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高中数学必修一教材分析
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李涛 陕西师大附中 710061
作为新课程高中数学的起始模块—必修一，它是由“第一章集合、第二章函数、第三章指数函 数和对数函数、第四章函数应用”四部分内容组成. 尽管“集合、函数、指数函数和对数函数”这 三部分内容属于我国高中数学课程的传统内容，但和《全日制普通高级中学数学教学大纲（2002 年 颁布） 》版教材（下称《大纲》版教材）相比,《高中数学课程标准》版教材（由于我省各地市使用 的数学教材均为北师大版,所以,下边的讨论均以北师大版教材为基础,并简称其为《标准》版教材） 以《高中数学课程标准》为基础对其所涉及的相当一部分内容作了新的处理，在要求上也有了一定 程度的变化.“第四章函数应用”内容包括“函数与方程、实际问题的函数建模”两部分，这是新课 程中增加的新内容， 旨在突出 “函数与方程” 的数学思想、 强调数学的实际应用.下边为了便于讨论， 我们分章对于教材作一分析.
1 集合
集合是近代数学中的一个重要概念，集合概念及其基本理论又是近代数学的一个重要的基础， 它不仅与高中数学的许多内容有着联系，而且已经渗透到自然科学的众多领域，应用十分广泛。中 学数学所研究的各种对象都可以看作集合或集合中的元素，用集合语言可以简明地表述数学概念， 准确、简捷地进行数学推理.
本章内容以集合的含义与表示、集合的基本关系、集合的基本运算为逻辑链条统领全章，这种 安排与以往的教材的处理有很大的区别.例如，§2 集合的基本关系，是将集合的包含和相等关系放 在一起，并给出自集的概念；§3 集合的基本运算，是将集合的交、并、补放在这一节，并给出全 集的概念，这样安排给学生展现出知识间的联系，便于学生学习.
1.1 课程标准要求
（1）集合的含义与表示
① 通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系.
② 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集 合语言的意义和作用.
（2）集合间的基本关系
① 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
② 在具体情境中，了解全集与空集的含义.
（3）集合的基本运算
① 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.
② 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.
③ 能使用 Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
1.2 教学目标
集合语言是现代数学的基本语言.使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学的一些内容（集合 的初步知识与其他内容有着密切的联系，是学习、掌握和使用数学语言的基础），因此高中数学课 程中只是将集合作为一种语言来学习。 1.2.1 知识与技能
⑴了解集合的含义，明确元素与集合的“属于”关系.掌握描写某些数集的专用符号。
⑵理解集合的表示法，能用集合语言对事物进行准确，能选择自然语言、图形语言、集合语言 （列举法或描述法）描述不同的具体问题.
⑶理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.培养分析、比较、归纳的逻辑思维 能力.
⑷了解全集与空集的含义.
⑸理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集.
⑹理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.
⑺能使用 Venn 图表达集合的关系及运算.
1.2.2 过程与方法
⑴从学生比较熟悉的实例入手，通过列举丰富的实例，了解集合的含义，理解并掌握集合间的 基本关系及集合的基本运算.
⑵创设使学生运用集合语言进行表达和交流的情景和机会，以便学生在实际应用中逐渐熟悉自 然语言、图形语言、集合语言各自的特点，进行相互转换并掌握集合语言.
⑶借助几何直观，运用 Venn 图和数轴表示集合的关系及集合的基本运算，从直观上帮助学生理 解并运用集合语言处理问题，体现数形结合的思想. 情感、态度、
1.2.3 情感、态度、价值观
⑴在运用集合语言解决问题的过程中，逐步养成事实求是，扎实严谨的科学态度，学会用数学 思维方法解决问题.
⑵通过直观感知，类比联想和抽象概括，让学生体会数学上的规定要讲逻辑顺序，培养学生有 条理地思考的习惯和积极探索创新的意识. 知识结构与教学安排
1.3 知识结构与教学安排
1.3.1 知识结构
1.3.2 教学顺序
1.3.2 课时安排
§1集合的含义与表示 约 1 课时
§2 集合的基本关系约 约 1 课时
§3.1 交集与并集 约 1 课时
§3.2 全集与补集 约 1 课时
复习小结 约 1 课时
1.4 教学重点和难点
1.4.1 教学重点
（1）集合的概念与表示.
（2）集合间的包含与相等关系，子集与真子集的概念.
（3）交集与并集、全集与补集的概念.
1.4.2 教学难点
（1）运用集合的两种常用表示法—列举法与描述法正确表示一些简单的集合. （2）属于关系与包含关系的区别.
（3）交集与并集的概念的理解，交集与并集的符号之间的区别与联系.
1.5 教学建议
1.5.1 把握课标、教材的定位，明确教学目标
●集合作为一种数学语言来学习，尽管集合是数学的一个重要概念，但教材中给出的集合的概 念只是一个描述性的说明，在教学中注意通过实例使学生对集合的概念有一个初步认识
●不抠概念，只要求能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具 体问题
1.5.2 充分利用几何直观
●注重图形（Venn 图和数轴）的直观作用。利用图形帮助学生理解集合的有关概念，并能够用 图形直观地认识集合的运算性质（这些性质不予证明） 。 集合教学 教学中
1.5.3 集合教学中要注意的问题
●用学生熟悉的例子学习集合，不引入陌生问题
●熟练准确地运用集合语言，是要靠长期积累的，这里只是初步掌握，将在后面学习中提高， 切忌“一步到位”
●不强调细枝末节，如集合的“三性” （确定性，无序性，互异性）
2 函数
20世纪初，在英国数学家贝利和德国数学家克莱因等人的大力倡导和推动下，函数进入了中学 数学。克莱因提出了一个重要的思想——以函数概念和思想统一数学教育的内容，他认为：“函数 概念，应该成为数学教育的灵魂。以函数概念为中心，将全部数学教材集中在它周围，进行充分地 综合。”在高中课程中，函数与方程、数列、不等式、线性规划、算法、导数及其应用，包括概率 统计中的随机变量等， 以及选修系列3、 4中的大部分专题内容， 都与函数有着密切的联系。 用函数(映 射)的思想去理解这些内容，是非常重要的一个出发点。反过来，通过这些内容的学习，可以加深对 于函数思想的认识。实际上，在整个高中数学课程中，都需要不断地体会、理解“函数思想”给我 们带来的“好处”。
函数各章除三角函数外，基本集中在必修 1 中，分为第二章、第三章、第四章。本章是第二章， 不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，将函数的思想方法贯 串于初中学的几种基本函数的再认识过程；而在第三章将学习指数函数、对数函数等具体的基本初 等函数，具体体会两种函数模型的知识和研究规律；第四章结合实际问题，感受运用函数概念建立 模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生 活和社会中的简单问题。学生还将学习利用函数的性质求方程的近似解，体会函数与方程的有机联 系。
显然，本章是整个函数体系的根部，其函数概念是高中数学的核心概念，是函数体系生成的种 子；其三要素问题，会成为把握各种函数（如指数函数、对数函数）内涵的基点；其表示法为各种 函数（如指数函数、对数函数）的运用示范了三种常见形态，且引出的分段函数是进一步理解函数 概念、进而提高各种函数（如指数函数、对数函数）运用能力的绝好材料；而映射的学习，强调了 函数概念的动态性和在两个集合间进行信息沟通的功能，有利于函数的理论研究，从而推动各种函 数（如指数函数、对数函数）的理论学习和研究，这显然弥补了变量观点下函数概念的不足；函数 单调性在各种函数研究中有着特殊的地位，本章在初中函数值变化的基础上，进行了数式刻画，就 严格的概念、判断、证明等进行专门学习和训练，随后还学习了奇偶性及其判断，为各种函数（如 指数函数、对数函数）的运用做好准备；本章还专门设置了“二次函数再认识”一节，既是为各种 函数（如指数函数、对数函数）走向综合运用作进一步的知识准备，也是由函数新的理论层面（概 念、表示、性质）来重新理解和描述已学函数模型的一个较为完整的过程，为下一章指数函数、对 数函数的研究提供方法上的示范，随后还渗透了幂函数，使下一章集中更多精力研究指数函数和对 数函数。
本章第一节着重联系函数与生活的关系，并展现生活中变量关系的丰富性，把函数作为变量关 系的特殊化；函数概念的展开过程把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来处理，强调 结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法.这些处理，实际上在有效地发展着 学生对实际问题的抽象意识和对变量数学的认识，从而为发展学生的函数意识和函数建模能力作必 要的分解和铺垫；这种意识层的铺垫，加上本章以一次函数、二次函数、反比例函数、分段函数为 模的建模渗透，以及下一章以指数函数、对数函数为模的建模渗透，即可促成第四章中通性意义上 的函数建模训练及三个分解步骤的展开。
总之，本章是函数的核心部位，也是必修 1 的核心部位。前面学习的集合为本章“函数的再认 识”提供了背景；而本章着重研究了函数的一般性知识，为后面进行的具体函数理论研究作了基础 性和工具性的准备，同时，也为后面进行实际应用作了理论和意识层的准备，也为建模训练作了感 性积累。
2.1 课程标准要求
① 通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学 习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素， 会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。
② 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。
③ 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。
④ 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合 具体函数，了解奇偶性的含义。
⑤ 学会运用函数图象理解和研究函数的性质。
⑥通过实例，了解幂函数的概念；结合函数 y=x, y=x , y=x , y=1/x, y=x / 的图象，了解它们的变 化情况。
2.2 教学目标
2.2.1 知识与技能
⑴了解函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型.
⑵能用集合与对应的语言刻画函数概念.
⑶了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域.
⑷能根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
⑸了解简单的分段函数，并能简单应用.
⑹了解映射的概念.
⑺了解增函数、减函数的概念，理解函数的单调性，能利用单调性的定义判断函数的单调性.
⑻理解二次函数的图象变换，掌握二次函数的性质，并会利用二次函数的图象和性质求最值.
⑼了解幂函数的概念，结合函数 y = x, y = x , y = x , y = x﹣ , y = x 的图象，了解幂函数的图象的变化情况.
⑽了解函数奇偶性的含义，会判断函数的奇偶性，能根据函数的奇偶性解决有关问题.
⑾能运用函数的图象理解和研究函数的性质.
2.2.2 过程与方法
⑴在复习初中函数定义的基础上，从贴近学生实际出发，结合具体的实例理解函数的定义，会 求简单函数的定义域和值域，并会用集合、区间、不等式表示它们.
⑵通过学习函数常用的三种表示方法及相关实例进一步理解函数的概念.同时在学习映射概念 的基础上明确两者之间的区别与联系——函数是特殊的映射，映射是函数的推广.
⑶在作二次函数图象的过程中，学会体会图象之间的变换规律，理解二次函数图象与 a, b, c 的 关系.
⑷先给出几个特殊函数的图象，通过图象直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量 变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立.在此基础上建立奇 偶函数的概念.
2.2.3 情感、态度、价值观
⑴引导学生从集合、对应出发来理解抽象的函数概念，学会函数的表示方法.从众多现实问题中 抽象出本质属性，培养学生的严谨意识及分析问题、处理问题的能力.
⑵通过实例，感受函数概念在客观实际中的重要意义，进一步体会数形结合的重要性.
⑶从图象的变化过程，学会认识事物由简单到复杂，由具体到抽象的变化规律.
⑷通过研究奇偶函数的性质体会函数图象的对称性与函数解析式的关系. 函数的奇偶性将这两 者紧紧联系起来，体现了数学上的对称美及数与形的完美结合，并从中提高分析问题、解决问题的 能力.
2.3 知识结构与教学安排
2.3.1 知识结构与教学顺序
2.3.2 课时安排
本章教学时间约 9 课时。
§1生活中的变量关系 1 课时
§2 对函数的进一步认识 1 课时
§2.1 函数概念 1 课时
§2.2 函数的表示法 1 课时
§2.3 映射 1 课时
§3函数的单调性 1 课时
§4二次函数性质的再研究 2 课时
§5 简单的幂函数 1 课时
小结与复习 1 课时
2.4 教学重点和难点
2.4.1 教学重点
（1）理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数.
（2）函数的概念，函数的表示法.
（3）函数单调性的概念，判断和证明函数的单调性.
（4）二次函数图象的平移变换规律及应用；二次函数解析式的配方以及二次函数在给定区间上 的值域问题；含参数的二次函数在给定区间上的值域问题. （5）幂函数的概念、奇偶函数的概念.
2.4.2 教学难点
（1）对抽象符号 f ( x ) 的理解，分段函数的表示及图像.
（2）应用定义证明单调性的代数推理论证能力的培养与提高.
（3）含参数的二次函数在给定区间上的值域问题.
（4）利用数学本质正确判断函数的奇偶性.
2.5 教学建议
2.5.1 紧扣教材特点
“亲和力” ：以生动活泼的呈现方式，激发兴趣和美感，引发学习激情；
“问题性” ：以恰时恰点的问题引导数学活动，培养问题意识，孕育创新精神；
“科学性”与“思想性” ：通过不同数学内容的联系与启发，强调类比，推广，特殊化，化归等 思想方法的运用，学习数学地思考问题的方式，提高数学思维能力，培育理性精神；
“时代性”与“应用性” ：以具有时代性和现实感的素材创设情境，加强数学活动，发展应用意 识.
2.5.2教材的整体把握与分点处理建议
本章是函数的起始和核心单元，重点、难点密集.许多知识点运用广泛，且稍加变化就衍生出灵 活的题型，如果不加拓展，学生解题实践中往往对常见的问题也很困难。也许正因为如此，过去和 现在的所有教材，对概念部分都只涉及函数的皮毛，对最内核的理解和运用慎之又慎，特别是三要 素的求解。因此本章内容的处理要特别的瑾慎.
1.函数“对应”本质的把握，应该成为本章教学的重要原则
“§1 生活中的变量关系”给出了变量间的多种对应关系， “2.1 函数概念”中的定义却淘汰了 其它对应，把关注点抽象到函数对应的特定内涵上；至“2.2 函数的表示法” ，函数的外形（即对应 法则 f ）发生很大的变化（生活、表格、图示、分段、绝对值等） ，但统领它的仍是不变的函数对应 特征；接下来的“映射”“生活中的映射（阅读材料），是在非空数集 A 和 B 泛化为“非空集合” 、 ” 后，函数的对应特征在应用层面的一种扩张；到“§3 函数的单调性”将显示函数具有一一对应特 征时的巨大应用优势，到“§4 二次函数的再研究”将显示非一一对应的函数复杂之一斑，此时图 示函数将成为化难为易的法宝；这两种对应特殊化就出现了“§5 简单的幂函数” ，图示后，成为奇 偶性概念产生的契机；而最后， “函数概念的发展（阅读材料） ”的副标题“从解析式到对应关系” 则对全章作了总结，将“函数”本质定格在“对应”层面.
由此可见，如果我们在处理本章知识时，能从“对应”的层面着眼，手中就有了一根主线，它 时时切中各点的本质，使我们考虑问题时易于把握相互的轻重关系，作出合理的安排.
2.理论研究的必要性与应用意识的结合
“§1 生活中的变量关系” ，及“2.1 函数概念”中的概念例释和例题都是实际或物理学背景， 构成最大胆也是最独特的设计方案，这种从实际到实际、再到实际的极端处理,对于彰显函数意识和 应用意识这一新课标理念，效果是显著的。但从实现这一理念的操作环节来看，是否可以来得缓一 点呢？因为函数概念的理性认识过浅，可能会严重妨碍后续具体函数的理论研究。因此，我们的建 议是，仍然遵循从实际到理论、再由理论回到实际的程序，即：在函数各种概念建立之前，可提供 充分的精典实例，让学生感知概念的实际意义，但概念建立后，主要还是从函数自身的理论体系上 加以梳理和研究，训练巩固以后，再作为工具回到实际问题中展现数学的力量.
3.重视图像作用的发挥 在教学中，要重视图形在数学学习中的作用，挖掘函数图形对函数概念和性质的理解，对数学 理解、数学思考的功能。我们可以经常提出这样一些问题：从函数图象中你“看到了”什么？发现 了什么？有什么联想？等等。当然，我们也要注意几何直观的局限性，以及用几何直观代替逻辑证 明的错误做法.
4.难点部位避免搞一次到位，采用立足初中、分步提高的办法
本章许多点需要螺旋式上升，不能一次到位，如函数三要素的求解等。这样的知识点一定要遵 从课标，但是否要遵从教材就要视学生的情况而定。对基础较好的学校或班级，建议补充课时若干， 突破这些重难点，教学的原则是分散难点，突出重点，削枝强干.
2.5.3关于信息技术整合的建议
必要性：信息技术应为数学的学与教服务，教学中不应为用信息技术而用，尤其是上公开课、 研究课等，绝大部分都用信息技术，但是否每节课都需要呢 是不是计算机用得越多就越好呢 答案 都应是否定，是否真的需要，要看信息技术能否在课堂上为教学目标服务，起到传统方法达不到的 效果.
整体性：一节课要用信息技术，到底什么地方用，用多少，如何用，要从这节课的整体考虑， 计算机作为有效的辅助认知工具是为教学服务的，要把它用得恰到好处。传统教学的优势应该保留， 如教师示范作用、教师与学生之间富于人情味的及时交流，教师组织起来的探讨问题的活跃氛围等 等。理想的教学应该是把教师与计算机的优势同时充分发挥出来，把计算机辅助教学与传统教学完 美地结合在一起。为此就需要教师全新的教学设计。教学设计应遵循的原则，我们认为应该是“优 势互补”的原则，既发挥计算机的优势，又发挥教师的主导作用。一句话能说明白的，一个教具能 演示清楚的，不一定非用计算机演示。全新的教学设计并不是和传统的教学对立起来，而是把几方 面的优势更好地结合起来.
2.5.4 关于必修内容与选修内容衔接问题的建议
函数是贯穿于高中数学课程的主线之一，也是高中数学最基本的研究内容之一.在本章，学生将 在义务教育阶段函数学习的基础上对函数概念有进一步的认识，并研究函数的性质。在必修 1 和必 修 4 中学生还将继续学习一些常用的函数模型，如指数函数、对数函数、幂函数和三角函数等，而 选修 2-1 和选修 2-2 中学生还将学习导数及其应用。导数及其应用这部分内容将在必修数学的基础 上，提供一种函数研究的新工具.
在必修内容教学中，如何处理好与选修内容的衔接呢？
1.重视概念教学，突出形数结合，为选学内容中概念理解作好准备
函数选学中的核心概念是导数的概念，掌握它的关键是理解函数的导数是函数单调性的更高级 别的抽象。 这里面的逻辑演变可以是： y = f ( x) 的单调性， y 增加与 x 增加的方向间关系 → y 增 即 量与 x 增量的比值，即 y = f ( x ) 的平均变化率 → x 增量趋于零时， y = f ( x ) 平均变化率有极限， 即瞬时变化率，即 y = f ( x ) 的导数. 这里的“极限”并不作严格的概念处理，但须突出其实际背景和几何意义.因此，如果不能将 y=f(x)的单调性及其几何意义理解到位，显然不能理解好导数概念的.事实上，由此点可对其它概念 的教学作一迁移思考.
2.重视基本初等函数的技能训练和思维训练，为导数求法作好准备
选学中有若干函数的求导公式，常用的原函数涉及到三次函数、指数函数、对数函数、幂函数、 三角函数等，他们的导函数将集中在二次函数等初等函数模型上。因此要解好相关导函数的运用问 题，关键在必修课中要解决好这些初等函数相关基本技能的训练。
3.注意把握好研究单调性或最值时的初等方法和导数方法的度及分工。
当导数方法纳入高中数学主体结构后，用单调性定义讨论和证明函数单调性（即初等方法）的 要求就大为降低，新课标更明确了这一点。由于导函数一般会较之原函数（特别是整式函数）简单， 因而导数方法往往显得更为简捷。但这仅限于可导函数而已。因此，必修内容中函数单调性的研究 仍要重视，但一般函数（大多可导）的单调性讨论不必讨论过深，一次函数、二次函数或反比例函 数即可，主要掌握原理和步骤以及单调性的理解和判断，而同时应关注一些常见的不可导函数的单 调性的问题，如离散函数的单调性. 对于函数的值域（最值）的研究也有类似的问题，它与单调性问题构成两类最重要的基本问题。
3 指数函数和对数函数
函数是贯穿中学数学的核心内容,本章继第二章学习完函数概念和基本性质后,较为系统地研究 最重要的两个基本初等函数:指数函数和对数函数.通过这些函数的研究,使学生进一步认识到函数 是刻画现实世界变化规律的重要模型,是一种通过某一事物的变化信息可推知另一事物信息的对应 关系的数学模型.并要求结合实际问题,感受运用函数概念建立模型的过程与方法.
3.1 课程标准要求
（1）指数函数
① 通过具体实例 （如细胞的分裂， 考古中所用的 14C 的衰减， 药物在人体内残留量的变化等） ， 了解指数函数模型的实际背景。
② 理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。
③ 理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理 解指数函数的单调性与特殊点。
④ 在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型（参见例 2）
（2）对数函数
① 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对 数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用.
② 通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体 会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解 对数函数的单调性与特殊点.
③ 知道指数函数 y=ax 与对数函数 y=loga x 互为反函数（a > 0, a≠1）. 1.2 教学目标
1.2.1 知识与技能
⑴理解有理指数幂的含义，了解无理指数幂及实数指数幂的意义,掌握幂的运算.
⑵了解指数函数模型的实际背景.
⑶理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指 数函数的单调性和特殊点.
⑷在解决实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型.
⑸理解对数的概念及其性质,知道能用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数.
⑹了解对数的发展历史以及简化运算的作用.
⑺了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的 函数模型.
⑻能够画出具体的对数函数的图象,了解对数函数的单调性与特殊点.
⑼了解反函数的定义,知道指数函数 y = ax 与对数函数 y = log a x( a > 0, a ≠ 1) 互为反函数.
⑽掌握幂函数、指数函数和对数函数的变化特点，会区别它们变化的速度的不同.
1.2.2 过程与方法
⑴在回顾整数指数幂的概念及其运算性质的基础上，结合具体实例，引入有理指数幂及其运算 性质，进一步体会用“有理数逼近有理数”的思想，并且可以让学生利用计算器或计算机进行实际 操作，感受“逼近”过程.
⑵通过具体的指数函数图象，由特殊到一般地研究指数函数的性质.
⑶通过对数与指数之间的关系，理解对数概念，并根据指数与对数的关系及指数的运算性质推 出对数的运算性质.
⑷通过具体实例引入一类新的基本函数——对数函数，并由对数函数的图象研究对数函数的性 质，并通过类比指数函数，加深对对数函数的理解.
⑸借助函数图象，研究直线上升、指数增长以及对数增长与实际生活的联系.
1.2.3 情感、态度、价值观
⑴在从整数指数幂到有理数指数幂再到实数指数幂的推广过程中，以及指数函数和对数函数等 内容的学习过程中，体会事物从特殊到一般，从低级到高级的发展规律，树立辨证唯物主义观念， 养成实事求是的科学态度，培养科学的思维方式.
⑵在利用本章知识在解决实际问题的过程中，认识到知识来源于生活并最终服务于生活，提高 学习数学的兴趣，树立学生学好数学的信心.
⑶本章内容蕴涵了许多数学思想方法，如归纳的思想、数形结合的思想、类比的思想等，通过 这些思想方法在具体问题中的运用，体会这些数学思想方法，培养学生更加开阔的数学视野，逐步 认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会 数学的美学意义.
⑷通过实例，提高解决实际问题的能力，发挥个人的能力，构建数学模型，养成独立思考问题 的能力. 知识结构与教学安排
1.3 知识结构与教学安排
1.3.1 知识结构与教学顺序
1.3.2 课时安排
本章教学时间约需要 14 课时，具体分配如下：
§1 正整数指数函数 1 课时
§2 指数扩充及其运算性质 3 课时
2．1 指数概念的扩充
2．2 指数运算的性质
§3 指数函数 3 课时
3．1 指数函数的概念
3．2 指数函数的图像和性质
3．3 指数函数的图像和性质
§4 对数 2课时
4．1 对数及其运算
4．2 换底公式
§5 对数函数 3 课时
5．1 对数函数的概念
5．2 y = log 2 x 的图像和性质
5．3 对数函数的图像和性质
§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 1 课时
小结与复习 1 课时
1.4 教学重点和难点教学重点
1.4.1 教学重点
（1）分数指数幂的概念、指数的运算性质.
（2）对数的概念和运算性质.
（3）指数函数和对数函数的图象和性质.
1.4.2 教学难点
（1）分数指数幂的概念.
（2）底数 a 对指数函数与对数函数的函数值变化的影响.
（3）指数函数、对数函数以及幂函数增长的比较. 1.5 教学建议注意与初中内容及选修内容 及选修内容的衔接
1.5.1 注意与初中内容及选修内容的衔接
●与初中内容的衔接
本章内容是与初中数学最近的结合点。如果初中的内容没有学习好或遗忘的过多，学习本章就 有障碍。本章很多内容都是在初中的基础上讲授的，如函数的概念、函数图象的描绘；又如指数概 念的扩充，如果没有正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的基础知识，有理数指数幂就无法给 出，运算性质也是如此，因此在本章教学中要注意与初中所学的有关内容的联系，做好初、高中数 学的衔接和过渡工作。
●与选修的衔接
必修 1 是对函数概念的再认识阶段，即用集合、映射的思想理解函数的一般定义，加深对函数 概念的理解，在此基础上研究了指数函数、对数函数，从而使学生获得较为系统的函数知识，并初 步培养了函数的应用意识，为今后必修 4 学习三角函数、必修 5 学习数列选修中学习导数及其应用， 概率 ，坐标系与参数方程，打下良好的基础,这些内容是函数及其应用研究的深化和提高，也是进 一步学习、参加生产和实际生活中需要具备的基础知识．总体上，函数的学习经历了一个不断螺旋 上升的过程。因此，要注意必修与选修的的联系，也要注意联系物理、化学等学科的知识内容来丰 富和巩固本章的内容。
1.5.2 准确把握教学要求
与以往教材比较，本章在内容、要求以及处理方式上都发生了许多变化，归纳起来有如下几点：
●以往教材要求掌握有理指数幂的运算性质，不要求学生了解无理指数幂，不要求用有理指数 幂逼近无理指数幂；本章要求通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算，并体会“用有 理数逼近无理数”的思想。
●以往教材在对数换底公式上没有要求；这里要求学生知道用换底公式能将一般对数转化成自 然对数或常用对数。
●以往教材要求掌握指数函数、对数函数的概念、图象和性质；这里要求能借助计算器或计算 机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。
●以往教材要求了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反 函数；这里对反函数的处理，只要求以具体函数为例进行解释和直观理解，只通过比较同底的指数 函数和对数函数， 说明指数函数和对数函数 ( a > 0, a ≠ 1) 互为反函数， 不要求一般 地讨论形式化的反函数定义，也不要求求已知函数的反函数。
●以往教材对指数函数与对数函数的应用没有给出明确的要求；这里要求学生在解决简单实际 问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界 的密切联系及其在刻画现实问题中的作用。
教学中要切实关注上述变化，把主要精力用在让学生通过具体实例了解指数函数模型、对数 函数模型的实际背景，通过实例体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型的增长 含义，以及了解这些函数模型的广泛应用上，而不要过分地追求那些细枝末节（如求定义域、值域， 讨论复合函数的单调性、奇偶性等）。
1.5.3 突出指数与对数函数是现实世界中的重要数学模型，强调它们的实际背景和应用价值
把指数函数、对数函数等作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，要求结合实际问 题，感受运用函数概念建立模型的过程与方法，强调指数函数、对数函数、幂函数是三类不同的函 数增长模型，这是本章学习要求的重要变化。因此，要加强让学生通过具体实例了解指数函数、对 数函数模型实际背景的教学；要利用适当的事例，让学生体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增 长等不同函数类型的增长含义；另外，还可以要求学生通过收集现实生活中普遍使用的函数模型实 例，去了解这些函数模型的广泛应用。
1.5.4 引导学生体会数学知识结构的严谨性
本章中，指数幂概念及其运算性质的拓展内涵了数学研究中对数学知识发展的逻辑合理性、严 谨性的要求，教学中要引导学生认真体会。指数幂的运算性质，是在整数指数幂的基础上，先将整 数指数幂的运算性质推广到有理指数幂的运算性质；然后在有理指数幂逼近无理指数幂的思想指导 下，再将有理指数幂的运算性质推广到了实数范围。可以让学生利用计算器或计算机进行实际操作， 感受“逼近”过程。指数幂的运算性质的每一次推广，都需要考虑严谨性的要求。
1.5.5 充分发挥函数图象的几何直观作用，加强数形结合思想教学
数形结合、几何直观等数学思想方法是本章学习中的重要思想方法，它们对于理解本章的几个 基本初等函数的性质（例如增长模式）是十分重要的，同时信息技术又使得函数作图变得方便、快 捷，并且可以构建一种动态环境，为学生利用图象直观研究函数性质提供了有力工具。因此，本章 内容是学习数形结合、 几何直观等数学思想方法很好的数学载体.教学中应充分注意发挥函数图象的 作用，让学生自己作出函数图像，通过观察图象变化规律来研究函数的性质。
1.5.6 恰当使用信息技术
教科书虽然没有明确提示利用信息技术研究指数函数、对数函数和幂函数的图象与性质，但本 章中有许多内容适合使用信息技术，例如指数、对数值的计算；借助计算工具，比较指数函数、对 数函数与幂函数增长的差异；借助计算器或计算机画出具体的指数函数、对数函数的图象，探索并 理解它们的单调性与特殊点，等等。都体现了加强与信息技术整合的要求．因此，只要条件允许， 教学中就应当充分使用信息技术。
1.5.7 加强学科联系，体现学科综合优势
当前数学课程改革的思路之一是课程设置应注重学生对社会的适应性，并将培养学生创新精神 和实践能力摆到突出地位。 “数学的应用价值和思维价值正在相互交融。数学对少数人有用的时代已 经过去，它正在成为今日社会的一张‘通行证’。很明显，教材在这一单元内容的选择上非常注重 ” 贴近生活实际和和与其他学科间的沟通，如生物，物理、化学、考古、社会等大量的实际案例。这 是因为，综合能力的培养是建立在学科知识综合基础上进行的，是建立在与其他学科相关知识联系 的基础上进行的。因此，首先就要求教师有这种综合意识，并努力挖掘与本学科有关的其他学科的 知识，启发引导学生主动参与这种迁移学习活动，并加强“综合实践活动”课的力度。
4 函数应用
函数是高中数学的起始课程，函数的重要性主要表现在两个方面：一是函数思想的价值；二是 函数的应用价值.为了充分体现《普通高中数学课程标准》的精神，有效地落实《普通高中数学课程 标准》的目标，在北师大版高中数学教材中单独设立了“函数应用”一章.在本章里，将从两个方面 学习函数的应用，一是函数与其它数学内容的联系：再一个是函数与实际的联系.力图在理念、方法 和能力上为高中阶段的学习奠定基础.
1.1 课程标准要求
（1）函数与方程
① 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与 方程根的联系.
② 根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法.
（2）函数模型及其应用
① 利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、 指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.
② 收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等） 的实例，了解函数模型的广泛应用.
1.2 教学目标
函数是应用广泛的数学模型.它非常有用，主要表现在两个方面：一方面，在数学中，函数是基 本的研究对象，与其它研究对象有着密切联系；另一方面，在日常生活中，函数可有效地描述、刻 画、反映客观规律，一旦将客观现象用函数表示出来，就可以对现象给予分析和解释，明确现象的 规律和特征.通过本章的学习，将促进学生对函数的全面理解，加强应用数学的意识.
1.2.1 知识与技能
⑴结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方 程根的联系.
⑵根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解二分法是求方程 近似解的常用方法.
⑶能利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数间的增长差异；结合实例体会直线上 升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.
1.2.2 过程与方法
⑴在用函数的过程中进一步理解函数是刻画日常生活规律的重要模型，理解函数的概念、性质 和函数思想方法.
⑵在用数学解决问题的实践中，了解数学建模的意义，提高学生分析问题解决问题的能力，感 受数学应用的层次，发展应用意识，体验数学建模的过程与步骤.
1.2.3 情感、态度、价值观
⑴通过本章的学习，激发学习数学的兴趣和问题意识，在集中尝试用数学解决实际问题中，增 强解决问题的自信心.
⑵通过本章的学习，在用数学的眼光观察生活、社会与自然的过程中，更加热爱生活，使生活 更加有情趣.
1.3 知识结构与教学安排
1.3.1 知识结构
1.3.2 教学顺序与课时安排
§1 函数与方程
§1.1 利用函数性质判定方程解的存在 约 1 课时
§1.2 利用二分法求方程的近似解 约 1 课时
§2 实际问题的函数建模
§2.1 实际问题的函数刻画 约 1 课时
§2.2 用函数模型解决实际问题 约 1 课时
§2.3 函数建模案例 约 1 课时
复习小结约 约 1 课时
1.4 教学重点和难点
1.4.1 教学重点
（1）函数与方程的关系、函数与方程思想的渗透.
（2）二分法求方程的近似解.
（3）函数建模.
1.4.2 教学难点
（1）函数与方程的关系、函数与方程思想的渗透.
（2）函数建模.
.5 教学建议从两个方面展开数学应用，
1.5.1 从两个方面展开数学应用，突出用数学知识解决问题
●一是函数与其它数学知识的有机联系，在本章中集中研究的是从函数特征判定方程实数解的 存在性及求方程的近似解；二是函数与实际问题的联系，用函数解决实际问题。
●对学生来讲，函数与方程的关系容易接受，理解求方程实数解的问题就是求函数的零点问题 不会有太大的困难。但当遇到实际问题的时候，学生往往显得没有信心，甚至束手无策，在教学中， 先引导学生解决一些简单问题，再去面对需要数学建模全过程的实际问题。 适时渗透数学思想，
1.5.2 适时渗透数学思想，准确把握尺度
●在本章的第一节“函数与方程”的教学中，是渗透“函数与方程思想”“数形结合思想”的 、 最 好 机 会 。 方 程 f ( x ) = 0 的 解 ” “ 函 数 y = f ( x) 的 图 象 与 x 轴 交 点的 横 坐 标 ” “ 方程 “ ； f ( x) = g ( x) 的解” “函数 y = f ( x) 的图象与 y = g ( x) 的图象交点的横坐标” 。这正是“函数与方程思想”的本质，应作为这一部分内容教学的重点。
●同时，本章的教学还与以下四个词有联系：连续、近似、逼近、模型。它们是数学的四个基 本概念，也是重要的数学思想，但在高中阶段，只是在教学中适当渗透，不必去解词析义，而是通 过设计适当的教学环节使学生适当有所感受即可。
[参考文献]
[1]严士健，张奠宙.王尚志.《普通高中数学课程标准解读》.江苏教育出版社，2004 年 4 月第 1 版.
[2]严士健，王尚志.严士健，李延林.《数学 1》 （必修）.北京师范大学出版社，2003 年 3 月第 3 版.
[3] 严士健，李延林. 《数学 1》 （必修）教师教学用书. 北京师范大学出版社，2007 年 6 月第 4 版

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