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直线的方程——两点式、截距式与一般式
重点
1. 直线的两点式、截距式方程的形式特点和适用范围；
2. 会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距。
难点
直线的两点式、截距式方程的使用范围，具体应用
考试要求
考试
题型 选择 填空 解答
难度 中等

核心知识点一：直线的两点式方程
1. 方程形式：其中（是直线两点的坐标。
2. 方程特殊说明：
①这个方程由直线上两点确定；
②当直线没有斜率（）或斜率为时，不能用两点式求出它的方程。

核心知识点二：直线的截距式方程
1. 方程形式：，其中a，b分别为直线在x轴和y轴上截距。
2. 方程特殊说明：
①这一直线方程由直线在x轴和y轴上的截距确定，所以叫做直线方程的截距式；
②求直线在坐标轴上的截距的方法：
令x = 0得直线在y轴上的截距；令y= 0得直线在x轴上的截距。

核心知识点三：直线的一般式方程
方程的形式：
①直线的方程都是关于x，y的二元一次方程；
②关于x，y的二元一次方程都表示一条直线。
因此，关于x，y的二元一次方程是直线的方程，我们把方程Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）叫做直线的一般式方程。
类型一：直线的两点式方程
例题1 已知三角形的顶点是A（－2，－1），B（－1，5），C（3，－3），求BC边上中线所在直线的方程。
【思路分析】求出BC边的中点，根据中点坐标及点A坐标，利用两点式写出所求中线的方程。
【解析】设线段BC的中点为D（x，y），则false即D（1，1）。
由两点式得AD所在直线的方程为false＝false，整理可得2x－3y＋1＝0。
此即为BC边上的中线所在直线的方程。
【总结提升】
已知两点，求过这两点的直线方程的步骤：
（1）设已知的两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），看是否满足x1≠x2，y1≠y2，若满足转入②，否则不能写出两点式方程；
（2）代入两点式方程公式：false＝false，即得所求直线方程。
注意：两点式方程与两点的顺序无关。
类型二：直线的截距式方程
例题2 求过点（4，－3）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程。
【思路分析】思路一，设直线方程的截距式，根据题目条件|a|=|b|，求解a，b的值，注意a=b=0的情况；思路二，设直线方程的点斜式，求出该直线与坐标值交点的坐标，再根据题意列方程，求解参数k的值。
【解析】设直线l在x轴，y轴上的截距分别为a，b。
①当a≠0，b≠0时，设l的方程为false＝1。
∵点（4，－3）在直线上，∴false＋false＝1，
若a＝b，则a＝b＝1，直线方程为x＋y＝1。
若a＝－b，则a＝7，b＝－7，
此时直线的方程为x－y＝7。
②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点（4，－3），
∴直线的方程为3x＋4y＝0。
综上所述，所求直线方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0。
【总结提升】用截距式求直线方程的步骤：
（1）由已知条件确定横、纵截距；
（2）若两截距为零，则直线过原点，直接写出方程即可；若两截距不为零，则代入公式false＝1中，可得所求的直线方程。
注意：a为横截距，b为纵截距，一定要明确截距式方程的结构形式。

类型三：直线的一般式方程
例题3 直线Ax＋By＋C＝0经过第一、二、三象限，则（　　）
A. AB>0 B. AB<0
C. AB＝0 D. A与B的符号不确定
【思路分析】根据题目条件画出草图，结合图形，判定直线的斜率k>0，纵截距b>0，再将所给直线的方程化为斜截式，列不等式组判断A，B之间的关系。
【解析】由题意，知直线的倾斜角为锐角，则k＝－false>0，则AB<0。
【总结提升】直线的方程化为一般式方程，一般式方程化为斜截式方程和截距式方程 ，只要形式允许，直线的方程之间可以相互转换。

常见易错问题剖析
设直线l的方程为（a＋1）x＋y＋2－a＝0（a∈R）。
（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
（2）是否存在实数a，使直线l不经过第二象限？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由。
【错解】（1）令x=0，解得y=a－2；令y=0，解得false，依题意可知
false，解得a=0，所以直线l的方程为x＋y＋2＝0。
（2）方程（a＋1）x＋y＋2－a＝0可化为y= －（a＋1）x＋a－2＝0，
则由题意可知：false，解得a≤－1。
【错因分析】（1）在解方程中忽视a=2的情形；（2）忽视直线经过原点的情形。
【正解】（1）当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，即截距相等，
∴a＝2时满足条件，此时l的方程为3x＋y＝0；
当a＝－1时，直线平行于x轴，在x轴无截距，不合题意；
当a≠－1，且a≠2时，由false＝a－2，
即a＋1＝1，即a＝0。
此时直线在x轴，y轴上的截距都为－2，l的方程为x＋y＋2＝0。
综上，直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0时，l在两坐标轴上的截距相等。
（2）假设存在实数a，使直线l不经过第二象限。将l的方程化为y＝－（a＋1）x＋a－2，
则有false解得a≤－1。
【总结提升】解答此类综合问题，常采用分类讨论（或数形结合）的思想求解。解题时应结合具体问题选好切入点，以防增（漏）解。

直线方程的几种形式
名称
已知条件
方程
适用范围
点斜式
点false和斜率k
false
斜率存在，即适用于与x轴不垂直的直线
斜截式
斜率k和直线在y轴上的纵截距b
false

两点式
点false和
点false
false
斜率存在且不为0，即适用于与两坐标轴均不垂直的直线
截距式
直线在x轴上的截距a和直线在y轴上的截距b
false
斜率存在且不为0，直线不过原点，即适用于不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式

Ax+By+C=0（A，B不同时为0）


（答题时间：40分钟）
一、选择题
1. 过两点（－2，1）和（1，4）的直线方程为（　　）
A. y＝－x＋3　　 　　 B. y＝x－3
C. y＝x＋3 D. y＝－x－3
2. 设A，B是x轴上的不同两点，点P的横坐标为2，|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为false，则直线PB的方程是（　　）
A. x＋y－5＝0 B. 2x－y－1＝0
C. 2y－x－4＝0 D. 2x＋y－7＝0
3. 已知a，b满足a＋2b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0必过定点（　　）
A. false B. false
C. false D. false
4. 已知两直线的方程分别为l1：x＋ay＋b＝0，l2：x＋cy＋d＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则（　　）

A. b>0，d<0，a0，d<0，a>c
C. b<0，d>0，a>c D. b<0，d>0，a二、填空题
5. 经过P（4，0），Q（0，－3）两点的直线方程是________。
6. 已知ab<0，bc<0，则直线ax＋by＝c通过第________象限。
7. 已知直线的一般式方程为2x＋y－4＝0，且点（0，a）在直线上，则a＝__________。

三、解答题
8. 已知一个等腰三角形，两腰长是5，底边长是8，建立适当坐标系，求两腰所在的直线的方程。




1.【答案】C
【解析】代入两点式得直线方程false＝false，整理得y＝x＋3，故选C。
2.【答案】A
【解析】直线PA与x轴的交点为（－1，0），则由题意可知PB与x轴的交点为（5，0），且PB与PA的倾斜角互补，
又kPA＝1，∴kPB＝－1，
∴直线PB的方程为y＝－（x－5），
即x＋y－5＝0，故选A。
3.【答案】D
【解析】∵a＋2b＝1，b＝false，∴ax＋3y＋false＝0，
即afalse＋3y＋false＝0，
∴false∴x＝false，y＝－false。
故直线必过定点false，故选D。
4.【答案】C
【解析】由图可知直线l1和l2的斜率都大于0，即k1＝－false>0，k2＝－false>0，且k1>k2，
即－false>－false，∴a<0，c<0且a>c。
又l1的纵截距－false<0，l2的纵截距－false>0，∴b<0，d>0。 故选C。
5.【答案】false－false＝1
【解析】因为由两点坐标知直线在x轴，y轴上截距分别为4，－3，
所以直线方程为false＋false＝1。
6.【答案】一、三、四　
【解析】由ax＋by＝c，得y＝－falsex＋false，∵ab<0，∴直线的斜率k＝－false>0，直线在y轴上的截距false<0。由此可知直线通过第一、三、四象限。
7.【答案】4
【解析】把点（0，a）的坐标代入方程2x＋y－4＝0，得a－4＝0，所以a＝4。
8.【解析】如图，以底边BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，易知点B，C的坐标分别为（－4，0），（4，0）。
在Rt△AOC中，AC＝5，OC＝4，则OA＝3。所以点A的坐标为（0，3）。
由直线的截距式方程得腰AB所在的直线方程为：false＋false＝1，即3x－4y＋12＝0；腰AC所在的直线方程为false＋false＝1，即3x＋4y－12＝0。

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