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方案设计题
1．（2020·齐齐哈尔）母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物．已知康乃馨每支2元，百合每支3元．小明将30元钱全部用于购买这两种花（两种花都买），小明的购买方案共有（　　）
A．3种
B．4种
C．5种
D．6种
{答案}
B
{解析}
设可以购买x支康乃馨，y支百合，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数即可得出小明有4种购买方案．
设可以购买x支康乃馨，y支百合，依题意，得：2x+3y＝30，∴y＝10﹣x．
∵x，y均为正整数，∴，，，，∴小明有4种购买方案．
故选：B．
2．（2020·嘉兴）为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点A处测得河北岸的树H恰好在A的正北方向．测量方案与数据如下表：
课题
测量河流宽度
测量工具
测量角度的仪器，皮尺等
测量小组
第一小组
第二小组
第三小组
测量方案示意图
说明
点B，C在点A的正东方向
点B，D在点A的正东方向
点B在点A的正东方向，点C在点A的正西方向．
测量数据
BC＝60m，
∠ABH＝70°，
∠ACH＝35°．
BD＝20m，
∠ABH＝70°，
∠BCD＝35°．
BC＝101m，
∠ABH＝70°，
∠ACH＝35°．
（1）哪个小组的数据无法计算出河宽？
（2）请选择其中一个方案及其数据求出河宽（精确到0.1m）．（参考数据：sin70°≈0.94，sin35°≈0.57，tan70°≈2.75，tan35°≈0.70）
{解析}本题考查了解直角三角形的应用，（1）第二小组无法计算出河宽，△ABH和△BDC建立不起联系．（2）由∠ACH＝35°，∠ABH＝70°，可知∠BHC＝35°，从而HB＝BC＝60，在Rt△ABH中，sin∠ABH＝,所以AH＝BH×0.94=56.4
{答案}解：
（1）第二个小组的数据无法计算河宽．
（2）第一个小组的解法：∵∠ABH＝∠ACH+∠BHC，∠ABH＝70°，∠ACH＝35°，
∴∠BHC＝∠BCH＝35°，∴BC＝BH＝60m，∴AH＝BH?sin70°＝60×0.94≈56.4（m）．
第二个小组的解法：设AH＝xm，则CA＝，AB＝，∵CA+AB＝CB，
∴＝101，解得x≈56.4．答：河宽为56.4m．
3．（2020湖州）某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成．已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件．
（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？
（2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：
方案一
甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变．
方案二
乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变．
设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同．
①求乙车间需临时招聘的工人数；
②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由．
【分析】（1）设甲车间有x名工人参与生产，乙车间各有y名工人参与生产，由题意得关于x和y的方程组，求解即可．
（2）①设方案二中乙车间需临时招聘m名工人，由题意，以企业完成生产任务的时间为等量关系，列出关于m的分式方程，求解并检验即可；②用生产任务数量27000除以方案一中甲和乙完成的生产任务之和可得企业完成生产任务的时间，然后分别按方案一和方案二计算费用并比较大小即可．
【解答】解：（1）设甲车间有x名工人参与生产，乙车间各有y名工人参与生产，由题意得：
，解得．∴甲车间有30名工人参与生产，乙车间各有20名工人参与生产．
（2）①设方案二中乙车间需临时招聘m名工人，由题意得：，
解得m＝5．经检验，m＝5是原方程的解，且符合题意．∴乙车间需临时招聘5名工人．
②企业完成生产任务所需的时间为：18（天）．
∴选择方案一需增加的费用为900×18+1500＝17700（元）．选择方案二需增加的费用为5×18×200＝18000（元）．∵17700＜18000，∴选择方案一能更节省开支．
4．(2020自贡)甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品．新冠疫情期间，为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销．甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过100元后的价格部分打8折．
（1）以x（单位：元）表示商品原价，y（单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数解析式；
（2）新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？
{解析}解：（1）由题意可得，y甲＝0.9x，当0≤x≤100时，y乙＝x，
当x＞100时，y乙＝100+（x﹣100）×0.8＝0.8x+20，
由上可得，y乙；
（2）当0.9x＜0.8x+20时，得x＜200，即此时选择甲商场购物更省钱；
当0.9x＝0.8x+20时，得x＝200，即此时两家商场购物一样；
当0.9x＞0.8x+200时，得x＞200，即此时选择乙商场购物更省钱．
5.（2020·济宁）(8分)为加快复工复产，某企业需运输批物资．据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱．
（1）求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资；
（2）计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元．请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少．最少费用是多少？
{解析}（1）设1辆大货车一次运输x箱物资，1辆小货车一次运输y箱物资，由“2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱”，可列方程组，即可求解；
（2）设有a辆大货车，（12﹣a）辆小货车，由“运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元”可列不等式组，可求整数a的值，即可求解．
{答案}解：（1）设1辆大货车一次运输x箱物资，1辆小货车一次运输y箱物资，
由题意可得：，
解得：，
答：1辆大货车一次运输150箱物资，1辆小货车一次运输100箱物资，
（2）设有a辆大货车，（12﹣a）辆小货车，
由题意可得：，
∴6≤a＜9，
∴整数a＝6，7，8；
当有6辆大货车，6辆小货车时，费用＝5000×6+3000×6＝48000元，
当有7辆大货车，5辆小货车时，费用＝5000×7+3000×5＝50000元，
当有8辆大货车，4辆小货车时，费用＝5000×8+3000×4＝52000元，
∵48000＜50000＜52000，
∴当有6辆大货车，6辆小货车时，费用最小，最小费用为48000元．
6．（2020·青岛）实际问题：某商场为鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数)一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额.某顾客获得了次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？
问题建模：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取a(1横型探究：我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法.
探究一：(1)从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果.
(2)从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果.
(3)从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有
种不同的结果.
(4)从1，2，3，…，n(n为整数，且n=3)这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有
种不同的结果.
探究二：(1)从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有
种不同的结果.
(2)从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥4)这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有
种不同的结果.
探究三：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥5)这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有
种不同的结果.
归纳结论：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取a(1种不同的结果.
问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数)，一次任意抽
取5张奖券，共有
种不同的优惠金额.
拓展延伸：(1)从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？(写出解答过程)
(2)从3，4，5，…，n+3(n为整数，且n≥2)这(n+1)个整数中任取a(1种不同的结果.
{答案}解：探究一：（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，8，9，也就是从3到9的连续整数，其中最小是3，最大是9，所以共有7种不同的结果.
答案：7
（4）从1，2，3，…，n(n为整数，且n=3)这n个整数中任取2个整数，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，8，n+n-1=2n-1，也就是从3到2n-1的连续整数，其中最小是3，最大是2n-1，所以共有2n-1-2=2n-3（种）不同的结果.
答案：2n-3
探究二：(1)从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，所取的3个整数之和可以为6，7，8，9，也就是从6到9的连续整数，其中最小是6，最大是9，所以共有4种不同的结果.
答案：4
(2)从1，2，3，…，n(n为整数，且n=3)这n个整数中任取3个整数，所取的3个整数之和可以为6，7，8，…，n+n-1+n-2=3n-3，也就是从6到3n-3的连续整数，其中最小是6，最大是3n-3，所以共有3n-3-8=3n-8（种）不同的结果.
答案：3n-8
探究三：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥5)这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有
种不同的结果.
从1，2，3，…，n(n为整数，且n=3)这n个整数中任取4个整数，所取的4个整数之和可以为10，11，12，…，n+n-1+n-2+n-3=4n-6，也就是从10到4n-6的连续整数，其中最小是10，最大是4n-6，所以共有4n-6-9=4n-15（种）不同的结果.
答案：4n-15
归纳结论：从1，2，3，…，n(n为整数，且n≥3)这n个整数中任取a(1答案：
问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数)，一次任意抽
取5张奖券，共有不同优惠金额的种类为：=476（种）.
答案：476
拓展延伸：(1)设从1，2，3，…，36这36个整数中任取a个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果，则，即，∴a=7或29.
答：从1，2，3，…，36这36个整数中任取7个或29个整数，可以使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果.
(2)从3，4，5，…，n+3(n为整数，且n≥2)这(n+1)个整数中任取a(1最大是n+3+n+2+n+1+…+[n+3-（a-1)]=，所以共有不同的结果数为：=
===
==.
答案：
7.
(2020·湘潭)习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届矛盾文学奖的《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书共50本．已知购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元；购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同．
（1）求这两种书的单价；
（2）若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？
{解析}（1）设购买《北上》和《牵风记》的单价分别为x、y，根据“购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元”和“
购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元”建立方程组求解即可；
（2）设购买《北上》的数量n本，则购买《牵风记》的数量为50-n，根据“购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半”和“购买两种书的总价不超过1600元”两个不等关系列不等式组解答并确定整数解即可．
{答案}解：（1）设购买《北上》和《牵风记》的单价分别为x、y
由题意得：
解得
答：两种书的单价分别为35元和30元；
（2）设购买《北上》的数量n本，则购买《牵风记》的数量为50-n
根据题意得解得：
则n可以取17、18、19、20，
当n=17时，50－n=33，共花费17×35+33×30=1585元；
当n=18时，50－n=32，共花费17×35+33×30=1590元；
当n=19时，50－n=31，共花费17×35+33×30=1595元；
当n=20时，50－n=30，共花费17×35+33×30=1600元；
所以，共有4种购买方案分别为：购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为18本和32本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为19本和31本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为20本和30本；其中购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本费用最低，最低费用为1585元．

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