资源简介

直线的方程
——点斜式与斜截式
重点
直线的点斜式方程，斜截式方程的推导与求解
难点
直线的点斜式方程，斜截式方程的求解运算
考试要求
考试
题型 选择 填空 解答
难度 中等

核心知识点一：直线的点斜式方程
1. 方程形式：y-y1 =k（ x-x1），其中false为直线上一点坐标，k为直线斜率。
2. 推导过程：若直线false经过点false，且斜率为k，求l方程。
设点false是直线false上任意一点，
根据经过两点的直线的斜率公式，得
false，可化为false。
当x = x1时也满足上述方程。
所以，直线l方程是false。
3. 方程特殊说明：
①这个方程是由直线上一点和斜率确定的；
②当直线l的倾斜角为0°时，直线方程为false；
③当直线倾斜角为90°时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示。这时直线方程为：false。
核心知识点二：直线的斜截式方程
1. 方程形式：y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距。
2. 推导过程：此推导可以通过点斜式方程，当点P取y轴上的点时，可以得到直线的斜截式方程。
3. 方程特殊说明：
①b为直线l在y轴上截距；
②斜截式方程可由过点（0，b）的点斜式方程得到；
③当false时，斜截式方程就是一次函数的表示形式。

类型一：直线的点斜式方程
例题1 写出下列直线的方程
（1）经过点（2，5），倾斜角为45°；
（2）经过点C（-1，-1），且与x轴平行；
（3）经过点D（1，1），且与x轴垂直。
（4）直线y=x+1绕着其上一点P（3，4）逆时针旋转90°后得到直线false，求直线false的点斜式方程；
【思路分析】根据直线的点斜式方程，求出直线的斜率，代入公式即可。
【解析】（1）因为倾斜角为45°，
所以斜率k＝tan 45°＝1，
所以直线的方程为y－5＝x－2；
（2）由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0，
所以直线的点斜式方程为y－（－1）＝0，即y＝－1。
（3）由题意可知直线的斜率不存在，
所以直线的方程为x＝1，该直线没有点斜式方程。
（4）直线y＝x＋1的斜率k＝1，所以倾斜角为45°。
由题意知，直线l的倾斜角为135°，
所以直线l的斜率k′＝tan 135°＝－1。
又点P（3，4）在直线l上，由点斜式方程知，
直线l的方程为y－4＝－（x－3）。
【总结提升】
求直线点斜式方程的步骤
类型二：直线的斜截式方程
例题2 根据条件写出下列直线的斜截式方程。
（1）斜率为2，在y轴上的截距是5；
（2）倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
（3）倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3。
【思路分析】根据直线的斜截式，写出直线的斜率及纵截距，然后代入公式求解。
【解析】（1）由直线方程的斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x＋5。
（2）∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan 150°＝false。
由斜截式可得方程为y＝falsex－2。
（3）∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan 60°＝false，
∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，
∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3。
∴所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3。
【总结提升】
1. 斜截式方程y＝kx＋b的特点——左端y的系数恒为1，右端x的系数k和常数项b均有明显的几何意义：k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距。
2. 已知直线的斜率和与y轴交点的坐标时，常用斜截式写出直线的方程，较直线方程的点斜式更为方便。
常见易错问题剖析
设直线l经过定点（1，2），且直线l的倾斜角是直线false倾斜角的一半，则直线l的方程为____________。
【错解】设直线l的倾斜角为false，则直线3x+4y-5=0的倾斜角为false，所以false，解得false或false，则直线l的方程为false或false，即false或false。
【错因分析】本题常见的错解就是忽视直线倾斜角的范围而忘记对多种结果的取舍。上述解答注意到了倾斜角间的倍角关系，却忽视了false的取值范围对false取值范围的约束，造成多解。
【正解】因为false，所以false，则false，所以false。
则所求得的false不合题意，舍去。
所以直线l的方程为false，即false。
【总结提升】处理这类问题要注意倾斜角与斜率的对应关系：当斜率大于等于零时，倾斜角的范围是false；当斜率小于零时，倾斜角的范围是false；当斜率不存在时，倾斜角是false。

1. 直线的点斜式方程：false
2. 直线的斜截式方程：false

（答题时间：40分钟）
一、选择题
1. 经过点（－1，2），倾斜角是30°的直线的方程是（ ）
A. y＋2＝false（x－2） B. y＋2＝（x－1）
C. y－2＝false（x＋1） D. y－2＝（x＋1）
2. 已知直线l：y＝kx＋b经过第二、三、四象限，试判断k和b的符号（ ）
A. k>0，b<0 B. k<0，b<0 C. k<0，b>0 D. k>0，b>0
3. 已知点M是直线l：2x-y-4=0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是（ ）
A. x+y-3=0 B. x-3y-2=0
C. 3x-y+6=0 D. 3x+y-6=0
二、填空题
4. 过点P（1，1）平行于x轴的直线方程为________，垂直于x轴的直线方程为________。
5. 直线false绕点（2，0）按顺时针方向旋转30°所得的直线方程是____________。
*6. 等边△OAB，A（4，0），B在第四象限，则边AB所在的直线方程为_____________。
三、解答题
*7. 已知直线l经过点P（4，1），且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线l的点斜式方程。

1.【答案】C
【解析】直线的斜率k=tan30°=false，由直线的点斜式方程可得y－2＝false（x＋1），故选C。
2.【答案】B
【解析】如下图所示

因为直线l与x轴的正方向的夹角是钝角，与y轴交点位于y轴的负半轴上，所以k<0，b<0。
3.【答案】D
【解析】直线l：2x-y-4=0与x轴的交点为M（2，0）。设直线l的倾斜角为α，
则tan α=2，∴tan（α+45°）=false=-3，
∴把直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是y-0=-3（x-2），
即3x+y-6=0，故选D。
4.【答案】y＝1； x＝1
5.【答案】x－2＝0
【解析】直线false的倾斜角为120°，绕点（2，0）按顺时针方向旋转30°后，倾斜角为120°－30°＝90°，则所得直线方程是x＝2，即x－2＝0。
6.【答案】false
【解析】由题可知AB的倾斜角为60°，斜率为false，∴AB的方程为y－0＝false（x－4），即
false
7.【解析】设所求直线的点斜式方程为：y－1＝k（x－4）（k<0），
当x＝0时，y＝1－4k；当y＝0时，false，
由题意，得false
解得false。所以直线l的点斜式方程为false。

展开更多......

收起↑