资源简介

直线的倾斜角与斜率
重点
直线的倾斜角和斜率的求法
难点
斜率公式的应用
考试要求
考试
题型 选择 填空
难度 简单

核心知识点一：坐标法
建立直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，通过代数运算解决问题，这种解决问题的方法称为坐标法。
平面直角坐标系中的基本公式：
1. 平面两点间距离公式；
2. 中点坐标公式。

核心知识点二：直线的倾斜角与斜率
1. 直线的倾斜角
（1）定义：在平面直角坐标系中，当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫作直线l的倾斜角。当直l和x轴平行或重合时，直线l的倾斜角为0°。
（2）范围：倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°。
2. 直线的斜率
（1）定义：一条直线的倾斜角α（α≠90°）的正切值叫作这条直线的斜率，
该直线的斜率k= tan α。
（2）过两点的直线的斜率公式：过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）的直线的斜率公式为false。
若x1=x2，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°。

类型一：直线的倾斜角与斜率
例题1 直线的斜率为k，倾斜角为false，
（1）若false，求k的取值范围；
（2）若-1【思路分析】根据正切函数单调性，结合正切函数图象，判断斜率k和倾斜角的取值范围。
【解析】（1）当false时，false；
当false时，false，
所以斜率k的取值范围为false。
（2）直线的斜率k的变化范围false，
当false时，false；
当false时，false；
所以直线的倾斜角范围为false。
例题2 在平面直角坐标系中，已知A（2，2），B（-2，3-1），若过点P（-1，-1）的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是　　　　　　　　。
【答案】false
【思路分析】设直线OA倾斜角为false，直线OB的倾斜角为false，则直线l与线段AB有公共点时，即直线的倾斜角范围为false，根据正切函数图象，则斜率范围为false，结合斜率概念即可得到k的取值范围。
【解析】如图所示，由图知false，false，所以直线l的斜率的取值范围是false。

【总结提升】
直线的倾斜角只有一个，知道直线的倾斜角和直线上一点可以确定直线的位置，如果直线存在斜率，也可以说知道直线的斜率和直线上一点可以确定直线的位置。求倾斜角的取值范围的一般步骤：①求出斜率k=tan α的取值范围，但需注意斜率不存在的情况；②利用正切函数的单调性，借助图像或单位圆，数形结合确定倾斜角α的取值范围。

常见易错问题剖析
已知经过两点false的直线false的倾斜角为135°，则false的值为_________。
【错解】false或false
由题意知false，即false，
解得false或false。所以false的值为false或false。（忽视斜率公式的应用条件）
【错因分析】错解中忽略了斜率公式false中的条件false。本题中直线的倾斜角为135°，说明直线的斜率一定存在，即false。错解忽视了这一点，并且解答完后没有检验m的值，致使出现多解。
【正解】false
由斜率坐标公式false知，当false时，公式成立。
因此，当false，即false时，即false，且false时，有
false，即false。
解得false或false。
由false，所以false。
1. 直线的倾斜角定义及其范围：false
2. 直线的斜率定义：false
3. 斜率k与倾斜角false之间的关系：
false
false
falsefalse不存在
false
4. 斜率公式：false


（答题时间：40分钟）
一、选择题
1. 直线y=x的倾斜角α为（　　）
A. 135° B. 60° C. 45° D. 30°
2. 经过false，false两点的直线的倾斜角（ ）
A. 45° B. 135° C. 90° D. 60°
3. 已知直线l过点（0，0）和（3，1），则直线l的斜率为（　　）
A. 3 B. false C. false D. -3
二、填空题
4. 已知一直线经过两点A（1，-2），B（a，3），且倾斜角为45°，则a的值为　　　　。
5. 已知直线false的倾斜角为false，则false关于x轴对称的直线false的倾斜角false为____________________。
6. 若ab<0，则过点false与false的直线PQ的倾斜角α的取值范围是________。
*7. 一条光线从A（3，2）发出，到x轴上的M点后，经x轴反射通过点B（-1，6），则反射光线所在直线的斜率为　　　　。
*8. 直线l过点P（1，0），且与以A（2，1），B（0，false）为端点的线段总有公共点，则直线l的斜率的取值范围是　　　　　。


1.【答案】C
【解析】直线y=x的斜率k=1，故tan α=1，所以α=45°，故选C。
2.【答案】B
【解析】因为false，所以false。
3.【答案】B
由斜率公式可得，直线l的斜率false，故选B。
4.【答案】6
【解析】由题意可得kAB=tan 45°false，即a-1=5，∴a=6。
5.【答案】false
6.【答案】90°<α<180°
【解析】false，∵ab<0∴kPQ<0。
∴α为钝角，即90°<α<180°。
7.【答案】-2
【解析】如图所示，A点关于x轴的对称点为A'，则点A'在直线MB上。由对称性可知A'（3，-2），则光线MB所在直线的斜率false。
8.【答案】false
【解析】如图所示，当直线l过B时，设直线l的斜率为k1，则false；
当直线l过A时，设直线l的斜率为k2，则false。
∴要使直线l与线段AB有公共点，直线l的斜率的取值范围是false。

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