资源简介

例析几种常见的直线系方程
重点
理解直线系方程的概念；会求解各种直线系方程
难点
直线系方程的应用
考试要求
考试
题型 选择题、填空题、解答题
难度 中等

核心知识点一：直线系方程形式
（1）与直线false平行的直线系方程为false（false为参数）。
（2）与直线false垂直的直线系方程为false（false为参数）。
（3）过已知点false的直线系方程为false （k为参数），不含直线false。
（4）过两直线false及false交点的直线系方程为
false（false，false是不全为零的实数）。
类型一：过定点直线系方程
例题1　直线kx－y＋1－3k＝0，当k变动时，所有直线都通过定点________。
【思路分析】直线化为点斜式，从而看出当斜率变化时，直线所过的点是始终不变的。
【解析】方程kx－y＋1－3k＝0可化为y－1＝k（x－3），故过定点（3，1）。
【总结提升】直线的点斜式方程
类型二：平行或垂直的直线系方程
例题2　求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点（1，2）的直线l的方程。
【思路分析】先设与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C1＝0（C1≠C），再由其他条件求C1。
【解析】依题意，设所求直线方程为3x＋4y＋C1＝0（C1≠1），因为直线过点（1，2），
所以3×1＋4×2＋C1＝0，解得C1＝－11。
因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0。
【总结提升】由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系，可以利用平行直线系方程的设法。

类型三：过交点的直线系方程
例题3 已知λ∈R，求证直线l：（2λ＋1）x＋（3λ＋1）y－7λ－3＝0恒过定点，并求出该定点坐标。
【思路分析】可把方程转化为两直线交点的直线系方程，求交点，然后根据条件求解所需要的方程。
【解析】将（2λ＋1）x＋（3λ＋1）y－7λ－3＝0化成（2x＋3y－7）λ＋（x＋y－3）＝0。
要使直线恒过定点，必需false解得false
即直线l恒过定点（2，1）。
【总结提升】直线Ax＋By＋C＝0恒过定点问题实际上是直线系方程问题。将问题转化为两直线的交点，即将Ax＋By＋C＝0化为（a1x＋b1y＋c1）λ＋（a2x＋b2y＋c2）＝0。 通过方程组false，即可求出直线恒过的定点。

常见易错问题剖析
若三条直线l1:4x+y+4=0,l2:mx+y+1=0,l3:x-y+1=0不能围成三角形，求m的取值。
【错解】当三条直线false中至少有两条平行时，三直线不能围成三角形。显然false与false不平行，只可能false或false。当false时，m=4；当false时，m=-1。（分类讨论不彻底）
【错因分析】错解讨论了当存在两条直线平行时，不能构成三角形，而忽略了三线共点时也满足“不能构成三角形”这一条件。此时，只需先求出两直线交点的坐标，同时满足第三条直线的方程即可。
【正解】同错解得当false或false时不能构成三角形，此时对应的m值分别为m=4,m=-1;当直线false经过同一点时，也不能构成三角形。
由false得false。代入false的方程得-m+1=0，即m=1。
综上可知m=4或-1或1。

1. 本节课我们学习过哪些知识内容?
①直线系方程求解中的设法问题，怎么使求解简单易行。
②各种形式的直线系方程
2. 你认为直线系方程应用的关键是什么？
运用直线系方程求解直线方程时一定要注意题目的条件，不要漏掉解也不要出现解的增加。


（答题时间：40分钟）
一、选择题
1. 直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为（　　）
A. 2x＋3y－12＝0 B. 2x－3y－12＝0
C. 2x－3y＋12＝0 D. 2x＋3y＋12＝0
2. 两条平行线l1，l2分别过点P（－1，2），Q（2，－3），它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间距离的取值范围是（　　）
A. （5，＋∞） B. （0，false]
C. （false，＋∞） D. （0，5]
3. 若点P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为false，则点P的坐标为（　　）
A. （1，2） B. （2，1）
C. （1，2）或（2，－1） D. （2，1）或（－1，2）
二、填空题
4. l1，l2是分别经过A（1，1），B（0，－1）两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________。
5. 直线系6x－4y+m=0中任一条直线与直线系2x+3y+n=0中的任一条直线的位置关系是_________。
6. 对任何实数k，直线（3＋k）x＋（1－2k）y＋1＋5k＝0恒过定点A，那么点A的坐标是________。
三、解答题
7. 求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程。
8. 正方形的中心为点C（－1，0），一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程。
**9. 已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P。
（1）点A（5，0）到直线l的距离为3，求直线l的方程；
（2）求点A（5，0）到直线l的距离的最大值。


1.【答案】D
【解析】由ax＋y＋3a－1＝0，可得a（x＋3）＋（y－1）＝0，令false可得x＝－3，y＝1，所以M（－3，1），M不在直线2x＋3y－6＝0上，设直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为2x＋3y＋c＝0（c≠－6），则false＝false，解得c＝12或c＝－6（舍去），所以所求方程为2x＋3y＋12＝0，故选D。
2.【答案】B
【解析】当直线PQ与平行线l1，l2垂直时，|PQ|为平行线l1，l2间的距离的最大值，为false＝false，所以l1，l2之间距离的取值范围是（0，false]。故选B。
3.【答案】C
【解析】设P（x，5－3x），则d＝false＝false，化简得|4x－6|＝2，即4x－6＝±2，解得x＝1或x＝2，故P（1，2）或（2，－1）。故选C。
4.【答案】x＋2y－3＝0
【解析】当两条平行直线与A，B两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大。又kAB＝false＝2，所以两条平行直线的斜率为k＝－false，所以直线l1的方程是y－1＝－false（x－1），即x＋2y－3＝0。
5.【答案】垂直
6.【答案】（－1，2）
【解析】k＝－3时，7y－14＝0，y＝2，k＝false时，falsex＋false＝0，∴x＝－1，∴A（－1，2）。
7. 解：法一：将直线l1，l2的方程联立，得false
解得false即直线l1，l2的交点为（－1，2）。
由题意得直线l3的斜率为false，又直线l⊥l3，所以直线l的斜率为－false，
则直线l的方程是y－2＝－false（x＋1），
即5x＋3y－1＝0。
法二：由于l⊥l3，所以可设直线l的方程是5x＋3y＋C＝0，将直线l1，l2的方程联立，得false解得false即直线l1，l2的交点为（－1，2），则点（－1，2）在直线l上，所以5×（－1）＋3×2＋C＝0，解得C＝－1，
所以直线l的方程为5x＋3y－1＝0。
法三：设直线l的方程为3x＋2y－1＋λ（5x＋2y＋1）＝0，
整理得（3＋5λ）x＋（2＋2λ）y＋（－1＋λ）＝0。
由于l⊥l3，所以3（3＋5λ）－5（2＋2λ）＝0，解得λ＝false，
所以直线l的方程为5x＋3y－1＝0。
8. 解：点C到直线x＋3y－5＝0的距离d＝false＝false。
设与x＋3y－5＝0平行的一边所在直线的方程是x＋3y＋m＝0（m≠－5），
则点C到直线x＋3y＋m＝0的距离
d＝false＝false，
解得m＝－5（舍去）或m＝7，
所以与x＋3y－5＝0平行的边所在直线的方程是x＋3y＋7＝0。
设与x＋3y－5＝0垂直的边所在直线的方程是3x－y＋n＝0，
则点C到直线3x－y＋n＝0的距离
d＝false＝false，
解得n＝－3或n＝9，
所以与x＋3y－5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0。
9. 解：（1）因为经过两已知直线交点的直线系方程为
（2x＋y－5）＋λ（x－2y）＝0，即（2＋λ）x＋（1－2λ）y－5＝0，
所以false＝3，解得λ＝false或λ＝2。
所以直线l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0。

（2）由false
解得交点P（2，1），如图，过P作任一直线l，设d为点A到直线l的距离，
则d≤|PA|（当l⊥PA时等号成立）。
所以dmax＝|PA|＝。

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