发生碰撞，则碰撞后A、B两球的动量可能值是(　　)
A.pA＝6 kg·m/s，pB＝6 kg·m/s
B.pA＝3 kg·m/s，pB＝9 kg·m/s
C.pA＝－2 kg·m/s，pB＝14 kg·m/s
D.pA＝－4 kg·m/s，pB＝17 kg·m/s
解析　从碰撞前后动量守恒pA＋pB＝pA′＋pB′验证，A、B、C三种皆有可能，D不可能；从总动能只有守恒或减少：,2m)＋,2m)≥＋来看，只有A可能。
答案　A
基础过关
1.(多选)在两个物体碰撞前后，下列说法中可以成立的是(　　)
A.作用后的总机械能比作用前小，但总动量守恒
B.作用前后总动量均为零，但总动能守恒
C.作用前后总动能为零，而总动量不为零
D.作用前后总动量守恒，而系统内各物体的动量增量的总和不为零
解析　选项A是非弹性碰撞，成立；选项B是弹性碰撞，成立；选项C不成立，因为总动能为零其总动量一定为零；选项D，总动量守恒则系统所受合外力一定为零，若系统内各物体的动量增量总和不为零时，则系统一定受到外力的作用，D不成立。
答案　AB
2.相向运动的A、B两辆小车相撞后，一同沿A原来的方向前进，这是由于(　　)
A.A车的质量一定大于B车的质量
B.A车的速度一定大于B车的速度
C.A车的动量一定大于B车的动量
D.A车的动能一定大于B车的动能
解析　总动量与A车的动量方向相同，因此有A车动量大于B车的动量。
答案　C
3.质量为m的α粒子，其速度为v0，与质量为3m的静止碳核碰撞后沿着原来的路径被弹回，其速率为，则碳核获得的速度为(　　)
A. B.2v0
C. D.
解析　由α粒子与碳核所组成的系统动量守恒，若碳核获得的速度为v，则mv0＝3mv－m×，所以v＝，C正确。
答案　C
4.如图所示，光滑水平面上有大小相同的两球在同一直线上运动，mB＝2mA，规定向右为正，A、B两球动量均为6 kg·m/s，运动中两球碰撞后，A球的动量增量为－4 kg·m/s，则(　　)
A.左方是A球，碰后A、B两球速度大小之比为2∶5
B.左方是A球，碰后A、B两球速度大小之比为1∶10
C.右方是A球，碰后A、B两球速度大小之比为2∶5
D.右方是A球，碰后A、B两球速度大小之比为1∶10
解析　由于向右为正，而A球动量增量为－4 kg·m/s，说明A受冲量向左，知A球在左方，C、D均错误；由动量守恒知A、B碰后的动量分别为mAvA′＝2 kg·m/s，mBvB′＝10 kg·m/s。
则＝·＝
因此＝，选项A正确，B错误。
答案　A
5.一中子与一质量数为A(A>1)的原子核发生弹性正碰。若碰前原子核静止，则碰撞前与碰撞后中子的速率之比为(　　)
A. B.
C. D.
解析　设中子质量为m，则原子核质量为Am，
由mv＝mv1＋Amv2，mv2＝mv＋Amv，得
v1＝v，所以＝，A正确。
答案　A
6.A、B两物体发生正碰，碰撞前后物体A、B都在同一直线上运动，其位移—时间图像如图所示。由图可知，物体A、B的质量之比为(　　)
A.1∶1　　　　　　　　 B.1∶2
C.1∶3 D.3∶1
解析　由图像知，碰撞前vA＝4 m/s，vB＝0，碰撞后vA′＝vB′＝1 m/s，由动量守恒定律可知mAvA＋0＝mAvA′＋mBvB′，解得mB＝3mA，选项C正确。
答案　C
7.(多选)如图甲所示，在光滑水平面上的两小球A、B发生正碰，小球A的质量为m1＝0.1 kg。图乙为它们碰撞前后两个小球的s－t图像。由此可以判断(　　)
A.碰前小球B静止，小球A向右运动
B.碰后小球A和B都向右运动
C.小球B的质量为m2＝0.2 kg
D.小球B的质量为m2＝0.3 kg
解析　由s－t(位移—时间)图像的斜率得到，碰前B的位移不随时间而变化，处于静止，A速度大小为v1＝＝ m/s＝4 m/s，方向只有向右才能与B相撞，故A正确；由图像可知，碰后B的速度为正方向，说明向右运动，A的速度为负方向，说明向左运动，两小球运动方向相反，故B错误；由图像可知，碰后B和A的速度分别为v2′＝2 m/s，v1′＝－2 m/s，根据动量守恒定律得m1v1＝m2v2′＋m1v1′，代入解得m2＝0.3 kg，故C错误，D正确。
答案　AD
8.质量为M的木块在光滑的水平面上以速度v1向右运动，质量为m的子弹以速度v2向左射入木块并停留在木块中，要使木块停下来，发射子弹的数目是(　　)
A. B.
C. D.
解析　设需发射n颗子弹，对整个过程由动量守恒定律可得Mv1－nmv2＝0，所以n＝。
答案　D
9.质量为m1、m2的滑块分别以速度v1和v2沿斜面匀速下滑，斜面足够长，如图所示，已知v2>v1，有一轻弹簧固定在m2上，求弹簧被压缩至最短时m1的速度多大？
解析　两滑块匀速下滑所受合外力为零，相互作用时合外力仍为零，动量守恒。当弹簧被压缩时，m1加速，m2减速，当压缩至最短时，m1、m2速度相等。
设速度相等时为v，则有
m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v
解得弹簧被压缩至最短时的速度
v＝。
答案　
能力提升
10.质量M＝100 kg的小船静止在水面上，船首站着质量m甲＝40 kg的游泳者甲，船尾站着质量m乙＝60 kg的游泳者乙，船首指向左方，若甲、乙两游泳者同时在同一水平线上甲朝左、乙朝右以3 m/s的速率跃入水中，则(　　)
A.小船向左运动，速率为1 m/s
B.小船向左运动，速率为0.6 m/s
C.小船向右运动，速率大于1 m/s
D.小船仍静止
解析　取向左为正方向，由动量守恒定律，有：0＝m甲v＋Mv′＋m乙(－v)，代入数据得v′＝0.6 m/s，方向向左。
答案　B
11.两个完全相同、质量均为m的滑块A和B，放在光滑水平面上，滑块A与轻弹簧相连，弹簧另一端固定在墙上，当滑块B以v0的初速度向滑块A运动时，如图所示，碰到A后不再分开，下述说法中正确的是(　　)
A.两滑块相碰和以后一起运动过程，系统动量均守恒
B.两滑块相碰和以后一起运动过程，系统机械能均守恒
C.弹簧最大弹性势能为mv
D.弹簧最大弹性势能为mv
解析　B与A碰撞后一起运动的过程中，系统受到弹簧的弹力作用，合外力不为零，因此动量不守恒，A项错误；碰撞过程，A、B发生非弹性碰撞，有机械能损失，B项错误；碰撞过程mv0＝2mv，因此碰撞后系统的机械能为×2m＝
mv，弹簧的最大弹性势能等于碰撞后系统的机械能mv，C项错误，D项正确。
答案　D
12.(多选)甲、乙两球在光滑水平轨道上同向运动，已知它们的动量分别是5 kg·m/s和7 kg·m/s，甲追上乙并发生碰撞，碰撞后乙球的动量变为10 kg·m/s，则两球质量m甲与m乙的关系可能是(　　)
A.m乙＝2m甲 B.m乙＝3m甲
C.m乙＝4m甲 D.m乙＝5m甲
解析　碰撞前，v甲>v乙，即>，可得m乙>1.4m甲。碰撞后v甲′≤v乙′，即≤可得m乙≤5m甲。要求碰撞过程中动能不增加，则有,2m甲)＋,2m乙)≥＋，可解得m乙≥m甲，m甲≤m乙≤5m甲，故m甲和m乙的关系可能B、C、D正确。
答案　BCD
13.(多选)如图所示，在质量为M的小车中挂着一单摆，摆球质量为m0，小车和单摆以恒定的速度v沿光滑水平地面运动，与位于正前方的质量为m的静止的木块发生碰撞，碰撞的时间极短。在此碰撞过程中，下列情况可能发生的是(　　)
A.小车、木块、摆球的速度都发生变化，分别变为v1、v2、v3，满足(M＋m0)v＝Mv1＋mv1＋m0v3
B.摆球的速度不变，小车和木块的速度变为v1和v2，满足Mv＝Mv1＋mv2
C.摆球的速度不变，小车和木块的速度都变为u，满足Mv＝(M＋m)u
D.碰撞时间极短，在此碰撞过程中，摆球的速度还来不及变化
解析　小车与木块碰撞，且碰撞时间极短，因此相互作用只发生在木块和小车之间，悬挂的摆球在水平方向未受到力的作用，故摆球在水平方向的动量未发生变化，即摆球的速度在小车与木块碰撞过程中始终不变，由此可知A情况不可能发生；选项B的说法对应于小车和木块碰撞后又分开的情况，选项C的说法对应于小车和木块碰撞后粘在一起的情况，两种情况都有可能发生。故B、C、D均正确。
答案　BCD
14.如图所示，光滑水平面上质量为1 kg的小球A以2.0 m/s的速度与同向运动的速度为1.0 m/s、质量为2 kg的大小相同的小球B发生正碰，碰撞后小球B以
1.5 m/s的速度运动。求：
(1)碰后A球的速度；
(2)碰撞过程中A、B系统损失的机械能。
解析　(1)碰撞过程，以A的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得mAvA＋mBvB＝mAvA′＋mBvB′
代入数据解得vA′＝1.0 m/s。
(2)碰撞过程中A、B系统损失的机械能为
E损＝mAv＋mBv－mAvA′2－mBvB′2
代入数据解得E损＝0.25 J。
答案　(1)1.0 m/s　(2)0.25 J
15.两物块A、B用轻弹簧相连，质量均为2 kg，初始时弹簧处于原长，A、B两物块都以v＝6 m/s的速度在光滑的水平地面上运动，质量4 kg的物块C静止在前方，如图所示。B与C碰撞后二者会粘在一起运动。则在以后的运动中：
(1)当弹簧的弹性势能最大时，物块A的速度为多大？
(2)系统中弹性势能的最大值是多少？
解析　(1)当A、B、C三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大。由A、B、C三者组成的系统动量守恒有
(mA＋mB)v＝(mA＋mB＋mC)·vABC，
解得vABC＝ m/s＝3 m/s。
(2)B、C碰撞时B、C组成的系统动量守恒，设碰后瞬间B、C两者速度为vBC，
则mBv＝(mB＋mC)vBC，vBC＝ m/s＝2 m/s，
设物块A、B、C速度相同时弹簧的弹性势能最大为Ep，根据能量守恒
Ep＝(mB＋mC)v＋mAv2－(mA＋mB＋mC)v＝×(2＋4)×22 J＋×2×62J－
×(2＋2＋4)×32J＝12 J。
答案　(1)3 m/s　(2)12 J

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