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课时分层作业(十一)　数学归纳法
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋，n>1)时，第一步应验证不等式(　　)
A．1＋<2　　　　　
B．1＋＋<2
C．1＋＋<3
D．1＋＋＋<3
B　[因为n∈N
，n>1，故第一步应验证n＝2的情况，即1＋＋<2.故选B.]
2．用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(　　)
A．
B．－
C．－
D．＋
C　[因为当n＝k时，左端＝1－＋－＋…＋－，当n＝k＋1时，左端＝1－＋－＋…＋－＋－.所以，左端应在n＝k的基础上加上－.]
3．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则(　　)
A．该命题对于n>2的自然数n都成立
B．该命题对于所有的正偶数都成立
C．该命题何时成立与k取值无关
D．以上答案都不对
B　[由n＝k时命题成立可以推出n＝k＋2时命题也成立，且n＝2时命题成立，故对所有的正偶数都成立．]
4．利用数学归纳法证明1＋＋＋＋…＋)的过程中，由n＝k变到n＝k＋1时，左边增加了(　　)
A．1项　
B．k项　　　C．2k－1项　　　D．2k项
D　[用数学归纳法证明不等式1＋＋＋＋…＋)的过程中，
假设n＝k时不等式成立，左边＝1＋＋＋…＋，
则当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋，
∴由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边增加了：＋＋…＋，
共(2k＋1－1)－2k＋1＝2k项，故选D.]
5．对于不等式)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：
(1)当n＝1时，<1＋1，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N
)时，不等式∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法(　　)
A．过程全部正确
B．n＝1验得不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
D　[在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，即从n＝k到n＝k＋1的推理不正确．故选D.]
二、填空题
6．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋＝2时，若已知假设n＝k(k≥2)为偶数时，命题成立，则还需要用归纳假设再证________．
n＝k＋2时等式成立　[由于n为正偶数，已知假设n＝k(k≥2)为偶数，则下一个偶数为n＝k＋2.故答案为：n＝k＋2时等式成立．]
7．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N
)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开________．
(k＋3)3　[假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除；当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3.
为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．
故答案为(k＋3)3.]
8．已知f
(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N
)，用数学归纳法证明f
(2n)>时，f
(2k＋1)－f
(2k)＝________.
＋＋…＋　[因为假设n＝k时，f
(2k)＝1＋＋＋…＋，当n＝k＋1时，
f
(2k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋…＋，
所以f
(2k＋1)－f
(2k)＝1＋＋＋…＋＋＋…＋－(1＋＋＋…＋)＝＋＋…＋.]
三、解答题
9．(1)用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N
)；
(2)用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋<2(n∈N
)．
[证明]　(1)①当n＝1时，左边＝1＋2＋3＋4＝10，右边＝＝10，左边＝右边．
②假设n＝k(k∈N
)时等式成立，即1＋2＋3＋…＋(k＋3)＝，
那么当n＝k＋1时，1＋2＋3＋…＋(k＋3)＋(k＋4)＝＋(k＋4)＝，即当n＝k＋1时，等式成立．
综上，1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N
)．
(2)①当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，故当n＝1时不等式成立．
②假设当n＝k(k∈N
)时不等式成立，即1＋＋＋…＋<2，
那么当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋＋<2＋，
因为4k2＋4k<4k2＋4k＋1，所以2
<2k＋1，
所以2＋＝＝<＝2.
故当n＝k＋1时，不等式也成立．
综上，由①②可知1＋＋＋…＋<2.
10．已知正项数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋(n∈N
)．用数学归纳法证明：an)．
[证明]　①当n＝1时，a2＝1＋＝，a1②假设n＝k(k∈N
)时，akak＋2－ak＋1＝1＋－ak＋1＝1＋－
＝－＝>0，
所以，当n＝k＋1时，不等式成立．
综上所述，不等式an)成立．
11．某命题与自然数有关，如果当n＝k(k∈N
)时该命题成立，则可推得n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n＝5时该命题不成立，则可推得(　　)
A．当n＝6时，该命题不成立
B．当n＝6时，该命题成立
C．当n＝4时，该命题不成立
D．当n＝4时，该命题成立
C　[若n＝4时，该命题成立，由条件可推得n＝5命题成立．
它的逆否命题为：若n＝5不成立，则n＝4时该命题也不成立．]
12．(多选题)用数学归纳法证明不等式＋＋＋…＋＞的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．使不等式成立的第一个自然数n0＝1
B．使不等式成立的第一个自然数n0＝2
C．n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是
D．n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是
BC　[n＝1时，＞不成立，n＝2时，＋＞成立，所以A错误B正确；当n＝k时，左边的代数式为＋＋…＋，
当n＝k＋1时，左边的代数式为＋＋…＋，
故用n＝k＋1时左边的代数式减去n＝k时左边的代数式的结果，即－＝为不等式的左边增加的项，故C正确D错误，故选BC.]
13．(一题两空)已知n为正偶数，用数学归纳法证明“1－＋－＋…＋－＝2”时，第一步的验证为________；若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设证n＝________时等式成立．
当n＝2时，左边＝1－＝，右边＝2×＝，等式成立　k＋2　[对1－＋－＋…＋－＝2在n为正偶数，用数学归纳法证明．
归纳基础，因为n为正偶数，则基础n＝2，
当n＝2时，左边＝1－＝，右边＝2×＝，等式成立；
归纳假设，当n＝k(k≥2且k为偶数)时，1－＋－＋…＋－＝2成立，
由于是所有正偶数，则归纳推广，应到下一个数为n＝k＋2时，等式成立．]
14．记凸k边形的内角和为f
(k)，则凸k＋1边形的内角和f
(k＋1)＝f
(k)＋________.
π　[由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，故f
(k＋1)＝f
(k)＋π.]
15．是否存在a，b，c使等式＋＋＋…＋＝对一切n∈N
都成立？若不存在，说明理由；若存在，用数学归纳法证明你的结论．
[解]　取n＝1，2，3可得解得：a＝
，b＝，c＝.
下面用数学归纳法证明＋＋＋…＋＝＝.
即证12＋22＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)．
①n＝1时，左边＝1，右边＝1，∴等式成立；
②假设n＝k时等式成立，即12＋22＋…＋k2＝k(k＋1)(2k＋1)成立，
则当n＝k＋1时，等式左边＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＝k(k＋1)(2k＋1)＋(k＋1)2＝[k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)2]＝(k＋1)(2k2＋7k＋6)＝(k＋1)(k＋2)·(2k＋3)，∴当n＝k＋1时等式成立．
由数学归纳法，综合①②知当n∈N
时等式成立，
故存在a＝，b＝，c＝使已知等式成立.
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