资源简介

空间向量运算的坐标表示
重点
空间向量运算的坐标表示；能运用向量坐标表示解决平行、垂直问题及距离、夹角问题
难点
选择合适的空间直角坐标系以解决立体几何问题
考试要求
考试
题型 选择题、填空题、解答题
难度 中等
核心知识点一：空间向量的加减和数乘的坐标表示
设false，false。
（1）false；
（2）false；
（3）false（λ∈R）；
（4）若false，则false?false（λ∈R）?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3。
核心知识点二：空间向量数量积的坐标表示及夹角公式
若false，false，则
（1）false；
（2）false；
（3）false；
（4）false
核心知识点三：空间向量的坐标及两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设A（a1，b1，c1），B（a2，b2，c2）。
（1） false＝（a2－a1，b2－b1，c2－c1）；
（2）dAB＝|false|＝false。
注意：
1. 空间向量与平面向量的坐标运算的联系
类比平面向量的坐标运算，空间向量的坐标运算是平面向量坐标运算的推广，两者实质是一样的，只是表达形式不同而已，空间向量多了个竖坐标。
2. 长度公式、两点间距离公式、夹角公式都与坐标原点的选取无关。
类型一：空间向量的坐标运算
例题1　已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是（－1，2，1），（1，3，4），（0，－1，4），（2，－1，－2），设false＝false，false＝false。
求：（1）false；（2）false；（3）false；（4）cos〈false，false〉。
【解析】因为A（－1，2，1），B（1，3，4），C（0，－1，4），D（2，－1，－2），所以false＝false＝（2，1，3），false＝false＝（2，0，－6）。
（1）false＝（2，1，3）＋2（2，0，－6）＝（2，1，3）＋（4，0，－12）＝（6，1，－9）；
（2）false＝3（2，1，3）－（2，0，－6）＝（6，3，9）－（2，0，－6）＝（4，3，15）；
（3）false＝|false|2－|false|2＝（22＋12＋32）－（22＋02＋62）＝－26；
（4）false＝false
＝false。
总结提升：
（1）一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。
（2）空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再进行加法或减法运算，最后进行数量积运算；先算括号里，后算括号外。
（3）空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则基本一样，应注意一些计算公式的应用。
类型二：坐标形式下平行与垂直的应用
例题2　设false＝（1，5，－1），false＝（－2，3，5）。
（1）若false，求k；
（2）若false，求k。
【解析】法一：false＝（k－2，5k＋3，－k＋5）。
false＝（1＋3×2，5－3×3，－1－3×5）＝（7，－4，－16）。
（1）因为false，
所以false＝false＝false，解得k＝－false。
（2）因为false，所以（k－2）×7＋（5k＋3）×（－4）＋（－k＋5）×（－16）＝0，解得k＝false。
法二：（1）因为false，
所以false，即false。
因为false与false不共线，所以有false解得k＝－false。
（2）因为false，
所以（kfalse＋false）·（false－3false）＝0，
即k|false|2－（3k－1）false·false－3|false|2＝0。
而|false|2＝27，|false|2＝38，false·false＝8，
所以27k－8（3k－1）－114＝0，
解得k＝false。
总结提升：
（1）要熟练掌握两个向量平行和垂直的充要条件，借助空间向量可将立体几何中的平行、垂直问题转化为向量的坐标运算。
（2）在应用坐标形式下的平行条件时，一定要注意结论成立的前提条件。在条件不明确时，要分类讨论。
类型三：利用坐标运算解决夹角、距离问题
例题3　如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点。
（1）求BN的长；
（2）求A1B与B1C所成角的余弦值。
【解析】如图，以false，false，false为单位正交基底建立空间直角坐标系Cxyz。
（1）依题意得B（0，1，0），
N（1，0，1），
∴|false|＝false，
∴线段BN的长为false。
（2）依题意得A1（1，0，2），C（0，0，0），B1（0，1，2），
∴false＝（1，－1，2），false＝（0，1，2），
∴false·false＝1×0＋（－1）×1＋2×2＝3。
又|false|＝false，|false|＝false，
∴cos〈false，false〉＝false。
故A1B与B1C所成角的余弦值为false。
总结提升：在特殊的几何体中建立空间直角坐标系时，要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求。利用向量解决几何问题，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单。
1. 在解决已知向量夹角为锐角或钝角求参数的范围时，一定要注意两向量共线的情况。
2. 运用向量坐标运算解决几何问题的方法：
3. 若〈false，false〉＝α，两条异面直线AB，CD所成角为θ，则cos θ＝|cos α|。
（答题时间：30分钟）
一、选择题
1. 已知false＝（1，1，0），false＝（0，1，1），false＝（1，0，1），false，false，则false＝（　　）
A. －1　　　　　　　　　 B. 1
C. 0 D. －2
2. 已知点A（1，－2，11），B（4，2，3），C（6，－1，4），则△ABC的形状是（　　）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
3. 已知false＝（2，0，3），false＝（4，－2，1），false＝（－2，x，2），若（false－false）⊥false，则x等于（　　）
A. 4 B. －4
C. 2 D. －2
4. 已知A（1，0，0），B（0，－1，1），O（0，0，0），false＋λfalse与false的夹角为120°，则λ的值为（　　）
A. ±false B. false
C. －false D. ±false
二、填空题
5. 已知向量false＝（0，－1，1），false＝（4，1，0），|λfalse＋false|＝false，且λ>0，则λ＝________。
6. 已知3false－2false＝（－2，0，4），false＝（－2，1，2），false·false＝2，|false|＝4，则cos〈false，false〉＝________。
三、解答题
7. 已知A（1，2，3），B（2，1，2），P（1，1，2），点Q在直线OP上运动（O为坐标原点）。当false·false取最小值时，求点Q的坐标。
1. 答案：A
解析：∵false＝（1，0，－1），
false＝（0，3，1），
∴false＝1×0＋0×3＋1×（－1）＝－1。
2. 答案：C
解析：false＝（3，4，－8），false＝（5，1，－7），
false＝（2，－3，1），
∴|false|＝false，
|false|＝false，
|false|＝false，
∴|false|2＋|false|2＝75＋14＝89＝|false|2。
∴△ABC为直角三角形。
3. 答案：B
解析：∵false－false＝（－2，2，2），又（false－false）⊥false，
（false－false）·false＝0，即4＋2x＋4＝0，∴x＝－4。
4. 答案：C
解析：∵false＝（1，0，0），false＝（0，－1，1），
∴false＋false＝（1，－λ，λ），
∴（false＋λfalse）false＝λ＋λ＝2λ，
|false＋λfalse|＝false，
|false|＝false。
∴cos 120°＝false，∴λ2＝false。
又false<0，∴λ＝－false。
5. 答案：3
解析：false＝（0，－1，1），false＝（4，1，0），
∴λfalse＋false＝（4，1－λ，λ）。
∵|λfalse＋false|＝false，∴16＋（1－λ）2＋λ2＝29。
∴λ2－λ－6＝0。∴λ＝3或λ＝－2。
∵λ>0，∴λ＝3。
6. 答案：－false
解析：（3false－2false）·false＝（－2，0，4）·（－2，1，2）＝12，
即3false·false－2false·false＝12。
由false·false＝2，得false·false＝－3。
又∵|false|＝3，|false|＝4，
∴cos〈false，false〉false＝－false。
7. 解：false＝（1，1，2），因为点Q在直线OP上，所以false与false共线，
故可设false＝λfalse＝（λ，λ，2λ），其中λ为实数，
则Q（λ，λ，2λ），
所以false＝（1－λ，2－λ，3－2λ），
false＝（2－λ，1－λ，2－2λ），
所以false·false＝（1－λ）·（2－λ）＋（2－λ）·（1－λ）＋（3－2λ）·（2－2λ）
＝6λ2－16λ＋10＝6（λ－false）2－false。
所以当λ＝false时，false·false取最小值。
此时Q点坐标为（false，false，false）。

展开更多......

收起↑