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第一章
集合与常用逻辑用语
【1.1
集合的概念】
基础闯关
务实基础
达标检测
1、题型一
集合的概念与元素特征
1、现有以下说法,其中正确的是(　　)
①接近于0的数的全体构成一个集合;
②正方体的全体构成一个集合;
③未来世界的高科技产品构成一个集合;
④不大于5的所有自然数构成一个集合.　　　　　
　　　　　
　　　　　
①②
B.②③
C.③④
D.②④
解析：D　在①中,因为“接近于0”没有一个确定的标准,所以接近于0的数的全体不能构成一个集合,故①错误；在②中,正方体的全体能构成一个集合,故②正确；在③中,高科技产品没有确定的标准,所以未来世界的高科技产品不能构成一个集合,故③错误；在④中，不大于5的所有自然数能构成一个集合,故④正确.
2、集合是指（
）
A．第二象限内的所有点
B．第四象限内的所有点
C．第二象限和第四象限内的所有点
D．不在第一、第三象限内的所有点
解析：D
因为，故或，故集合是指第二、四象限中的点，以及在轴上的点，即不在第一、第三象限内的所有点.
3、已知集合A中的三个元素分别是的三个边长，则一定不是（
）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
解析：D
因为集合中的元素满足互异性，所以互不相等，即不可能是等腰三角形
4、下面有四个命题：
(1)集合中最小的数是1；　　　　　　
(2)若不属于，则属于；
(3)若则的最小值为2；
(4)的解可表示为；
其中正确命题的个数为(
)
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析：A
(1)最小的数应该是；(2)反例：，但；(3)当；(4)元素的互异性.
设a，b∈R，集合，则b－a=
．
解析：b－a=2
∵
，∴
a+b=0或a=0（舍去，否则无意义），
∴
a+b=0或，∴
－1∈，a=－1，
∵
a+b=0，b=1，∴
b－a=2．
题型二
元素和集合的关系
6、已知集合A仅含有三个元素2,4,6,且当a∈A时，6-a∈A，那么a的值为(　　)
A.2
B.2或4
C.4
D.6
解析：B　若a=2,则6-2=4,4∈A;若a=4,则6-4=2,2∈A;若a=6,则6-6=0,0?A.因此a=2或a=4.故选B.
7、已知集合，，则集合中所含元素的个数为（
）
A．3
B．4
C．6
D．9
解析：B
因为，，，所以满足条件的有序实数对为，，，．
8、已知集合与集合{a2，a+b，0}是两个相等的集合，求a2020+b2020的值.
解析：由a,,1组成一个集合,可知a≠0且a≠1,又集合与集合{a2,a+b,0}相等,所以=0,即b=0,此时两集合中的元素分别为a,0,1和a2,a,0,因此a2=1,解得a=-1或a=1(不满足集合中元素的互异性,舍去),因此a=-1,所以a2
020+b2
020=(-1)2
020+0=1.
题型三
集合的表示方法
9、已知集合，集合则集合中元素的个数为（　　）
A．4
B．5
C．6
D．7
解析：B
，，
，
当时，
当时，
当时，
即，即共有个元素
10、用适当的方法表示下列集合:
(1)所有能被3整除的数组成的集合;
(2)图中阴影部分的点(含边界)的坐标组成的集合;
(3)满足方程x=|x|,x∈Z的所有x的值组成的集合B.
解析：　(1){x|x=3n,n∈Z}.
(2)
(3)因为x=|x|,所以x≥0.又因为x∈Z,所以B={x|x∈N}.
能力提升
思维拓展
探究重点
1、已知集合P={x|x=2k,k∈Z},Q={x|x=2k+1,k∈Z},
M={x|x=4k+1,k∈Z},且a∈P，b∈Q，则(　　)
A．a+b∈P
B．a+b∈Q
C．a+b∈M
D．a+b不属于P，Q，M中的任意一个
解析：B　∵a∈P,∴a=2k1,k1∈Z.∵b∈Q,∴b=2k2+1,k2∈Z.∴a+b=2(k1+k2)+1=2k+1∈Q(k1,k2,k∈Z).故选B.
2、已知集合，试用列举法表示集合.
解析：由题意可知是的正约数，当；当；
当；当；而，∴，即
.
3、已知集合={x|，}，若中元素至多只有一个，求实数的取值范围.
解析：（1）时，原方程为，得符合题意；
（2）时，方程为一元二次方程，依题意，解得.
综上，实数的取值范围是或.
已知a，b∈N
，现规定：a
b=
集合M={(a，b)|a
b=36，a，b∈N
}.
(1)用列举法表示a与b一个为奇数，一个为偶数时的集合M；
(2)当a与b同为奇数或同为偶数时，集合M中共有多少个元素?
解析：　(1)当a与b一个为奇数,一个为偶数时,集合M中的元素(a,b)满足a×b=36,a,b∈N
.
∵1×36=36,3×12=36,4×9=36,9×4=36,12×3=36,36×1=36,
∴当a与b一个为奇数,一个为偶数时,集合M={(1,36),(3,12),(4,9),(9,4),(12,3),(36,1)}.
(2)当a与b同为奇数或同为偶数时,集合M中的元素(a,b)满足a+b=36,a,b∈N
.
∵1+35=36,2+34=36,3+33=36,……,34+2=36,35+1=36,
∴当a与b同为奇数或同为偶数时,集合M中共有35个元素.
5、已知集合={x|，}．
（1）若中只有一个元素，实数的取值范围．
（2）若中至少有一个元素，实数的取值范围．
（3）若中元素至多只有一个，求实数的取值范围．
解析：（1）若时，则，解得，此时．
若时，则
或时，中只有一个元素．
（2）①中只有一个元素时，同上或．
②中有两个元素时，，解得且．综上．
（3）①时，原方程为，得符合题意；
②时，方程为一元二次方程，依题意，解得．
综上，实数的取值范围是或

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