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复合函数问题的解答方法
如果y是u的函数，记为y=f(u)，u又是x的函数，记为u=g(x)，且g(x)的值域与f(u)的定义域的交集非空，则称函数y=f(g(x))为y关于x的复合函数；其中u称为中间变量，函数y=f(u)称为外层函数，函数u=g(x)称为内层函数；复合函数的定义域由内层函数的值域来确定；复合函数的主要特征是外层函数的自变量又是一个函数。复合函数的问题主要包括：①复合函数解析式的求法；②复合函数函数值的求法；③复合函数单调性的判断（或证明）；④复合函数奇偶性的判断（或证明）等几种类型，各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答复合函数问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地予以解答呢？下面通过典型例题的解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列各题：
1、如果f()=，则当x0且x1时，f(x)=(
)
A
B
C
D
-1
【解析】
【知识点】①换元法的数学思想及运用；②换元法的基本方法；
【解题思路】设t=，x=，求出
f(t)的解析式，从而得到函数f(x)的解析式。
【详细解答】设t=，x=，
f(t)=
=
，
f(x)=
，B正确，
选B。
2、已知=，求f(x)；
【解析】
【知识点】①两项和完全平方公式及运用；②拼凑法的数学思想及运用；③拼凑法的基本法方法。
【解题思路】把看成整体未知数，将化成-2，就可得到函数f(x)的解析式。
【详细解答】==-2，
f(x)=
-2。
3、已知f(2x+1)=4+2x+1，求f(x)；
【解析】
【知识点】①两项和完全平方公式及运用；②拼凑法的数学思想及运用；③拼凑法的基本法方法。
【解题思路】由=4+4x+1可知，在原解析式中加上2x就能得到，为保证式子不变，同时还需要减去2x，
f(2x+1)=4+2x+1=-（2x+1）+1，从而得到函数f(x)的解析式。
【详细解答】
f(2x+1)=4+2x+1=-（2x+1）+1，
f(x)=
-x+1；
4、已知f(+1)=x+2，求f(x)
；
【解析】
【知识点】①两项和完全平方公式及运用；②拼凑法的数学思想及运用；③拼凑法的基本法方法。
【解题思路】由=x+2+1可知，在原解析式中加上1就能得到，为保证式子不变，同时还需要减去1，求出
f(+1)的解析式，从而得到函数f(x)的解析式。
【详细解答】
f(+1)=x+2=-1，
f(x)=
-1；
5、已知=
，求f(x)；
【解析】
【知识点】①换元法的数学思想及运用；②换元法的基本方法；
【解题思路】设t=，x=，求出
f(t)的解析式，从而得到函数f(x)的解析式；
【详细解答】设t=，x=，
f(t)=
=
=
，
f(x)=
。
6、已知f（，求f(x)；
【解析】
【知识点】①换元法的数学思想及运用；②换元法的基本方法；③对数的定义与性质。
【解题思路】设t=，x=lnt+1，求出
f(t)的解析式，从而得到函数f(x)的解析式。
【详细解答】设t=，x=lnt+1，
f(t)=2-1=2t+4lnt+1，
f(x)=2x+4lnx+1；
7、已知f()=+，求f(x)的解析式。
【解析】
【知识点】①换元法的数学思想及运用；②换元法的基本方法；
【解题思路】设t=，x=，求出f(t)=的解析式，从而得到函数f(x)的解析式。
【详细解答】设t=，x=，
f(t)=
+=1++t-1=-t+1，
f(x)=
-x+1。
『思考问题1』
（1）【典例1】是已知f〔g(x)〕关于x的解析式，求f(x)的解析式的问题，这类问题的共同特点是：①f(t)中的t又是一个函数g(x)，②f(t)的解析式是关于x的解析式；解答这种问题的基本方法有：①拼凑法；②换元法。
（2）拼凑法是把已知关于x的解析式通过拼或凑的方法，使之成为关于g(x)的式子的形式，再将g(x)看成整体未知数x，从而得到f(x)的解析式；
（3）换元法是把g(x)用一个整体未知数t去替换，同时将f〔g(x)〕表示成f(t)关于t的解析式，然后再将解析式中的t都换成x得到函数f(x)的解析式。
〔练习1〕解答下列问题：
1、已知f(1-x)=
-3x+2，求f(x)；
2、已知f(1-cosx)=
，求f(x)；
3、已知f()=，求f(x)；
4、若f()=，则f(x)等于（
）
A
(x-1)
B
(x0)
C
(x-1)
D
1+x(x-1)
5、已知f(+1)=lgx，则f(x)=
。
【典例2】解答下列各题：
1、已知f(x)=2x-1，
g(x)=
，（x≥0），
-1
，
(x＜0)。
①求f〔g(x)〕，
②求g〔f(x)〕；
【解析】
【知识点】①分段函数的定义与性质；②复合函数的定义与性质；③分段函数，复合函数求值的基本方法。
【解题思路】f〔g(x)〕，中的自变量是g(x)，g(x)又是一个分段函数，从而得到f〔g(x)〕也是一个分段函数，且自变量的分段与g(x)的分段一致，从而得到函数f〔g(x)〕的解析式；
g〔f(x)〕中的自变量是f(x)，由g(x)是分段函数，需先确定2x-1≥0和2x-1＜0中x的取值范围，从而得到函数
g〔f(x)〕的解析式；
【详细解答】
f(x)=2x-1，
g(x)=
，（x≥0），f〔g(x)〕=
2-1，（x≥0），
g〔f(x)〕=
，x≥，
-1
，
(x＜0)；
-3，
(x＜0)，
-1，
x＜。
2、已知f(x)=
ln(x+1)，（x＞-1），
g(x)=-x+2。
，（x-1），
1
求f〔g(x)〕，
②求g〔f(x)〕。
【解析】
【知识点】①分段函数的定义与性质；②复合函数的定义与性质；③分段函数，复合函数求值的基本方法；
【解题思路】f〔g(x)〕，中的自变量是g(x)，g(x)的函数值需满足-x+2＞-1或-x+2-1，从而得到f〔g(x)〕是一个分段函数，且自变量的分段为x＜3或x≥3，从而得到函数
f〔g(x)〕的解析式；g〔f(x)〕中的自变量是f(x)，由f(x)是分段函数，得到g〔f(x)〕也是一个分段函数，自变量的分段与f(x)的分段一致，从而得到函数
g〔f(x)〕的解析式；
【详细解答】
g(x)=-x+2，f(x)=
ln(x+1)，（x＞-1），f〔g(x)〕=
ln(-x+3)，（x＜3），
-ln(x+1)+2，（x＞-1），
，（x-1），
，（x≥3）；
g〔f(x)〕=-
+2，（x-1）；
『思考问题2』
（1）【典例2】是求复合函数解析式的问题，这类问题的特点是：①已知两个函数的解析式，其中一个函数是分段函数；②
求复合函数的解析式，涉及到确定自变量来选择适用的解析式的问题；
（2）【典例2】是求复合函数f(g(x))的解析式的问题，解答的基本思路是整体代入，由分段函数各段的定义域确定非分段函数中自变量x的取值范围，再选择适用的解析式，从而求出复合函数的解析式。
〔练习2〕解答下列问题：
1、已知f(x)=3x-6，
+x（x≥0）
g(x)=
1
(x＜0)
①求f〔g(x)〕，
②求g〔f(x)〕；
2、已知f(x)=
2x-1，g(x)=
-3x+2，求f〔g(x)〕。
【典例3】解答下列问题：
1、设函数f(x)=
+1，x1，则f(f(3))=（
）
A
，x＞1，B
3
C
D
【解析】
【知识点】①分段函数的定义与性质；②复合函数的定义与性质；③复合函数函数值的求法。
【解题思路】由3＞1，求出
f(3)的值，根据f(3)的值选择适用的解析式，求出f(f(3))的值就可得出选项。
【详细解答】3＞1，f(3)=，＜1，f()=+1=
，
f(f(3))=
f()=+1=，D正确，选D。
2、设函数f(x)=
3x-1，x＜1，则满足f(f(a))=
，的a的取值范围是（
）
，x≥1，
A
［，1］
B
［0，1］
C
［，+）
D
［1，+）
【解析】
【知识点】①分段函数的定义与性质；②复合函数的定义与性质；③复合函数函数值的求法；④指数的定义与性质；⑤分类讨论的原则与基本方法。
【解题思路】运用分段函数求值的基本方法，结合问题条件分别求出f(a)的值，根据f(a)的值选择适用的解析式求出f(f(a))关于a的解析式，从而求出满足f(f(a))=
时，a的取值范围得出选项。
【详细解答】①当a＜时，由f(a)=3a-1＜1，
f(f(a))=f(3a-1)=3(3a-1)-1=-9a-4
，②当
a＜1时，f(a)=3a-1≥1，
f(f(a))=f(3a-1)=
=，③当a≥1，由f(a)=
＞1，
f(f(a))=f()==，综上所述，当f(f(a))=
时，实数a的取值范围是［，+），C正确，选C；
3、已知函数f(x)=
f(x+1)
，x＜4，求f(2+3)的值；
，x≥4，
【解析】
【知识点】①分段函数的定义与性质；②复合函数的定义与性质；③对数的定义与性质；④复合函数函数值的求法；
【解题思路】由3＜2+3＜4，求出
f(2+3)=
f(2+3+1)=
f(3+3)，根据4＜3+3＜5，求出
f(3+3)的值，从而得到f(2+3)的值。
【详细解答】3＜2+3＜4，
f(2+3)=
f(2+3+1)=
f(3+3)，4＜3+3＜5，
f(3+3)=
===；
4、已知函数f(x)=
+1，x≥0，若f(x)=10，则x=
；
-2x，x＜0，
【解析】
【知识点】①分段函数的定义与性质；②复合函数的定义与性质；③复合函数函数值的求法；
【解题思路】由f(x)=10，分x≥0和
x＜0两种情况分别考虑去解答问题。
【详细解答】
f(x)=10，①若x≥0，+1=10，x=3；②若x＜0，-2x=10，x=-5，综上所述，当f(x)=10时，x=3或x=-5；
4、已知实数a0，函数f(x)=
2x+a，x＜1，若f(1-a)=f(1+a)，则实数a的值为
；
-x-2a，x≥1，
【解析】
【知识点】①分段函数的定义与性质；②复合函数的定义与性质；③复合函数函数值的求法；④方程的定义与解法；⑤分类讨论的原则与方法；
【解题思路】由a0，分0＜a和a＜0两种情况分别开来去解答问题。
【详细解答】
a0，①当a＞0时，1-a＜1,
f(1-a)=3(1-a)-1=-3a+2，1+a＞1，f(1+a)=-(1+a)-2a=-3a-1，f(1-a)=f(1+a)，-3a+2=-3a-1，2=-1不成立，②当a＜0时，1-a＞1，f(1-a)=-(1-a)-2a=-a-1，1+a＜1，f(1+a)=3(1+a)-1=3a+2，f(1-a)=f(1+a)，-a-1=3a+2，a=-
，综上所述，当f(1-a)=f(1+a)时，a=-
；
『思考问题3』
（1）【典例3】是复合函数的求值问题，解答这类问题需要理解复合函数的定义，注意复合函数的结构特征，掌握复合函数求值的基本方法；
（2）复合函数求值的基本方法是：①确定给定的自变量属于哪一段，在此基础上选定符合函数求值的解析式并求出内层函数g(x)的函数值；②把g(x)的函数值视为外层函数f(u)的自变量确定属于该段的解析式，并通过运算求出结果。
〔练习3〕解答下列各题：
1、已知f(x)=（1-2a）x+3a，x＜1，的值域为R，那么a的取值范围是（
）（2016唐山期末）
A（-，-1］
lnx，x≥1，B
（-1，）
C
［-1，）
D
（0，）
2、根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为f(x)=
，x＜A，
（A，c为常数），已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品
，x≥A，用时15分钟，那么c和A的值分别是（
）
A
71,25
，x＜1，
B
75,16
C
60,25
D
60，16
3、设函数f(x)=
，x≥1，则使得f(x)
2成立的x的取值范围是
。
【典例4】解答下列问题：
1、函数f(x)=
（-4）的单调递增区间是（
）
A
（0，+∞）
B
（-∞，0）
C
（2，+∞）
D
（-∞，-2）
【解析】
【知识点】①复合函数的定义与性质；②二次函数的定义与性质；③对数函数的定义与性质；④复合函数单调性的判断（或证明）的基本方法。
【解题思路】设g(x)=
-4，根据二次函数的图像与性质，确定函数f(x)的定义域，并判断函数g(x)在定义域上的单调性，把函数g(x)视为中间变量，判断f（g(x)）在定义域上的单调性，结合复合函数单调性的判断法则判断函数f(x)的单调性。
【详细解答】设g(x)=
-4，作出函数g(x)的图像
y
如图所示，由图知函数f(x)的定义域是（-，-2）
（2，+），函数g(x)在（-，-2）上单调递减，
在（2，+）上单调递增，0<<1，函数f（g(x)）
-2
-1
0
1
2
x
在（-，-2），（2，+）上单调递减，函数f(x)
在（-，-2）上单调递增，在（2，+）上单调递减，D正确，选D。
2、判断函数f(x)=
(2-3x)的单调性；
【解析】
【知识点】①复合函数的定义与性质；②一次函数的定义与性质；③对数函数的定义与性质；④复合函数单调性的判断（或证明）的基本方法。
【解题思路】设g(x)=
2-3x，根据一次函数的图像与性质，确定函数f(x)的定义域，并判断函数g(x)在定义域上的单调性，把函数g(x)视为中间变量，判断f（g(x)）在定义域上的单调性，结合复合函数单调性的判断法则判断函数f(x)的单调性。
y
【详细解答】设g(x)=
2-3x，作出函数g(x)的图像
如图所示，由图知函数f(x)的定义域是（-，），
函数g(x)在（-，）上单调递减，3>1，函数
0
f（g(x)）)在（-，）上单调递增，函数f(x)
在（-，）上单调递减，
3、判断函数f(x)=
|-x-12|的单调性；
【解析】
【知识点】①复合函数的定义与性质；②二次函数的定义与性质；③对数函数的定义与性质；④复合函数单调性的判断（或证明）的基本方法。
【解题思路】设g(x)=
|-x-12|，根据二次函数的图像与性质，确定函数f(x)的定义域，并判断函数g(x)在定义域上的单调性，把函数g(x)视为中间变量，判断f（g(x)）在定义域上的单调性，结合复合函数单调性的判断法则判断函数f(x)的单调性。
y
【详细解答】设g(x)=
|-x-12|，作出函数g(x)的图像
如图所示，由图知函数f(x)的定义域是（-，-3）
（-3，4）（4，+），函数g(x)在（-，-3），（，
-3
-2
-10
1
2
3
4
4）上单调递减，在（-3，），（4，+）上单调递增，0<0.5<1，函数f（g(x)）在（-，-3），（-3，），（，4），（4，+）上单调递减，函数f(x)
在（-，-3），（，4）上单调递增，在（-3，），（4，+）上单调递减。
4、求函数f(x)=
的单调区间。
【解析】
【知识点】①复合函数的定义与性质；②二次函数的定义与性质；③指数函数的定义与性质；④复合函数单调性的判断（或证明）的基本方法。
【解题思路】设g(x)=
-3x-4，根据二次函数的图像与性质，确定函数f(x)的定义域，并判断函数g(x)在定义域上的单调性，把函数g(x)视为中间变量，判断f（g(x)）在定义域上的单调性，结合复合函数单调性的判断法则判断函数f(x)的单调性。
【详细解答】设g(x)=
-3x-4，作出函数g(x)的图像
y
如图所示，由图知函数f(x)的定义域是R，函数g(x)
在（-，）上单调递减，在（，+）上单调递增，
e>1，函数f（g(x)）在（-，），（，+）上
-2-1
0
1
2
3
4
x
单调递增，函数f(x)
在（-，）上单调递减，在（，+）上单调递增。
5、是否存在实数a，使函数f(x)=
（a-x）在闭区间［2，4］上是增函数？如果存在说明a可以取哪些值；如果不存在，请说明理由。
【解析】
【知识点】①复合函数的定义与性质；②二次函数的定义与性质；③对数函数的定义与性质；④复合函数单调性的判断（或证明）的基本方法。
【解题思路】设g(x)=
a-x，根据二次函数的图像与性质，确定函数f(x)的定义域，并判断函数g(x)在定义域上的单调性，把函数g(x)视为中间变量，判断f（g(x)）在定义域上的单调性，结合复合函数单调性的判断法则判断函数f(x)的单调性。
【详细解答】设g(x)=
a-x，作出函数g(x)的图像
y
如图所示，由图知函数f(x)的定义域是（-，0）
（，+），函数g(x)在（-，0）上单调递减，
在（，+）上单调递增，①当0-1
0
x
f（g(x)）在（-，0），（，+）上单调递减，函数f(x)
在（-，0）上单调递增，在（，+）上单调递减与题设不符；②当a>1时，函数f（g(x)）在（-，0），（，+）上单调递增，函数f(x)
在（-，0）上单调递减，在（，+）上单调递增，
函数f(x)=
（a-x）在闭区间［2，4］上是增函数，<2，且a>1，
a>1，存在实数a（1，+），使函数f(x)=
（a-x）在闭区间［2，4］上是增函数。
『思考问题4』
（1）【典例4】复合函数单调性的判断（或证明）问题，这类问题的共同特点是：①将函数解析式中的某个式子视为一个整体未知数可以得到一个简单的函数；②简单函数的自变量又又是应该函数；
（2）复合函数单调性的判断（或证明）的法则是同增异减；
（3）复合函数单调性的判断（或证明）的法则中的“同”是指复合好的函数的内层函数与外层函数的单调性相同；“异”是指复合好的函数的内层函数与外层函数的单调性不同。
〔练习4〕解答下列问题：
1、判断函数f(x)=
的单调性；
2、判断函数f(x)=
(3-2x)的单调性；
3、判断函数f(x)=
|+2x-15|的单调性。
【典例5】解答下列问题：
1、函数f(x)=
(xR)与g(x)=lg|x-2|分别为
函数和
函数（填奇、偶、既奇又偶或非奇非偶）
【解析】
【知识点】①复合函数的定义与性质；②二次根式的定义与性质；③对数函数的定义与性质；④复合函数奇偶性的判断（或证明）的基本方法。
【解题思路】由>|x|知函数f(x)的定义域为R关于原点对称，判断函数f(-x)与f(x)的关系，从而可判断函数f（x）的奇偶性；设u(x)=
|x-2|，根据|x-2|>0得到函数g(x)的定义域为（-，2）（2，+）关于原点不对称，可以判断函数g(x)不具有奇偶性。
【详细解答】>|x|，x+>0在R上恒成立，函数f(x)的定义域为R关于原点对称，
f(-x)=
（-x+
）=（-x+）===-=-
f(x)，函数f(x)是奇函数；，根据|x-2|>0得到函数g(x)的定义域为（-，2）（2，+）关于原点不对称，函数g(x)不具有奇偶性。
2、已知函数f(x)=
(a＞0,且a≠1)。
（1）求函数f(x)的定义域；
（2）证明函数f(x)是奇函数；
（3）判断并证明函数f(x)在定义域上的单调性；
（4）求使f(x)＞0成立的x的取值范围。
【解析】
【知识点】①函数定义域的定义与求法；②复合函数的定义与性质；分式的定义与性质；③对数函数的定义与性质；④复合函数奇偶性的判断（或证明）的基本方法。
【解题思路】（1）由函数f(x)有意义的条件得到
>0，解这个不等式就可以得到函数f(x)的定义域；（2）由（1）可知函数f(x)的定义域为（-1，1）关于原点对称，只需证明f(-x)=-f(x)就可得到结论；（3）设g(x)=
运用定义法先判断函数g(x)在（-1，1）上的单调性，再根据复合函数单调性的判断法则得出结论（注意底数a的两种可能情况）；（4）根据底数a的两种可能情况分别进行解答，得出结果。
【详细解答】（1）函数f(x)有意义，必有
>0，-1=-=-f(x)，函数f(x)是奇函数；（3）设g(x)=
，任取，
（-1，1），且<，g（）-g（）=-=
=<0，g（）1时，函数f（g(x)）在（-1，1）上单调递增，函数f(x)在（-1，1）上单调递增；
（4）①当0f(x)＞0，0<<1，-11时，
f(x)＞0，>1，0f(x)＞0时，x的取值范围是（-1，0），当a>1时，
f(x)＞0时，x的取值范围是（0，1）。
『思考问题5』
（1）【典例5】是复合函数奇偶性判断（或证明）的问题，这类问题的共同特点是：①将函数解析式中的某个式子视为一个整体未知数可以得到一个简单的函数；②简单函数的自变量又是一个函数；
（2）复合函数奇偶性的判断（或证明）的基本方法是：①求出函数的定义域判断是否关于原点对称；②验证函数f(-x)与f(x)的关系；③得出结论。
〔练习4〕解答下列问题：
1、若函数f(x)=
(e是自然对数的底数)的最大值是m，且f(x)是偶函数，则m+u=
；
2、证明函数f(x)=
(a＞1)是奇函数。

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