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巧用向量法处理平行、垂直问题
重点
1. 理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量。
2. 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系。
3. 能用向量方法证明一些简单的空间线面的平行和垂直关系。
难点
法向量的求法
考试要求
考试
题型 选择题、填空题、解答题
难度 中等
核心知识点一：直线的方向向量和平面的法向量
1. 直线的方向向量
直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的向量。
2. 平面的法向量
直线l⊥α，取直线l的方向向量false，则false叫做平面α的法向量。
核心知识点二：空间中平行关系和垂直关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为false，false，平面α，β的法向量分别为false，则
线线平行　l∥m?false?false，k∈R；
线面平行　l∥α?false?false＝0；
面面平行　α∥β?false?false（k∈R）。
线线垂直　l⊥m?false?false＝0；
线面垂直　l⊥α?false?false，k∈R；
面面垂直　α⊥β?false?false＝0。
注意：
1. 直线的方向向量不是唯一的，可以分为方向相同和相反两类。解题时，可以选取坐标最简的方向向量。
2. 一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可以根据需要进行选取，一个平面的所有法向量共线。
3. 因为直线的方向向量与平面的法向量可以确定直线和平面的位置，所以可以利用直线的方向向量和平面的法向量来表示空间直线、平面间的平行、垂直等位置关系。
4. 用向量法证明线线、线面、面面之间的垂直关系，主要是找出直线的方向向量、平面的法向量之间的关系，因此求直线的方向向量及平面的法向量是解题关键。
类型一：用空间向量证明平行问题
例题1　如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点。求证：平面AMN∥平面EFDB。
【解析】如图，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系。
设正方体棱长为a，
则A（a，0，0），A1（a，0，a），
D1（0，0，a），B1（a，a，a），
B（a，a，0），C1（0，a，a）。
∴N（false，0，a），M（a，false，a），E（false，a，a），F（0，false，a），
∴false＝（－false，0，a），false＝（false，false，0），
false＝（a，a，0），false＝（0，false，a）。
设平面AMN与平面EFDB的法向量分别为
false＝（x1，y1，z1）和false＝（x2，y2，z2），
则false
∴false
∴y1＝－x1＝－2z1。取z1＝1，
∴平面AMN的一个法向量为false＝（2，－2，1）。
同理由false可得x2＝－y2，y2＝－2z2。
令z2＝1，
∴平面EFDB的一个法向量为false＝（2，－2，1）。
∵false＝false，∴false∥false，
∴平面AMN∥平面EFDB。
总结提升：证明面面平行问题可由以下方法去证明：
①转化为相应的线线平行或线面平行；②分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行。本题采用的是方法②，解题过程虽复杂，但思路清晰，是证明平面平行的常用方法。
类型二：用空间向量证明垂直问题
例题2 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点。
求证：EF⊥平面B1AC。
【解析】法一：设false，false，false，
则falsefalse
falsefalse
∵false，
∴falsefalsefalse
false。
∴false⊥false，即EF⊥AB1。同理，EF⊥B1C。
又AB1∩B1C＝B1，∴EF⊥平面B1AC。
法二：设正方体的棱长为2，以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（2，0，0），C（0，2，0），B1（2，2，2），E（2，2，1），F（1，1，2）。
∴false＝（1，1，2）－（2，2，1）＝（－1，－1，1），
false＝（2，2，2）－（2，0，0）＝（0，2，2），
false＝（0，2，0）－（2，0，0）＝（－2，2，0）。
∴false·false＝（－1，－1，1）·（0，2，2）＝（－1）×0＋（－1）×2＋1×2＝0，
false·false＝（－1，－1，1）·（－2，2，0）＝2－2＋0＝0，
∴false⊥false，false⊥false，
∴EF⊥AB1，EF⊥AC。
又AB1∩AC＝A，
∴EF⊥平面B1AC。
法三：同法二得false＝（0，2，2），false＝（－2，2，0），false＝（－1，－1，1）。
设平面B1AC的法向量false＝（x，y，z），
则false·false＝0，false·false＝0，
即false。取x＝1，则y＝1，z＝－1，∴false＝（1，1，－1），
∴false＝－false，
∴false∥false，
∴EF⊥平面B1AC。
总结提升：法一选基底，将相关向量用基底表示出来，然后利用向量的计算来证明。法二、法三建立空间直角坐标系，利用坐标将向量的运算转化为实数（坐标）的运算，以达到证明的目的。
1. 利用向量法证明平行问题
（1）建立恰当的坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键。
（2）证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可。这样就把几何的证明问题转化为向量运算。
2. 利用向量法证明垂直问题
（1）利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算。其中灵活建系是解题的关键。
（2）用向量法证明垂直的方法
a. 线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零。
b. 线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示。
c. 面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示。
（答题时间：40分钟）
一、选择题
1. 已知平面内的两个向量false＝（2，3，1），false＝（5，6，4），则该平面的一个法向量为（　　）
A. （1，－1，1）　　　　　　　 B. （2，－1，1）
C. （－2，1，1） D. （－1，1，－1）
2. 设直线l1的方向向量为false＝（2，1，－2），直线l2的方向向量为false＝（2，2，m），若l1⊥l2，则m＝（ ）
A. 1 B. －2
C. －3 D. 3
3. 如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等。给出下列结论：
①A1M∥D1P；
②A1M∥B1Q；
③A1M∥平面DCC1D1；
④A1M∥平面D1PQB1。
这四个结论中正确的个数为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题
4. 已知直线l的方向向量为false＝（2，0，－1），平面α的一个法向量为false＝（－2，1，－4），则l与α的位置关系为________。
5. 在空间直角坐标系Oxyz中，已知点P（2cos x＋1，2cos x，0）和点Q（cos x，－1，3），其中x∈[0，π]。若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________。
6. 已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，且有false＝（2，－1，－4），false＝（4，2，0），false＝（－1，2，－1）。给出结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③false是平面ABCD的法向量；④false∥false。其中正确的是________。
三、解答题
7. 如图，在正方体AC1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点。设Q是CC1上的点。当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?
8. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD。
1. 答案：C
解析：显然false与false不平行，设平面的法向量为false＝（x，y，z），
则有false?false
令z＝1，得x＝－2，y＝1。
∴false（－2，1，1）。
2. 答案：D
解析：l1⊥l2?false⊥false，
∴2×2＋1×2＋（－2）×m＝0，∴m＝3。
3. 答案：C
解析：∵false＝false＋false＝false＋falsefalse，
false＝false＋false＝false＋falsefalse，
∴false∥false，从而A1M∥D1P，可得①③④正确。
又B1Q与D1P不平行，故②不正确。
4. 答案：l∥α或l?α
解析：∵false＝（2，0，－1）·（－2，1，－4）＝－4＋0＋4＝0，
∴false，∴l∥α或l?α。
5. 答案：false或false
解析：由题意得false⊥false。
∴cos x·（2cos x＋1）－2cos x＝0。
∴2cos2x－cos x＝0。∴cos x＝0或cos x＝false。
又x∈[0，π]，∴x＝false或x＝false。
6. 答案：①②③
解析：由false·false＝－2－2＋4＝0，知AP⊥AB，故①正确；
由false·false＝－4＋4＋0＝0，知AP⊥AD，故②正确；
由①②知false是平面ABCD的法向量，故③正确，
false，显然④不正确。
7. 解：建立如图所示的坐标系，设正方体棱长为2，
则O（1，1，0），A（2，0，0），P（0，0，1），B（2，2，0），D1（0，0，2）。
再设Q（0，2，c），
∴false＝（1，－1，0），
false＝（－1，－1，1），
false＝（－2，0，c），
false＝（－2，－2，2）。
设平面PAO的法向量为
false＝（x，y，z），
则false?false
令x＝1，则y＝1，z＝2。
∴平面PAO的一个法向量为false＝（1，1，2）。
若平面D1BQ∥平面PAO，那么n1也是平面D1BQ的一个法向量。
∴false·false＝0，即－2＋2c＝0，∴c＝1，
这时false·false＝－2－2＋4＝0，
故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO。
8. 证明：如图，取D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系。
设正方体棱长为2，
则O（1，1，0），A1（2，0，2），G（0，2，1），
B（2，2，0），D（0，0，0），
∴false＝（1，－1，2），false＝（1，1，0），false＝（－2，0，1）。
而false·false＝1－1＋0＝0，
false·false＝－2＋0＋2＝0，
∴false⊥false，false⊥false，即OA1⊥OB，OA1⊥BG。
而OB∩BG＝B，
∴OA1⊥平面GBD。

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