资源简介

巧用向量法求空间角
重点
1. 能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角；
2. 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。
难点
向量法在立体几何中求空间的夹角的应用
考试要求
考试
题型 选择题、填空题、解答题
难度 中等
1. 空间角及向量求法
角的分类
向量求法
范围
异面直线所成的角
设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量为false，则cos θ＝|cos〈false〉|false
false
直线与平面所成的角
设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为false，平面α的法向量为false，则sin θ＝|cos〈false，false〉|false
false
二面角
设二面角α－l－β的平面角为θ，平面α、β的法向量为false，false，则
|cos θ|＝|cos〈false，false〉|false
[0，π]
类型一：求异面直线所成角
例题1 如图，在三棱锥V－ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x，y，z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝θ。当θ＝false时，求异面直线AC与VD所成角的余弦值。
【解析】AC＝BC＝2，D是AB的中点，所以C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），D（1，1，0）。
当θ＝false时，在Rt△VCD中，CD＝false，故V（0，0，false。
所以false＝（－2，0，0），false＝（1，1，false）。
所以cos〈false ，false 〉＝false
所以异面直线AC与VD所成角的余弦值为false。
总结提升：利用空间向量求两条异面直线所成的角，可以避免复杂的几何作图和论证过程，只需通过相应的向量运算即可，但应注意：用向量法求两条异面直线所成的角是通过两条直线的方向向量的夹角来求解的，而两条异面直线所成角θ的取值范围是（0，false]，两向量的夹角α的取值范围是[0，π]，所以cos θ＝|cos α|。
类型二：求线面角
例题2 正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为false，求AC1与侧面ABB1A1所成的角。
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，a，0），A1（0，0，falsea），C1（－falsea，false，falsea）。
法一：取A1B1的中点M，则M（0，false，falsea）。连结AM，MC1，有false＝（－falsea，0，0），false＝（0，a，0），false＝（0，0，falsea）。
∴false·false＝0，false·false＝0，
∴false⊥false，false⊥false，
即MC1⊥AB，MC1⊥AA1。
又AB∩AA1＝A，
∴MC1⊥平面ABB1A1。
∴∠C1AM是AC1与侧面A1ABB1所成的角。
因为false＝（－falsea，false，falsea），false＝（0，false，falsea），
∴false·false＝0＋false＋2a2＝false，
|false|＝falsea，
|false|＝false＝falsea，
∴cos〈false，false〉＝false＝false。
∴〈false，false〉＝30°，
即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°。
法二：false＝（0，a，0），false＝（0，0，falsea），
false＝（－falsea，false，falsea）。
设侧面ABB1A1的法向量false＝（λ，x，y），
∴false·false＝0且false·false＝0。
∴ax＝0且falseay＝0。
∴x＝y＝0。故false＝（λ，0，0）。
∵false＝（－falsea，false，falsea），
∴cos〈false，false〉＝false
∴|cos〈false，false〉|＝false。
∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°。
总结提升：求直线与平面的夹角的方法与步骤
思路一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角（或夹角的某一三角函数值）。
思路二：用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或法向量。利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤：
（1）建立空间直角坐标系；
（2）求直线的方向向量false；
（3）求平面的法向量false；
（4）计算：设线面角为θ，则sinθ＝|cos|
类型三：求二面角
例题3　PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝false。求二面角A－PB－C的余弦值。
【解析】法一：如图，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（false，1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），
∴false＝（0，0，1），false＝（false，1，0）。
设平面PAB的法向量为false＝（x1，y1，z1），由false
得false
令x1＝1，则false＝（1，－false，0）。
false＝（0，－1，1），false＝（false，0，0）。
设平面PBC的法向量为false＝（x2，y2，z2），
由false，得false
令z2＝1，则false＝（0，1，1）。
∴cos〈false，false〉＝false＝false＝－false。
∵所求二面角为锐角，
∴二面角A－PB－C的余弦值为false。
法二：如图所示，取PB的中点D，连结CD。
∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥AC。
∴PC＝false＝false。
∵PC＝BC＝false，∴CD⊥PB。
作AE⊥PB于E，
那么二面角A－PB－C平面角的大小就等于false与false的夹角θ。
∵PA⊥平面ABC，BC⊥AC，∴PC⊥BC。
∴PB＝false＝2。
∴PD＝1，PE＝false＝false。
∴DE＝PD－PE＝false。
又∵AE＝false＝false，CD＝1，AC＝1，
false＝false＋false＋false，
且false⊥false，false⊥false，
∴|false|2＝|false|2＋|false|2＋|false|2＋2|false|·|false|·cos（π－θ），
即1＝false＋false＋1－2·false·1·cos θ，解得cos θ＝false，
故二面角A－PB－C的余弦值为false。
总结提升：利用向量法求二面角通常有以下两种方法：
（1）若AB，CD分别是两个平面α，β内与棱l垂直的异面直线，则两个平面的夹角的大小就是向量false与false的夹角，如图①。

（2）设false，false分别是平面α，β的法向量，则向量false与false的夹角（或其补角）就是两个平面夹角的大小，如图②。
此方法的解题步骤如下：
①建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系；
②求法向量：在建立的坐标系下求两个平面的法向量false，false；
③计算：求false与false所成锐角θ，false；
④定值：若二面角为锐角，则为角 θ；若二面角为钝角，则为π-θ
1. 两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角。
2. 直线的方向向量为false，平面的法向量为false，直线与平面所成角为θ，则sin θ＝|cos〈false，false〉|，不要漏了绝对值符号。
3. 利用两平面的法向量false求出cos〈false〉后，要根据图形判断二面角是锐角还是钝角。
（答题时间：40分钟）
一、选择题
1. 若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于（　　）
A. 120°　　　　　　　　　　 B. 60°
C. 30° D. 60°或30°
2. 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，DD1＝3，则AC与BD1所成角的余弦值为（　　）
A. 0 B. false
C. －false D. false
3. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为（　　）
A. －false B. false
C. －false D. false

二、填空题
4. 平面α的法向量为（1，0，－1），平面β的法向量为（0，－1，1），则平面α与平面β所成二面角的大小为________。
5. 已知在棱长为a的正方体ABCD?A′B′C′D′中，E是BC的中点。则直线A′C与DE所成角的余弦值为________。

三、解答题
6.

如图所示，已知点P在正方体ABCD?A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°。
（1）求DP与CC′所成角的大小；
（2）求DP与平面AA′D′D所成角的大小。
1. 答案：C
解析：由题意得直线l与平面α的法向量所在直线的夹角为60°，∴直线l与平面α所成的角为90°－60°＝30°。
2. 答案：A
解析：

建立如图坐标系，则D1（0，0，3），B（2，2，0），A（2，0，0），
C（0，2，0），
∴false＝（－2，－2，3），
false＝（－2，2，0）。
∴cos〈false，false〉＝false＝0。
∴〈false，false〉＝90°，其余弦值为0。
3. 答案：B
解析：

建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D（0，0，0），B（2，2，0），B1（2，2，2），E（0，2，1）。
∴false＝（－2，－2，0），false＝（0，0，2），false＝（－2，0，1）。
设平面B1BD的法向量为false＝（x，y，z）。
∵false⊥false，false⊥false，
∴false∴false
令y＝1，则false＝（－1，1，0）。
∴cos〈false，false〉＝false＝false，设直线BE与平面B1BD所成角为θ，则
sin θ＝|cos〈false，false〉|＝false。
4. 答案：4false
解析：false＝（4，5，3），点P到平面α的距离为false＝false＝false＝4false。
5. 答案：false或false
解析：设false＝（1，0，－1），false＝（0，－1，1），
则cos θ＝±|cos〈false，false〉|＝±|false|＝±false。
∴θ＝false或false。
6. 答案：false
解析：

如图所示建立空间直角坐标系，则A′（0，0，a），C（a，a，0），D（0，a，0），Efalse，false＝（a，a，－a），false＝false，∴false
10. 解：

如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为1，
则false＝（1，0，0），false＝（0，0，1），连接BD、B′D′。
在平面BB′D′D中，延长DP交B′D′于H。
设false＝（m，m，1）（m>0），由已知〈false，false〉＝60°，
又由false·false＝|false||false|cos〈false，false〉，可得2m＝false，解得m＝false。所以false＝（false，false，1）。
（1）因为cos〈false，false〉＝false＝false，
所以〈false，false〉＝45°，即DP与CC′所成的角为45°。
（2）平面AA′D′D的一个法向量是false＝（0，1，0）。
因为cos〈false，false〉＝false＝false。
所以〈false，false〉＝60°，
可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°。

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