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第二节　匀变速直线运动的规律
学习目标：1.[物理理念]知道匀变速直线运动的速度公式、位移公式、速度与位移公式、平均速度公式等，并能解释相关现象．　2.[科学思维]掌握用v?t图像的应用，并能利用几个公式解决物理问题，能掌握科学抽象理想化模型的方法．　3.[科学探究]学会用公式法和图像法，探究匀变速直线运动的规律，学会与他人合作交流．　4.[科学态度与责任]体验用物理规律研究问题的方法，学习科学严谨的科学态度，激发学习物理科学的兴趣．
阅读本节教材，回答第38页上方与下方及40页的“讨论与交流”并梳理必要知识点．
教材P38上方的“讨论与交流”提示：
1．①匀加速直线运动；②匀速直线运动；③匀减速直线运动．交点表示速度大小相等，方向相同．
2．0～1 s匀加速、1～2 s匀减速、2～3 s反向匀加速、3～4 s匀减速，都是直线运动．
教材P38下方的“讨论与交流”提示：
是，因为纵坐标是速度、横坐标是时间，乘积就是位移．
教材P40“讨论与交流”
不是，因为t停＝＝3 s即3 s就停下来了，在计算中用时间t＝3 s才可以．v＝v0＋at＝0，s＝v0t＋at2＝(6×3－×2×3×3)m＝9 m.
一、匀变速直线运动规律
1．速度公式：由加速度的定义式a＝，变形可得：
vt＝v0＋at.
2．位移公式：由s＝(v0＋vt)t和vt＝v0＋at可得
s＝v0t＋at2.
3．速度与位移的关系：
v－v＝2as.
4．平均速度公式：在匀变速直线运动中，某一段时间内中间时刻的瞬时速度等于该段时间内的平均速度．
v＝.
说明：这些公式只适用于匀变速直线运动．
二、用v?t图像表达匀变速直线运动
1．匀变速直线运动的v?t图像是一条倾斜的直线．
2．斜率就是物体运动的加速度，即物体运动的加速度恒定不变．
3．以初速度v0做匀变速直线运动的物体在时间t内位移的大小等于阴影梯形的面积．
说明：v?t图像只能描述直线运动，不能描述曲线运动
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)速度公式vt＝v0＋at适用于任何做匀变速直线运动的物体． (√)
(2)做匀加速直线运动的物体，初速度越大，运动时间越长，则物体的末速度一定越大． (√)
(3)位移公式s＝v0t＋at2仅适用于匀加速直线运动． (×)
(4)做匀变速直线运动的物体在相同时间内平均速度越大，位移就越大． (√)
2．(多选)在公式v＝v0＋at中，涉及四个物理量，除时间t是标量外，其余三个v、v0、a都是矢量．在直线运动中这三个矢量的方向都在同一条直线上，当取其中一个量的方向为正方向时，其他两个量的方向与其相同的取正值，与其相反的取负值，若取初速度方向为正方向，则下列说法正确的是 (　　)
A．在匀加速直线运动中，加速度a取负值
B．在匀加速直线运动中，加速度a取正值
C．在匀减速直线运动中，加速度a取负值
D．无论在匀加速直线运动还是在匀减速直线运动中，加速度a均取正值
BC　[若取初速度方向为正方向，物体做匀加速直线运动，表示初速度方向和加速度方向相同，加速度为正值，若物体做匀减速直线运动，物体加速度为负值，故B、C正确．]
3．(多选)某质点的位移随时间变化的关系是s＝4t＋4t2，s与t的单位分别为m和s，下列说法正确的是(　　)
A．v0＝4 m/s，a＝4 m/s2
B．v0＝4 m/s，a＝8 m/s2
C．2 s内的位移为24 m
D．2 s末的速度为24 m/s
BC　[质点的位移随时间变化的关系式s＝4t＋4t2与匀变速直线运动的位移与时间关系公式s＝v0t＋at2相对比可得v0＝4 m/s，a＝8 m/s2，选项A错误，B正确；2 s内质点的位移s＝4×2＋4×22 (m)＝24 m，选项C正确；由vt＝v0＋at＝4＋8t，可得2 s末质点的速度为vt＝(4＋8×2) m/s＝20 m/s，选项D错误．]
匀变速直线运动的规律
歼?20飞机在第11届中国国际航空航天博览会上进行飞行展示，这是中国自主研制的新一代隐身战斗机首次公开亮相．在某次短距离起飞过程中，战机只用了10秒钟就从静止加速到起飞速度288 km/h，假设战机在起飞过程中做匀加速直线运动．
请探究：(1)歼?20飞机的加速度是多大？
(2)在这10秒内，歼?20飞机飞行的位移是多大？
提示：(1)由题意得v0＝0，v＝288 km/h＝80 m/s，t＝10 s
由公式v＝v0＋at
得a＝8 m/s2.
(2)由x＝at2
得x＝400 m.
1．两个公式的使用
(1)vt＝v0＋at和s＝v0t＋at2既适用于匀加速直线运动，也适用于匀减速直线运动．式中s、v0、vt、a都是矢量，通常情况下取初速度方向为正方向．对于匀加速直线运动，a取正值；对于匀减速直线运动，a取负值．计算结果若s、vt大于零，说明其方向与v0方向相同；若s、vt小于0，则说明其方向与v0方向相反．
(2)特殊情况
①当v0＝0时，vt＝at，s＝at2(由静止开始的匀加速直线运动)．
②当a＝0时，vt＝v0，s＝v0t(匀速直线运动)．
2．用速度—时间图像求位移
图线与坐标轴所围成的面积表示位移．“面积”在时间轴上方表示位移为正，在时间轴下方表示位移为负；通过的路程为时间轴上、下方“面积”绝对值之和．
【例1】　一火车以2 m/s的初速度、0.5 m/s2的加速度做匀加速直线运动，求：
(1)火车在第3 s末的速度是多少？
(2)在前4 s的平均速度是多少？
(3)在第5 s内的位移是多少？
[思路点拨]　先选定正方向再用公式v＝v0＋at和s＝v0t＋at2求解，第5 s内位移是前5 s内位移减去前4 s内位移．
[解析]　选取初速度方向为正方向，则v0＝2 m/s，a＝0.5 m/s2.
(1)由vt＝v0＋at知，
vt＝2 m/s＋0.5×3 m/s＝3.5 m/s.
(2)前4 s内位移
s1＝v0t＋at2＝2×4 m＋×0.5×42 m＝12 m.
由＝知＝ m/s＝3 m/s.
(3)第5 s内的位移等于前5 s内位移减去前4 s内位移s2＝v0t′＋at′2－s1＝2×5 m＋×0.5×52m－12 m＝4.25 m.
[答案]　(1)3.5 m/s　(2)3 m/s　(3)4.25 m
【例2】　如图所示是一质点在0时刻从某一点出发做直线运动的v?t图像．关于该质点的运动，下列说法正确的是 (　　)
A．0～2 s内的位移与2～4 s内的位移相同
B．0～2 s内的加速度方向与2～4 s内的加速度方向相反
C．4 s末再次经过出发点
D．6 s末距出发点最远
C　[在v?t图像中，图线与坐标轴围成的面积表示质点在该段时间内发生的位移，图像在时间轴上方位移为正，图像在时间轴下方位移为负，据此可知，质点在0～2 s内的位移与2～4 s内的位移大小相等、方向相反，因此位移不相同，故A错误；质点在0～2 s内沿负方向运动，在2～5 s内沿正方向运动，在5～6 s内沿负方向运动，根据图线与坐标轴围成的面积大小可知，2 s未质点距出发点最远，4 s末回到出发点，故D错误，C正确；在v?t图像中，图线的斜率表示加速度，可知质点在0～2 s内的加速度与2～4 s内的加速度大小相等、方向相同，B错误．]
选用匀变速直线运动公式解题的策略
(1)理解各个匀变速直线运动公式的特点和应用情景．
(2)认真分析已知条件(必要时以书面的形式呈现出来)，看已知条件和哪个公式的特点相符，然后选择用之．
(3)对不能直接用单一公式解决的匀变速直线运动问题，要多角度考虑公式的组合，选择最佳的组合进行解题．
[跟进训练]
1．某物体从静止开始做匀加速直线运动，加速度为1 m/s2，求：
(1)物体在2 s内的位移大小；
(2)物体在第2 s内的位移大小；
(3)物体在第二个2 s内的位移大小．
[解析]　(1)由v0＝0，t1＝2 s得
x1＝at＝×1×22 m＝2 m.
(2)第1 s末的速度(第2 s初的速度)
v1＝v0＋at2＝1 m/s
故第2 s内的位移大小
x2＝v1t3＋at＝ m＝1.5 m.
(3)第2 s末的速度v2＝v0＋at′＝1×2 m/s＝2 m/s，
这也是物体在第二个2 s内的初速度
故物体在第二个2 s内的位移大小
x3＝v2t″＋at″2＝ m＝6 m.
[答案]　(1)2 m　(2)1.5 m　(3)6 m
2．(多选)甲、乙两物体从同一位置出发沿同一直线运动，两物体运动的v?t图像如图所示，下列判断正确的是(　　)
A．甲做匀速直线运动，乙先做匀加速直线运动后做匀减速直线运动
B．两物体两次速度相同的时刻分别在1 s末和4s末
C．乙在前2 s内做匀加速直线运动，2 s后做匀减速直线运动
D．2 s后，甲、乙两物体的速度方向相反
ABC　[由v?t图像可知，甲以2 m/s的速度做匀速直线运动，乙在0～2 s内做匀加速直线运动，加速度a1＝2 m/s2，2～6 s内做匀减速直线运动，加速度a2＝－1 m/s2，选项A、C正确；t1＝1 s和t2＝4 s时两物体速度相同，选项B正确；0～6 s内甲、乙的速度方向都与正方向相同，选项D错误．]
匀变速直线运动的推论公式
一只宠物狗和主人游戏，人抛出一小球，让狗叨回来，若狗做匀加速直线运动．
请探究：
(1)若狗从静止开始，匀加速跑了20 m的位移时速度为10 m/s，试求其加速度；
(2)试求这段时间内狗儿中间时刻的速度大小？
提示：(1)由v2＝2ax可得a＝2.5 m/s2
(2)由v＝＝5 m/s.
1．公式v－v＝2as的意义
公式表示了匀变速直线运动中速度与位移、加速度的关系，通常称为速度—位移公式．在问题不涉及时间或不需要求时间时，用这个公式求解通常比较简便．
2．平均速度
做匀变速直线运动的物体在一段时间t内的平均速度等于这段时间的中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初、末速度矢量和的一半．
推导：由s＝v0t＋at2 ①
平均速度＝＝v0＋at ②
由速度公式vt＝v0＋at，当t′＝时v＝v0＋a ③
由②③得＝v ④
又vt＝v＋a ⑤
由③④⑤解得v＝ ⑥
所以＝v＝，同时s＝ t＝vt＝·t.
3．中间位置的速度
做匀变速直线运动的物体，在中间位置的速度等于这段位移中初、末速度的方均根．
如图所示，一物体做匀变速直线运动由A到B，C是其中间位置，设位移为s，加速度为a，则
v－v＝2a·　 ①
v－v＝2a·　 ②
由①②解得v＝ .
【例3】　物体先做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a1＝2 m/s2，加速一段时间t1，然后接着做匀减速直线运动，加速度大小为a2＝4 m/s2，直到速度减为零，已知整个运动过程所用时间t＝15 s，则物体运动的最大速度为(　　)
A．15 m/s B．20 m/s
C．7.5 m/s D．无法求解
[思路点拨]　①物体先做初速度为零的匀加速直线运动，再做末速度为零的匀减速直线运动．
②物体匀加速过程的平均速度等于匀减速过程的平均速度．
B　[设最大速度为vm，匀加速直线运动过程：vm＝a1t1，匀减速直线运动过程：vm＝a2t2，所以整个运动过程的时间t＝t1＋t2，以上各式联立并代入数据，解得vm＝20 m/s，故B正确．]
在上题中，物体的总位移是多大？
[解析]　在加速阶段v－0＝2a1x1
得x1＝100 m
在减速阶段0－v＝－2a2x2
得x2＝50 m
总位移x＝x1＋x2＝150 m
[答案]　150 m
[跟进训练]
3.如图所示，物体A在斜面上由静止匀加速滑下s1后，又匀减速地在水平面上滑过s2后停下，测得s2＝2s1，则物体在斜面上的加速度a1与水平面上加速度a2的大小关系为(物体A滑入水平面时速度大小不变)(　　)
A．a1＝a2 B．a1＝2a2
C．a1＝a2 D．a1＝4a2
B　[设物体运动到斜面末端时速度为v，则有
v2－0＝2a1s1 ①
同理在水平面上有0－v2＝－2a2s2 ②
解①②得a1＝2a2.
选项B正确．]
1．物理观念：两个公式、三个推论．
2．科学思维：公式用v?t图像的应用．
3．科学方法：公式法、图像法．
1．在匀变速直线运动中，下列说法中正确的是(　　)
A．相同时间内位移的变化相同
B．相同时间内速度的变化相同
C．相同时间内速率的变化相同
D．相同路程内速度的变化相同
B　[匀变速直线运动中加速度是恒定的，即相同时间内速度的变化相同，B正确．]
2．一辆匀加速行驶的汽车，经过路旁两根电线杆共用5 s时间，汽车的加速度为2 m/s2，它经过第2根电线杆时的速度为15 m/s，则汽车经过第1根电线杆的速度为(　　)
A．2 m/s　　 B．10 m/s
C．2.5 m/s D．5 m/s
D　[根据v＝v0＋at，得v0＝v－at＝15 m/s－2×5 m/s＝5 m/s，D正确．]
3．如图所示，一辆正以8 m/s的速度沿直线行驶的汽车，突然以1 m/s2的加速度加速行驶，则汽车行驶了18 m时的速度为(　　)
A．8 m/s B．12 m/s
C．10 m/s D．14 m/s
C　[由v2－v＝2as，得
v＝＝ m/s＝10 m/s，故C正确．]
4．(多选)小球从空中自由下落，与水平地面相碰后弹到空中某一高度，其v?t图像如图所示，下列判断正确的是(g取10 m/s2)(　　)
A．小球下落的高度为1.25 m
B．小球能弹起的最大高度为0.45 m
C．小球第一次反弹后瞬时速度的大小为5 m/s
D．小球下落的最大速度大小为5 m/s
ABD　[由图及题意可知，0～0.5 s的图线表示小球自由下落，图线与坐标轴围成的面积表示球自由下落的高度h，则有h＝×5×0.5 m＝1.25 m，故A正确；0.5～0.8 s的图线表示小球反弹，图线与坐标轴围成的面积表示球能弹起的最大高度h′，则有h′＝×3×0.3 m＝0.45 m，故B正确；小球在0.5 s末第一次反弹，小球第一次反弹后瞬时速度大小为3 m/s，故C错误；小球在0～0.5 s内自由下落，由图读出下落的最大速度大小为5 m/s，故D正确．]
5．如图所示，你坐在沿直线行驶的汽车中，能看到：汽车启动时，速度计的指针顺时针方向转动；刹车时，速度计的指针逆时针方向转动．
问题：(1)如何根据此现象判断汽车的运动是不是匀变速直线运动？
(2)如果汽车做的是匀减速直线运动，加速度如何变化？
提示：(1)若速度计的指针随时间均匀变化，则汽车做的是匀变速直线运动，若速度计的指针随时间变化不均匀，则汽车做的不是匀变速直线运动．
(2)加速度不变．
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