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直线的交点坐标与距离公式
重点
求两条直线的交点坐标，各种距离的求解
难点
距离的求解过程中直线的斜率问题的讨论
考试要求
考试
题型 选择题、填空题、解答题
难度 中等

核心知识点一：两直线的交点
设l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，则两条直线的交点坐标就是方程组
false的解。
（1）若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；
（2）若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行，反之，亦成立。
核心知识点二：三种距离
（1）点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离|P1P2|=false
（2）点P0（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离d=false
（3）两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离false。
类型一：直线的交点坐标
例题1　求经过两条直线l1：x+y－4=0和l2：x－y+2=0的交点，且与直线2x－y－1=0垂直的直线方程为________。
【思路分析】先求解直线的交点，然后根据条件求解直线的方程。
【解析】由false 得false
所以l1与l2的交点坐标为（1，3）。
设与直线2x－y－1=0垂直的直线方程为x+2y+c=0，则1+2×3+c=0，所以c=－7。
所以所求直线方程为x+2y－7=0。
【总结提升】求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其它条件写出直线方程。
类型二：与直线有关的距离
例题2 已知点P（4，a）到直线4x－3y－1=0的距离不大于3，则a的取值范围是________。
【思路分析】由点P到直线4x－3y－1=0的距离想到点到直线的距离公式解题。
【解析】由题意得，点P到直线4x－3y－1=0的距离为false。
又false，即|15－3a|≤15，解之得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0，10]。
【总结提升】求解此类问题的关键就是直线方程形式的鉴别与化归，特殊形式可以特殊处理，但一般情况下，直线方程总是化为一般式。

例题3　若两条平行直线l1：x－2y+m=0（m>0）与l2：2x+ny－6=0之间的距离是5，则m+n=（　　）
A. 0 B. 1 C. －2 D. －1
【思路分析】首先利用两条直线的平行关系求出n的值，然后再利用两条平行线间的距离求得m的值。
【解析】由两条直线平行得false，解得n=－4，则l2：x－2y－3=0。由两平行线间的距离公式有false，解得m=2或m=－8（不合题意，舍去），所以m+n=－2，故选C。
【总结提升】（1）利用“化归”思想将两平行直线的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离。
（2）直接用公式false，但要注意两直线方程中x，y的系数必须对应相等。

常见易错问题剖析
直线l过点P（－1，2）且到点A（2，3）和点B（－4，5）的距离相等，则直线l的方程为________。
【错解】答案：x+3y－5=0
设直线l的方程为y－2=k（x+1），即kx－y+k+2=0。
由题意知false=false，即|3k－1|=|－3k－3|，所以k=－false，
所以直线l的方程为y－2=－false（x+1），即x+3y－5=0。
【错因分析】到两点的距离相等的直线，在求解的过程中直接利用距离公式，从而默认了直线斜率的存在，没有考虑直线的斜率不存在的情况，从而出现漏解的情况。
【正解】答案：x+3y－5=0或x=－1
方法1：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2=k（x+1），即kx－y+k+2=0。
由题意知false=false，即|3k－1|=|－3k－3|，所以k=－false，
所以直线l的方程为y－2=－false（x+1），即x+3y－5=0。
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=－1，也符合题意。
故所求直线l的方程为x+3y－5=0或x=－1。
方法2：当AB∥l时，有k=kAB=－false，
直线l的方程为y－2=－false（x+1），即x+3y－5=0。
当l过AB中点时，AB的中点为（－1，4），
所以直线l的方程为x=－1。
故所求直线l的方程为x+3y－5=0或x=－1。


1. 两直线相交的判定方法：
（1）两直线方程组成的方程组只有一组解，则两直线相交；
（2）在两直线斜率都存在的情况下，若斜率不相等，则两直线相交。
2. 两点间距离公式的特殊情况：
①原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离|OP|＝false。
②当P1P2与x轴平行时，y1＝y2，
从而|P1P2|＝|x2－x1|；当P1P2与y轴平行时，x1＝x2，
从而|P1P2|＝|y2－y1|。
3. 应用点到直线的距离公式应注意的问题
（1）直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式。例如求P（x0，y0）到直线y＝kx＋b的距离， 应先把直线方程化为kx－y＋b＝0，得d＝false。
（2）点P在直线l上时，点到直线的距离为零，公式仍然适用，故应用公式时不必判定点P与直线l的位置关系。
（3）直线方程Ax＋By＋C＝0中A＝0或B＝0时，公式也成立，也可以用下列方法求点到直线的距离：
①P（x0，y0）到x＝a的距离d＝|a－x0|；
②P（x0，y0）到y＝b的距离d＝|b－y0|。
4. 对两平行直线间的距离公式的理解
（1）求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以利用公式。
（2）利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等。
（3）当两直线都与x轴（或y轴）垂直时，可利用数形结合来解决。
①两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|；
②两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|。


（答题时间：40分钟）
一、选择题
1. 已知点M（0，－1），点N在直线x－y+1=0上，若直线MN垂直于直线x+2y－3=0， 则点N的坐标是（　　）
A. （－2，－1）　 　 B. （2，3）　 C. （2，1）　 D. （－2，1）
2. 直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是（　　）
A. （4，1）　　　　　　　　 B. （1，4）
C. false D. false
3. 已知点A（3，－1），B（5，－2），点P在直线x＋y＝0上，若使|PA|＋|PB|取最小值，则P点坐标是（　　）
A. （1，－1） B. （－1，1）
C. false D. （－2，2）

二、填空题
4. 在直线x－y＋4＝0上求一点P，使它到点M（－2，－4），N（4，6）的距离相等，则点P的坐标为 。
5. 若两平行直线3x－2y－1=0，6x+ay+c=0之间的距离为false，则c的值是________。
6. 若直线l：y＝kx－false与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是 。
三、解答题
7. 已知两条直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试分别确定m，n的值，满足下列条件：
（1）l1与l2相交于一点P（m，1）；
（2）l1∥l2且l1过点（3，－1）；
（3）l1⊥l2且l1在y轴上的截距为－1。
**8. 已知△ABC的一个顶点A（2，－4），且∠B，∠C的角平分线所在直线的方程依次是x＋y－2＝0，x－3y－6＝0，求△ABC的三边所在直线的方程。



1.【答案】B
【解析】因为点N在直线x－y+1=0上，所以可设点N坐标为（x0，x0+1）。
根据经过两点的直线的斜率公式，得kMN=false=false。
因为直线MN垂直于直线x+2y－3=0，直线x+2y－3=0的斜率k=－false，
所以kMN×false=－1，即false=2，解得x0=2。因此点N的坐标是（2，3），故选B。
2.【答案】C
【解析】由方程组false得false即直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是false。故选C。
3.【答案】C
【解析】点A（3，－1）关于直线x＋y＝0的对称点为A′（1，－3），直线A′B的方程为y＝falsex－false，与x＋y＝0联立方程组解得false所以点Pfalse。故选C。
4.【答案】false
【解析】设P点的坐标是（a，a＋4），
由题意可知|PM|＝|PN|，
即false＝false，
解得a＝－false，故P点的坐标是false。
5.【答案】2或－6
【解析】直线6x+ay+c=0可化为3x－2y+false=0，又两平行线之间的距离为false，所以false=false，解得c=2或－6。
6.【答案】false
【解析】解法一：由题意知直线l过定点P（0，－false），
直线2x＋3y－6＝0与x，y轴的交点分别为A（3，0），B（0，2），
如图所示，要使两直线的交点在第一象限，

则直线l在直线AP与BP之间，
而kAP＝false＝false，∴k>false。
解法二：解方程组false得
由题意知x＝false>0且y＝false>0。
由false>0可得3k＋2>0，即false，
∴6k－2false>0，解得k>false。
综上，k的取值范围为false。
7. 解：（1）把P（m，1）的坐标分别代入l1，l2的方程得m2＋8＋n＝0，2m＋m－1＝0，
解得m＝false，n＝－false。
（2）显然m≠0。 ∵l1∥l2且l1过点（3，－1），
∴false解得false或false
（3）由l1⊥l2且l1在y轴上的截距为－1。 当m＝0时，l1的方程为8y＋n＝0，l2的方程为2x－1＝0。 ∴－8＋n＝0，解得n＝8。 ∴m＝0，n＝8。
而m≠0时，直线l1与l2不垂直。
综上可知，m＝0，n＝8。
8. 解：如图，BE，CF分别为∠ABC，∠ACB的角平分线，由角平分线的性质，知点A关于直线BE，CF的对称点A′，A″均在直线BC上。

∵直线BE的方程为x＋y－2＝0，
∴A′（6，0）。
∵直线CF的方程为x－3y－6＝0，∴A″false。
∴直线A′A″的方程是y＝false（x－6），
即x＋7y－6＝0，这也是BC所在直线的方程。
由false得Bfalse，
由false得C（6，0），
∴AB所在直线的方程是7x＋y－10＝0，AC所在直线方程是x－y－6＝0。

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