资源简介

两条直线平行与垂直的判定
重点
理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件；
能根据已知条件判断两直线的平行与垂直。
难点
能应用两条直线平行或垂直进行实际应用
考试要求
考试
题型 选择题、填空题、解答题
难度 中等

核心知识点一：两条直线平行的判定
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率都存在且分别为k1，k2，则有l1∥l2?k1＝k2；特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行。

核心知识点二：两条直线垂直的判定
如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2?k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直。

类型一：两直线平行与垂直的判定
例题1　已知下列命题：
（1）直线false经过点false，false，直线false平行于false轴，则false∥false；
（2）已知false，false，false，false，则直线false与false垂直；
（3）过点false，false的直线与过false，false的直线平行，则false；
（4）已知直线false的斜率为3，false过点false，false，且false⊥false，则false。
其中，正确命题的个数为（ ）。
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【思路分析】（1）（3）中都是与直线的平行概念有关，而（2）（4）是与直线的垂直有关，故借助条件确定直线的斜率，即可用斜率关系说明结论是否成立。
【解析】（1）直线false的斜率false，因为直线false平行于false轴，直线false的斜率false，所以false∥false或者直线false与false重合，错误；
（2）直线AB的斜率false，直线CD的斜率false，因为false，所以直线AB与CD垂直，正确；
（3）直线PQ的斜率false，直线AB与PQ平行，所以false，即false，所以false，正确；
（4）由题意得：直线ｌ１的斜率为3，即false，所以false，正确。
故选C。
【总结提升】
false
false或其中一条直线斜率为0，一条直线斜率不存在。
类型二：两直线位置关系的应用
例题2　已知false，false，false，若△ABC是直角三角形，则false的值为 。
【答案】－3或2或－2或1
【思路分析】因为△ABC是直角三角形，不知道哪一个角为直角，所以需要分三种情形进行讨论。
【解析】因为ΔABC为直角三角形，
当∠A＝90°时，BA⊥AC，因为false斜率不存在，所以false，
所以y＝－3；
当∠B＝90°时，AB⊥BC，因为false斜率不存在，所以false，所以y＝2；
当∠C＝90°时，BC⊥AC，所以false，即false，解得y＝－2或y＝1。
综上，y的值为－3或2或－2或1。
【总结提升】
当题目条件中不明确哪个角为直角时，要分三种情况讨论，注意结合图形，分析可能的所有情形，避免漏解情况。

常见易错问题剖析
已知A（-m-3，2），B（-2m-4，4），C（-m，m），D（3，3m+2），若直线AB⊥CD，则m的值为（ ）
A. 1 B. －1 C. 1或－1　　 D. 0或1
【错解】A
由已知得falsefalse。
因为AB⊥CD，所以false，解得false。（忽视直线AB的斜率不存在的情况）
【错因分析】两条直线垂直falsefalse的前提条件是false，false均存在且不为0，错解忽视了前提条件，对于这类问题的解决方式应分斜率存在和不存在两种情况讨论。
【正解】C
因为A，B两点纵坐标不等，所以AB与false轴不平行。
因为AB⊥CD，所以CD与false轴不垂直，故false。
当AB与false轴垂直时，false，解得false。而false时，C，D纵坐标均为－1，所以CD∥false轴，此时AB⊥CD，满足题意。
当AB与false轴不垂直时，由斜率公式得falsefalse。
因为AB⊥CD，所以false，解得m＝1。综上，ｍ的值为1或－1。选Ｃ。

1. 本节课我们学习过哪些知识内容?
false或false均不存在。
false或其中一条直线斜率为0，一条直线斜率不存在。
2. 你认为判断两直线平行或垂直的关键是什么？
利用斜率公式计算直线的斜率。
3. 用斜率判断两直线平行或垂直时注意些什么?
在应用斜率公式求直线的斜率时，不能忽视直线斜率不存在的情况。


（答题时间：40分钟）
一、选择题
1. 已知过点A（－2，m）和B（m，4）的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值为（ ）
A. －8 B. 0 C. 2 D. 10
2. 已知l1⊥l2，直线l1的倾斜角为45°，则直线l2的倾斜角为（ ）
A. 45° B. 135° C. －45° D. 120°
3. 已知A（m，3），B（2m，m＋4），C（m＋1，2），D（1，0），且直线AB与直线CD平行，则m的值为（ ）
A. 1 B. 0 C. 0或2 D. 0或1
4. 顺次连接A（－4，3），B（2，5），C（6，3），D（－3，0）所构成的图形是（ ）
A. 平行四边形 B. 直角梯形
C. 等腰梯形 D. 以上都不对
二、填空题
5. 直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1⊥l2，则b＝________；若l1∥l2，则b＝________。
6. 已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过点false，B（－2，－2），则直线l1，l2的位置关系是____________。
7. 已知△ABC的顶点B（2，1），C（－6，3），其垂心为H（－3，2），则其顶点A的坐标为________。
三、解答题
8. 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O（0，0）、P（1，t）、Q（1－2t，2＋t）、R（－2t，2），其中t>0。试判断四边形OPQR的形状。
9. 已知△ABC三个顶点坐标分别为A（－2，－4），B（6，6），C（0，6），求此三角形三边的高所在直线的斜率。
**10. 已知四边形ABCD的顶点A（m，n），B（5，－1），C（4，2），D（2，2），求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形。



1.【答案】A
【解析】由题意可知false，解得false。
2.【答案】B
【解析】依题意可知false，因为false，所以false，即false，所以直线false的倾斜角为135°。
3.【答案】D
【解析】当直线CD斜率不存在时，此时ｍ＝0，则A（0，3），B（0，4），
此时AB∥CD；
当直线CD斜率存在时，由题意可得false，即false，解得ｍ＝1，
综上，ｍ的值为0或1。
4.【答案】B
【解析】false，false，false，false，
所以false，
所以由四点A，B，C，D构成的图形是直角梯形。
5.【答案】2；false
【解析】依题意可知false，false，
若false，则false，解得若false；
若false，则false，则false，所以false，解得false。
6.【答案】平行或重合
【解析】false，false，所以false，所以false或false重合。
7.【答案】（－19，－62）
【解析】设顶点false，则false，
所以false
所以false，false，即
false，解得false，所以Ａ（－19，－62）。
8. 解：由斜率公式得
false，
所以false，
从而OP∥QR，OR∥PQ。
∴四边形OPQR为平行四边形。
又false，∴OP⊥OR，
故四边形OPQR为矩形。
9. 解：由斜率公式可得false
由kBC＝0知直线BC∥x轴，
∴BC边上的高线与x轴垂直，其斜率不存在。
设AB、AC边上高线的斜率分别为k1、k2，由k1·kAB＝－1，k2·kAC＝－1，
则false。
∴BC边上的高所在直线的斜率不存在；
AB边上的高所在直线的斜率为false；
AC边上的高所在直线的斜率为false。
10. 解 ∵四边形ABCD是直角梯形，
∴有2种情形：
（1）AB∥CD，AB⊥AD，
由图可知：A（2，－1）。
（2）AD∥BC，AD⊥AB，
false，即false，解得false（舍）
综上false。

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