资源简介

空间向量及线性运算知识精讲
重点
1. 了解空间向量与平面向量的联系与区别；了解向量及其运算由平面向空间推广的过程。
2. 了解空间向量、共线向量、共面向量等概念；理解空间向量共线、共面的充要条件；
3. 理解空间向量的线性运算及其性质。
难点
体会类比的数学方法
考试要求
考试
题型 选择题、填空题、解答题
难度 中等
核心知识点一：空间向量的有关概念
定义
在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量。
长度
向量的大小叫做向量的长度或模。
表示法
几何表示法
空间向量用有向线段表示。
字母表示法
用一个字母表示，如图，此向量的起点是A，终点是B，可记作false，也可记作false ，其模记为false。
几类特殊向量
①零向量：规定长度为0的向量叫做零向量，记为false。
②单位向量：模为1的向量称为单位向量。
③相反向量：与向量false长度相等而方向相反的向量称为false的相反向量，记为false。
④相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量。在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量。
注意：
1. 向量是既有大小又有方向的量，其中长度可以比较大小，而方向无法比较大小。一般来说，向量不能比较大小。
2. 零向量的方向是任意的，同平面向量中的规定一样，0与任何空间向量平行。
3. 单位向量的模都相等且为1，而模相等的向量未必是相等向量。
4. 空间向量是可以平移的，空间中的任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示，所以空间任意两个向量是共面的。
核心知识点二：空间向量的加减运算、数乘运算
1. 空间向量的加减运算
类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算（如图）：
false；false＝false－false。
2. 空间向量的数乘运算
（1）定义：实数λ与空间向量false的乘积false仍然是一个向量，称为向量的数乘运算。
（2）向量false与false的关系：
λ的范围
方向关系
模的关系
λ>0
方向相同
false的模是false的模的|λ|倍
λ＝0
false＝0，其方向是任意的
λ<0
方向相反
3. 运算律
（1）交换律：false；
（2）结合律：false
（3）数乘运算律： 设λ，μ是实数，则有
①分配律：false；
②结合律：false。
核心知识点三：共线向量与共面向量基本定理
共线（平行）向量
共面向量
定义
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量
平行于同一个平面的向量叫做共面向量
充要条件
对于空间任意两个向量false，false的充要条件是存在实数λ使false。
若两个向量false不共线，则向量false与false，false共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使false。
推论
如果l为经过点A平行于已知非零向量false的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使false，①其中false叫做直线l的方向向量，如图所示。若在l上取false，则①式可化为false。
如图，空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使false?，或对空间任意一点O来说，有
false。
注意：
1. λfalse是一个向量。当λ＝0或false＝0时，false＝0。
2. 平面向量的数乘运算的运算律推广到空间向量的数乘运算，结论仍然成立。
3. 共线向量的充要条件及其推论是证明共线（平行）问题的重要依据，条件false≠0不可遗漏。
4. 直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量。一条直线的方向向量有无限多个，它们的方向相同或相反。
5. 共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式，说明空间中任意一个平面都可以由一点及两个不共线的平面向量表示出来。另外，还可以用false＝xfalse＋yfalse＋zfalse，且x＋y＋z＝1判断P，A，B，C四点共面。
1. 主要内容：
（1）空间向量的基本概念
（2）空间向量的加减、数乘运算及它们的运算律
（3）共线向量基本定理
（4）共面向量基本定理
2. 数学思想：化归与转化思想
3. 数学方法：类比法
（答题时间：20分钟）
一、选择题
1. 给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量false，false满足|false|＝|false|，则false＝false；④若空间向量false满足false，false，则false；⑤空间中任意两个单位向量必相等。其中正确命题的个数为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
2. 下列命题中正确的个数是（ ）
①若false与false共线，false与false共线，则false与false共线。
②向量false，false，false共面，即它们所在的直线共面。
③若false∥false，则存在唯一的实数λ，使false＝λfalse。
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3. 已知向量false，false，false满足false，则（　　）
A.false B.false
C.false与false同向 D.false与false同向
4. 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量false、false、false是（　　）
A. 有相同起点的向量 B. 等长向量
C. 共面向量 D. 不共面向量
1. 答案：D
解析：零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错；
当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等，不一定起点相同、终点也相同，故②错；
根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量false与false的方向不一定相同，故③错；
命题④显然正确；
对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错。
2. 答案：A
解析：①当false＝0时，false与false不一定共线，故①错误；
②中false，false，false共面时，它们所在的直线平行于同一平面不一定在同一平面内，故②错误；
③当false为零向量，false不为零向量时，λ不存在。
3.答案：D
解析：由条件可知，C在线段AB上，故D正确。
4.答案：C
解析：根据题意易知，false＝false＝false-false，所以向量false、false、false是共面向量。

展开更多......

收起↑