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《三角形》单元测试题
一．选择题（每小题3分，共30分）
1．给定下列条件，不能判定△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A+∠B＝∠C
B．∠A：∠B：∠C＝1：5：6
C．∠A＝∠B＝∠C
D．∠A＝2∠B＝3∠C
2．若三角形的三边长分别为3，x，8，则x的取值范围是（　　）
A．5＜x＜8
B．3＜x＜8
C．3＜x＜5
D．5＜x＜11
3．若一个多边形的边数增加1，则它的外角和将（　　）
A．增加90°
B．增加180°
C．增加360°
D．保持不变
4．如图，正五边形FGHIJ的顶点在正五边形ABCDE的边上，若∠1＝20°，则∠2＝（　　）
A．32°
B．42°
C．52°
D．62°
5．下列每组数分别是三根木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（　　）
A．4cm，4cm，9cm
B．3cm，5cm，8cm
C．3cm，4cm，5cm
D．1cm，2cm，3cm
6．如图，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的三个外角，边CD，AE的延长线交于点F，如果∠1+∠2+∠3＝225°，则∠DFE的度数是（　　）
A．35°
B．45°
C．55°
D．65°
7．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A＝54°，∠CDE＝39°，则∠B的大小为（　　）
A．40°
B．44°
C．48°
D．52°
8．如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C落在直线b上，∠B＝30°，若∠1＝39°，则∠2＝（　　）
A．30°
B．21°
C．19°
D．31°
9．若AD是△ABC的中线，则以下结论正确的是（　　）
A．AD⊥BC
B．∠BAD＝∠CAD
C．BD＝CD
D．以上答案都正确
10．如图，将一张三角形纸片ABC的三角折叠，使点A落在△ABC的A′处折痕为DE，若∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA′＝γ，那么下列式子中正确的是（　　）
A．γ＝180°﹣α﹣β
B．γ＝α+2β
C．γ＝2α+β
D．γ＝α+β
二．填空题（每小题3分，共15分）
11．如图，△ABC的高AD和它的角平分线BE相交于点F，若∠ABC＝52°，∠C＝44°，则∠AEF＝　
　．
12．若从长度分别为3cm、4cm、7cm和9cm的小木棒中选取的3根搭成了一个三角形，则这个三角形的周长为　
　．
13．如图，在△ABC中，已知∠1+∠2＝180°，∠DEF＝∠A，∠BED＝70°，则∠ACB的度数为　
　．
14．如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝54°，∠2＝24°，则∠B的度数为　
　．
15．如图，有一张矩形纸片ABCD，将它沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠GHC＝110°，则∠AGE等于　
　．
三．解答题（共55分）
16．如图所示，在△ABC中，已知AD是角平分线，∠B＝66°，∠C＝54°．
（1）求∠ADB的度数；（5分）
（2）若DE⊥AC于点E，求∠ADE的度数．（5分）
17．如图，BE与CD相交于点A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的角平分线，若∠B：∠D：∠F＝2：4：x，求x的值．（6分）
18．如图，在△ABC中，点E在AC上，∠AEB＝∠ABC．
（1）图1中，作∠BAC的角平分线AD，分别交CB、BE于D、F两点，求证：∠EFD＝∠ADC；（6分）
（2）图2中，作△ABC的外角∠BAG的角平分线AD，分别交CB、BE的延长线于D、F两点，试探究（1）中结论是否仍成立？为什么？（8分）
19．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题．
探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC＝90°+∠A，理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，
∴∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A．
（1）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．（6分）
（2）探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论）（2分）
（3）拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论）（2分）
20．（1）如图（1），在△ABC中，∠A＝62°，∠ABD＝20°，∠ACD＝35°，求∠BDC的度数．（3分）
（2）图（1）所示的图形中，有像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，观察“规形图”图（2），试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由．（6分）
（3）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图（3），把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A＝50°，则∠ABX+∠ACX＝　
　°．（2分）
②如图（4）DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数．（4分）
参考答案
一．选择题
1．解：A、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，即△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵∠A：∠B：∠C＝1：5：6，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝×180°＝90°，即△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵∠A＝∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，即△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵∠A＝2∠B＝3∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+∠A+A＝180°，
解得：∠A＝（）°，即△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
2．解：∵三角形的三边长分别为3，x，8，
∴8﹣3＜x＜3+8，
即5＜x＜11，
故选：D．
3．解：∵多边形的外角和等于360°，
∴一个多边形的边数增加1，则它的外角和不变，
故选：D．
4．解：正五边形的内角为：540°÷5＝108°，
∴∠AFG＝180°﹣∠1﹣∠GFJ＝180°﹣20°﹣108°＝52°，
∴∠AGF＝180°﹣∠A﹣∠AFG＝180°﹣108°﹣52°＝20°，
∴∠2＝180°﹣∠AGF﹣∠FGH＝180°﹣20°﹣108°＝52°，
故选：C．
5．解：A、4+4＜9，不能组成三角形；
B、3+5＝8，不能组成三角形；
C、3+4＞5，能组成三角形；
D、1+2＝3，不能够组成三角形．
故选：C．
6．解：∵多边形的外角和为360°
∴∠DEF+∠EDF＝360°﹣225°＝135°
∵∠DEF+∠EDF+∠DFE＝180°
∴∠DFE＝180°﹣135°＝45°．
故选：B．
7．解：∵DE∥BC，
∴∠CDE＝∠BCD＝39°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠BCD＝78°，
∵∠A＝54°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣54°﹣78°＝48°．
故选：C．
8．解：∵∠ACB＝90°，
∴∠3＝90°﹣∠1＝51°，
∵直线a∥b，
∴∠4＝∠3＝51°，
∴∠2＝∠4﹣∠B＝21°，
故选：B．
9．解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
故选：C．
10．解：如图，设AC交DA′于F．
由折叠得：∠A＝∠A'，
∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，
∵∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，
∴∠BDA'＝γ＝α+α+β＝2α+β，
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．解：∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC＝∠ABC＝26°，
∴∠AEF＝∠EBC+∠C＝26°+44°＝70°，
故答案为70°．
12．解：任意三条组合有4cm、7cm、9cm；3cm、4cm、7cm；3cm、7cm、9cm；3cm、4cm、9cm共四种情况，
根据三角形的三边关系，则只有4cm、7cm、9cm；3cm、7cm、9cm两种情况符合，
故周长是19cm或20cm．
故答案为：19cm或20cm．
13．解：∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠DFE＝180°，
∴∠2＝∠DFE，
∴AB∥EF，
∴∠BDE＝∠DEF，
又∵∠DEF＝∠A，
∴∠BDE＝∠A．
∴DE∥AC，
∴∠ACB＝∠BED＝70°；
故答案为：70°．
14．解：如图，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝54°，
∵∠3＝∠2+∠A，
∴∠A＝54°﹣24°＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣30°＝60°，
故答案为60°．
15．解：∵AD∥BC
∴∠DGH+∠GHC＝180°，且∠GHC＝110°
∴∠DGH＝70°
∵将长方形纸片ABCD沿GH折叠，
∴∠EGH＝∠DGH＝70°
∴∠AGE＝180°﹣∠DGH﹣∠EGH＝40°
故答案为：40°．
三．解答题（共5小题）
16．解：（1）∵在△ABC中，∠B＝66°，∠C＝54°，∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°．
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠BAC＝30°
在△ABD中，∠B＝66°，∠BAD＝30°，
∴∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝84°．
（2）∵∠CAD＝∠BAC＝30°，又DE⊥AC，
∴在Rt△ADE中，∠EAD＝30°，
∴∠ADE＝90°﹣∠EAD＝60°．
17．
解：如图，
∵∠D+∠1＝∠F+∠3，（内角和都是180°，对顶角相等）
∠B+∠4＝∠F+∠2，
又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠D+∠B＝2∠F，
∵∠B：∠D：∠F＝2：4：x，
∴2+4＝2x，
∴x＝3．
18．解：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵∠EFD＝∠DAC+∠AEB，∠ADC＝∠ABC+∠BAD，
又∵∠AEB＝∠ABC，
∴∠EFD＝∠ADC；
（2）探究（1）中结论仍成立；
理由：∵AD平分∠BAG，
∴∠BAD＝∠GAD，
∵∠FAE＝∠GAD，
∴∠FAE＝∠BAD，
∵∠EFD＝∠AEB﹣∠FAE，∠ADC＝∠ABC﹣∠BAD，
又∵∠AEB＝∠ABC，
∴∠EFD＝∠ADC．
19．解：（1）探究2结论：∠BOC＝∠A．
理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCD＝∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD＝∠A+∠ABC，
∴∠OCD＝（∠A+∠ABC）＝∠A+∠ABC＝∠A+∠OBC，
又∵∠OCD是△BOC的一个外角，
∴∠BOC＝∠OCD﹣∠OBC＝∠A+∠OBC﹣∠OBC＝∠A；
（2）探究3：结论∠BOC＝90°﹣∠A．
根据三角形的外角性质，∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC，
∵O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，
∴∠OBC＝∠DBC，∠OCB＝∠BCE，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠DBC+∠BCE）＝（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC），
∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，
∴∠OBC+∠OCB＝90°+∠A，
在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；
（3）拓展：结论∠BOC＝（∠A+∠D）．
在四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD＝（360°﹣∠A﹣∠D），
∵O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠BCD，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠BCD）＝（360°﹣∠A﹣∠D），
在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠D）＝（∠A+∠D），
即∠BOC＝（∠A+∠D）．
20．解：（1）在△ABC中，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣62°＝118°，
∵∠ABD＝20°，∠ACD＝35°，
∴∠DBC+∠DCB＝118°﹣20°﹣35°＝63°
∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝117°；
（2）∠BDC＝∠A+∠B+∠C．
理由：连接BC
在△ABC中，
∵∠A+∠ABD+∠DBC+∠ACD+∠BCD＝180°，
∴∠A+∠ABD+∠ACD＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD，
在△DBC中，
∵∠BDC+∠DBC+∠BCD＝180°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD，
∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C；
（3）①∵△XBC中，∠X＝90°，
∴∠XBC+∠XCB＝90°，
∵△ABC中，∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝130°，
∴∠ABX+∠ACX＝130°﹣90°＝40°．
故答案为：40；
②∵∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，
∴∠ADB+∠AEB＝80°，
∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，
∴∠ADC＝∠ADB，∠AEC＝∠AEB，
∴∠ADC+∠AEC＝（∠ADB+∠AEB）＝40°，
∴∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC＝50°+40°＝90°．

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