资源简介

巧用向量法求空间距离
重点
点到平面距离的求法
难点
理解各种距离之间的转化思路
考试要求
考试
题型 选择题、填空题、解答题
难度 中等
核心知识点：点到平面距离的向量求法
如图点P为平面外一点，点A为平面内的任一点，平面的法向量为false，过点P作平面的垂线PO，记PA和平面所成的角为，则点P到平面的距离
false
说明：（1）运用向量法求解空间距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对应的向量，然后计算这个向量的模。
（2）对空间中的两种距离的认识
a. 面面距。与两平行平面同时垂直的直线叫做两个平面的公垂线。公垂线夹在两平行平面之间的部分叫两个平面的公垂线段。两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两平行平面之间的距离。
b. 空间中两条异面直线的距离、直线到平面的距离、两个平面的距离都可转化为点面距。
类型一：求空间的两点间距离
例题1 已知AB，BC，CD为两两垂直的三条线段，且它们的长都为2，则AD的长为（ ）
A. 4 B. 2 C. 3 D. false
【答案】D
【解析】方法一：建立如图所示的坐标系，据题意知，A（2，0，0），D（0，2，2），
false
方法二：false
falsefalse
方法三：如图所示，把AB，BC，CD看成为一个正方体的三条棱，由勾股定理得：
false
总结提升：求空间两点间距离的方法
类型二：求空间点到直线距离
例题2 三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥AC，且AS=AB=AC=2，D是SA的中点，则点D到BC的距离为____________。
【答案】false
【解析】如图所示，建立空间直角坐标系Axyz，则D（0，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），false
∴false在false上的投影长为false
故D到BC的距离为 false
总结提升：
1. 点到直线距离的求法
如图，PB⊥l，垂足为B，则PB的长度即为P到l的距离，在不易确定垂足B的情况下，可在l上另取一点A，则AB为false在false上的投影，故false
在Rt△PAB中，有false即P到l的距离d=false
2. 因此求点P到直线l的距离可分以下几步完成：
（1）在直线l上取一点A，同时确定直线l的方向向量false，并求false
（2）计算直线上点A与已知点P对应的向量false
（3）计算false在false的投影
（4）由公式false 求距离。
类型三：求空间点、直线、平面到平面距离
例题3 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求下列问题：
（1）求B1到面A1BE的距离；
（2）求D1C到面A1BE的距离；
（3）求面A1DB与面D1CB1的距离.
【解析】（1）如图所示建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0），
A1（1，0，1），D1（0，0，1），C1（0，1，1），B1（1，1，1），false。
false，设false为面A1BE的法向量，则
false即false即false取x=1，得平面A1BE的一个法向量false。
falsefalse
false。
（2）∵D1C∥面A1BE，∴ D1到面A1BE的距离即为D1C到面A1BE的距离，
仿上法求得D1到平面A1BE的距离false。
（3）∵面D1CB1∥面A1BD，∴ D1到面A1BD的距离即为面D1CB1到面A1BD的距离。
易得平面A1BD的一法向量false，且false。D1到平面A1BD的距离
false。
总结提升：点到平面的距离的三种求法
（1）定义法：这是常规方法，首先过点向平面作垂线，确定垂足的位置，然后将该线段放到一个直角三角形中，最后通过解三角形求得点到平面的距离。
（2）等体积法：把点到平面的距离视为一个三棱锥的高，利用三棱锥转化底面求体积，从而求得点到平面的距离。
（3）向量法：这是我们常用的方法，利用向量法求点到平面的距离的一般步骤为：①求出该平面的一个法向量；②找到从该点出发到平面的任意一条斜线段所对应的向量；③求出法向量与斜线段所对应的向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求得点到平面的距离。
1. 利用法向量来解决立体几何题目，最大的优点就是不用像在进行几何推理时那样去确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决问题。但是也有局限性，用代数推理解立体几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系，把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这种方法解题的立体几何模型一般都是如：正（长）方体、直棱柱、正棱锥等。
2. 防范措施：（1）提高运算能力
应用向量法解题，计算结果的正确性至关重要，在向量的运算，法向量的求解过程中，运算的快捷准确是解题的关键。
（2）转化思想的应用
在求空间的各种距离时，要有转化的意识，求解的过程往往就是转化的过程，如本例中利用向量法求点面距等均体现了转化的思想。
（答题时间：30分钟）
一、选择题
1. 已知false 则点A与G之间的距离为（ ）
A. false B. false C. false D. false
2. 已知A（1，0，0），B（1，-2，3），C（-1，2，1），则点A到直线BC的距离为（ ）
A. false B. false C. false D. false
3. 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BC的中点，则点C1到平面B1EF的距离是（ ）
A. false B. false C. false D. false

二、填空题
4. 已知直三棱柱的各棱长都是2，且AB⊥AC，则点A1到直线BC1的距离为______。
5. 空间四边形ABCD的各顶点坐标分别是A（0，1，3），B（2，0，2），C（1，-1，2），D（-1，3，1），E，F分别是AB与CD的中点，则EF的长为______。
三、解答题
6. 四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F，E分别为AD，PC的中点。
（1）证明：DE∥平面PFB；
（2）求点E到平面PFB的距离。
1. 答案：A
解析：false
false
2. 答案：B
解析：据条件知false
false在向量false方向上的投影为false
∴点A到直线BC的距离为false
3. 答案：D
解析：设所求距离为h。
因为falsefalse
在△B1EF中，EF边上的高为false
false
而E到平面B1C1F的距离EB=1。
false
4. 答案：false
解析：建系如图，则B（2，0，0），A1（0，0，2），C1（0，2，2）
false
false上的投影为false
∴点A1到直线false的距离为false

5. 答案：false
解析：易知false故false
6. 解：（1）以D为原点，建立如图所示的坐标系，则P（0，0，2），F（1，0，0），B（2，2，0），E（0，1，1）。
false＝（－1，0，2），
false＝（1，2，0），false＝（0，1，1），
∴false＝falsefalse＋falsefalse，
∴false∥平面PFB。
又∵D?平面PFB，∴DE∥平面PFB。
（2）∵DE∥平面PFB，∴点E到平面PFB的距离等于点D到平面PFB的距离。
设平面PFB的一个法向量false＝（x，y，z），
则false
令x＝2，得y＝－1，z＝1。
∴false＝（2，－1，1），false＝（－1，0，0），
∴点D到平面PFB的距离false，
∴点E到平面PFB的距离为false。

展开更多......

收起↑