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分式与分式方程
一.选择题
1.（2020年云南省昆明市4分）某校举行“停课不停学，名师陪你在家学”活动，计划投资8000元建设几间直播教室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4000元．根据题意，求出原计划每间直播教室的建设费用是（　　）
A．1600元
B．1800元
C．2000元
D．2400元
【解析】解：设原计划每间直播教室的建设费用是x元，则实际每间建设费用为1.2x，根据题意得：
，
解得：x＝2000，
经检验：x＝2000是原方程的解，
答：每间直播教室的建设费用是2000元，
故选：C．
2.（2020·重庆市(A卷)·4分）若关于x的一元一次不等式结的解集为；且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（
）
A.
7
B.
－14
C.
28
D.
－56
【答案】A
【解析】
【分析】
不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为正整数方程，由分式方程有非负整数解，确定出a的值，求出之和即可．
【详解】解：解不等式，解得x≤7，
∴不等式组整理的，
由解集为x≤a，得到a≤7，
分式方程去分母得：y?a＋3y?4＝y?2，即3y?2＝a，
解得：y＝，
由y为正整数解，得到a＝1，7，
1×7＝7，
故选：A．
【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3.
（2020·重庆市(B卷)·4分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥5，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（
）
A.-1
B.-2
C.-3
D.0
解析：由不等式组的解集为x≥5，得a<3；由分式方程有非负整数解，得a≥-2且a≠2的偶数.答案B.
4.（2020年云南省4分）若整数a使关于x的不等式组，有且只有45个整数解，且使关于y的方程+＝1的解为非正数，则a的值为（　　）
A．﹣61或﹣58
B．﹣61或﹣59
C．﹣60或﹣59
D．﹣61或﹣60或﹣59
【解析】解：解不等式组，得
＜x≤25，
∵不等式组有且只有45个整数解，
∴﹣20≤＜﹣19，
解得﹣61≤a＜﹣58，
因为关于y的方程+＝1的解为：
y＝﹣a﹣61，y≤0，
∴﹣a﹣61≤0，
解得a≥﹣61，
∵y+1≠0，∴y≠﹣1，
∴a≠﹣60
则a的值为：﹣61或﹣59．
故选：B．
5.（2020年湖南省衡阳市3分）要使分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞1
B．x≠1
C．x＝1
D．x≠0
【解答】解：要使分式有意义，则x﹣1≠0，
解得：x≠1．
故选：B．
6.(2020年湖南省邵阳市3分)下列计算正确的是（　　）
A．5+＝8
B．（﹣2a2b）3＝﹣6a2b3
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2
D．＝a﹣2
【解答】解：A.，故A选项错误；
B．（﹣2a2b）3＝（﹣2）3（a2）3b3＝﹣8a6b3，故B选项错误；
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故C选项错误；
D.，故D选项正确．
故选：D．
7.（2020?广西省南宁市、北海市?3分）甲、乙两地相距600km，提速前动车的速度为vkm/h，提速后动车的速度是提速前的1.2倍，提速后行车时间比提速前减少20min，则可列方程为（　　）
A．﹣＝
B．＝﹣
C．﹣20＝
D．＝﹣20
【解答】解：因为提速前动车的速度为vkm/h，提速后动车的速度是提速前的1.2倍，所以提速后动车的速度为1.2vkm/h，
根据题意可得：﹣＝．
故选：A．
8.（2020?贵州省毕节市?3分）已知＝，则的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵＝，
∴设a＝2x，b＝5x，
∴＝＝．
故选：C．
9.（2020?贵州省六盘水市?3分）当x＝1时，下列分式没有意义的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：A.，当x＝1时，分式有意义不合题意；
B.，当x＝1时，x﹣1＝0，分式无意义符合题意；
C.，当x＝1时，分式有意义不合题意；
D.，当x＝1时，分式有意义不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．
10.（2020?海南省?3分）分式方程＝1的解是（　　）
A．x＝﹣1
B．x＝1
C．x＝5
D．x＝2
【解答】解：去分母，得
x﹣2＝3，
移项合并同类项，得
x＝5．
检验：把x＝5代入x﹣2≠0，
所以原分式方程的解为：x＝5．
故选：C．
11.（2020?黑龙江省龙东地区?3分）已知关于x的分式方程﹣4＝的解为非正数，则k的取值范围是（　　）
A．k≤﹣12
B．k≥﹣12
C．k＞﹣12
D．k＜﹣12
【解答】解：方程﹣4＝两边同时乘以（x﹣3）得：
x﹣4（x﹣3）＝﹣k，
∴x﹣4x+12＝﹣k，
∴﹣3x＝﹣k﹣12，
∴x＝+4，
∵解为非正数，
∴+4≤0，
∴k≤﹣12．
故选：A．
二.填空题
1.
（2020·浙江省台州市·5分）计算的结果是　　．
【分析】先通分，再相减即可求解．
解：＝﹣＝．
故答案为：．
2.
（2020·浙江省舟山市、嘉兴市·4分）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程　＝　．
【分析】根据“第二次每人所得与第一次相同，”列方程即可得到结论．
解：根据题意得，＝，
故答案为：＝．
3.（2020年西藏3分）分式方程＝的解为　x＝5　．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x+2＝3x﹣3，
解得：x＝5，
经检验x＝5是分式方程的解，
故答案为：x＝5．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
4.（2020年云南省昆明市3分）要使有意义，则x的取值范围是　
　．
【解析】解：要使分式有意义，
需满足x+1≠0．
即x≠﹣1．
故答案为：x≠﹣1．
5.（2020年湖南省衡阳市3分）计算：﹣x＝　1　．
【解答】解：原式＝﹣x
＝x+1﹣x
＝1．
故答案为：1．
6.（2020年湖南省娄底市3分）若＝＝（a≠c），则＝　　．
【解答】解：∵＝＝（a≠c），
∴＝．
故答案为：．
7.（2020年湖南省永州市4分）函数y＝中，自变量x的取值范围是　x≠3　．
【解答】解：根据题意得，x﹣3≠0，
解得x≠3．
故答案为：x≠3．
8.（2020年江苏省宿迁市3分）若代数式有意义，则x的取值范围是　x≠1　．
【分析】分式有意义，分母不等于零，即x﹣1≠0，由此求得x的取值范围．
【解答】解：依题意得：x﹣1≠0，
解得x≠1，
故答案为：x≠1．
【点评】本题考查了分式有意义的条件．（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条件是分母等于零．
9.（2020年甘肃省定西市、武威市3分）要使分式有意义，x需满足的条件是　x≠1　．
【解答】解：当x﹣1≠0时，分式有意义，
∴x≠1，
故答案为x≠1．
10.（2020?广西省河池市?3分）方程＝的解是x＝　﹣3　．
【解答】解：方程的两边同乘（2x+1）（x﹣2），得：x﹣2＝2x+1，
解这个方程，得：x＝﹣3，
经检验，x＝﹣3是原方程的解，
∴原方程的解是x＝﹣3．
故答案为：﹣3．
三.解答题
1.
（2020·浙江省温州市·12分）某经销商3月份用18000元购进一批T恤衫售完后，4月份用39000元购进一批相同的T恤衫，数量是3月份的2倍，但每件进价涨了10元．
（1）4月份进了这批T恤衫多少件？
（2）4月份，经销商将这批T恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价180元．甲店按标价卖出a件以后，剩余的按标价八折全部售出；乙店同样按标价卖出a件，然后将b件按标价九折售出，再将剩余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同．
①用含a的代数式表示b．
②已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值．
【分析】（1）根据4月份用39000元购进一批相同的T恤衫，数量是3月份的2倍，可以得到相应的分式方程，从而可以求得4月份进了这批T恤衫多少件；
（2）①根据甲乙两店的利润相同，可以得到关于A.b的方程，然后化简，即可用含a的代数式表示b；
②根据题意，可以得到利润与a的函数关系式，再根据乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，可以得到a的取值范围，从而可以求得乙店利润的最大值．
【解答】解：（1）设3月份购进x件T恤衫，
，
解得，x＝150，
经检验，x＝150是原分式方程的解，
则2x＝300，
答：4月份进了这批T恤衫300件；
（2）①每件T恤衫的进价为：39000÷300＝130（元），
（180﹣130）a+（180×0.8﹣130）（150﹣a）＝（180﹣130）a+（180×0.9﹣130）b+（180×0.7﹣130）（150﹣a﹣b）
化简，得
b＝；
②设乙店的利润为w元，
w＝（180﹣130）a+（180×0.9﹣130）b+（180×0.7﹣130）（150﹣a﹣b）＝54a+36b﹣600＝54a+36×﹣600＝36a+2100，
∵乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，
∴a≤b，
即a≤，
解得，a≤50，
∴当a＝50时，w取得最大值，此时w＝3900，
答：乙店利润的最大值是3900元．
【点评】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和分式方程的知识解答，注意分式方程要检验．
2.
（2020·重庆市(A卷)·5分）（2）．
【分析】
3.
（2020·重庆市(B卷)·5分）（2）
解：原式=
=
4.（2020年云南省6分）先化简，再求值：÷，其中x＝．
【解析】解：原式＝÷
＝?
＝，
当x＝时，原式＝2．
5.（2020年云南省6分）某地响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展“美化绿色城市”活动，绿化升级改造了总面积为360万平方米的区域．实际施工中，由于采用了新技术，实际平均每年绿化升级改造的面积是原计划平均每年绿化升级改造的面积的2倍，所以比原计划提前4年完成了上述绿化升级改造任务．实际平均每年绿化升级改造的面积是多少万平方米？
【解析】解：设原计划每年绿化升级改造的面积是x万平方米，则实际每年绿化升级改造的面积是2x万平方米，根据题意，得：
﹣＝4，
解得：x＝45，
经检验，x＝45是原分式方程的解，
则2x＝2×45＝90．
答：实际平均每年绿化升级改造的面积是90万平方米．
6.（2020年山东省烟台市6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝+1，y＝﹣1．
【解答】解：（﹣）÷，
＝[﹣]÷，
＝×，
＝，
当x＝+1，y＝﹣1时，
原式＝＝2﹣．
7.（2020年山东省东营市8分）（1）计算：+（2cos60°）2020﹣（）﹣2﹣|3+2|；
（2）先化简，再求值：（x﹣）÷，其中x＝+1，y＝．
【分析】（1）先计算2cos60°、（）﹣2，再化简和﹣|3+2|，最后加减求出值；
（2）按分式的混合运算法则，先化简分式，再代入求值．
【解答】解：（1）原式＝3+（2×）2020﹣22﹣（3+2）
＝3+1﹣4﹣3﹣2
＝﹣6；
（2）原式＝?
＝?
＝x﹣y．
当x＝+1，y＝时，
原式＝+1﹣
＝1．
【点评】本题考查了二次根式的化简、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值的化简及分式的混合运算．题目综合性较强，是中考热点．熟记特殊角的三角函数值和负整数指数幂的意义是求（1）的关键，掌握分式的混合运算法则，化简分式是解决（2）的关键．
8.（2020年湖南省湘西州8分）化简：（﹣a﹣1）÷．
【解答】解：原式＝（﹣）÷
＝?
＝．
9.（2020年湖南省益阳市8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝﹣2．
【解答】解：原式＝÷
＝?
＝，
当a＝﹣2时，原式＝＝＝2．
10.（2020年湖南省益阳市10分）新冠肺炎疫情暴发后，某医疗设备公司紧急复工，但受疫情影响，医用防护服生产车间仍有7人不能到厂生产．为了应对疫情，已复产的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每小时完成的工作量不变．原来每天能生产防护服800套，现在每天能生产防护服650套．
（1）求原来生产防护服的工人有多少人？
（2）复工10天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍然为10小时．公司决定将复工后生产的防护服14500套捐献给某地，则至少还需要生产多少天才能完成任务？
【解答】解：（1）设原来生产防护服的工人有x人，
由题意得，＝，
解得：x＝20．
经检验，x＝20是原方程的解．
答：原来生产防护服的工人有20人；
（2）设还需要生产y天才能完成任务．
＝5（套），
即每人每小时生产5套防护服．
由题意得，10×650+20×5×10y≥14500，
解得y≥8．
答：至少还需要生产8天才能完成任务．
11.（2020年湖南省娄底市6分）先化简（﹣）÷，然后从﹣3，0，1，3中选一个合适的数代入求值．
【解答】解：原式＝[﹣]?
＝?
＝（m﹣3）﹣2（m+3）
＝m﹣3﹣2m﹣6
＝﹣m﹣9，
当m＝﹣3，0，3时，原式没有意义，舍去；
当m＝1时，原式＝﹣1﹣9＝﹣10．
12.（2020年湖南省永州市8分）先化简，再求值：（﹣?）?（a+2），其中a＝2．
【解答】解：原式＝[﹣?]?（a+2）
＝[﹣]?（a+2）
＝﹣
＝，
当a＝2时，
原式＝＝1．
13.（2020年湖南省永州市10分）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．
（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？
（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？
【解答】解：（1）设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是（x+10）元，依题意有
＝，
解得x＝2，
经检验，x＝2是原方程的解，
x+10＝2+10＝12．
故一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是12元；
（2）设购进一次性医用外科口罩y只，依题意有
2y+12（2000﹣y）≤10000，
解得y≥1400．
故至少购进一次性医用外科口罩1400只．
14.（2020年湖南省岳阳市8分）为做好复工复产，某工厂用A.B两种型号机器人搬运原料，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20kg，且A型机器人搬运1200kg所用时间与B型机器人搬运1000kg所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料．
【解答】解：设B型机器人每小时搬运xkg原料，则A型机器人每小时搬运（x+20）kg原料，
依题意，得：＝，
解得：x＝100，
经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意，
∴x+20＝120．
答：A型机器人每小时搬运120kg原料，B型机器人每小时搬运100kg原料．
15.（2020年江苏省南通市10分）计算：
（1）（2m+3n）2﹣（2m+n）（2m﹣n）；
（2）÷（x+）．
【解答】解：（1）原式＝4m2+12mn+9n2﹣（4m2﹣n2）
＝4m2+12mn+9n2﹣4m2+n2
＝12mn+10n2；
（2）原式＝÷（+）
＝÷
＝?
＝．
16.（2020年江苏省宿迁市8分）先化简，再求值：÷（x﹣），其中x＝﹣2．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝÷（﹣）
＝÷
＝?
＝，
当x＝﹣2时，
原式＝＝＝．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
17.（2020年江苏省镇江市10分）（1）解方程：＝+1；
（2）解不等式组：
【解答】解：（1）＝+1，
2x＝1+x+3，
2x﹣x＝1+3，
x＝4，
经检验，x＝4是原方程的解，
∴此方程的解是x＝4；
（2），
①4x﹣x＞﹣2﹣7，
3x＞﹣9，
x＞﹣3；
②3x﹣6＜4+x，
3x﹣x＜4+6，
2x＜10，
x＜5，
∴不等式组的解集是﹣3＜x＜5．
18.（2020年江苏省镇江市8分）（1）计算：4sin60°﹣+（﹣1）0；
（2）化简（x+1）÷（1+）．
【解答】解：（1）原式＝4×﹣2+1
＝2﹣2+1
＝1；
（2）原式＝（x+1）÷（+）
＝（x+1）÷
＝（x+1）?
＝x．
19.（2020?广西省河池市?6分）先化简，再计算：+，其中a＝2．
【解答】解：原式＝+
＝+
＝，
当a＝2时，原式＝＝3．
20.（2020?广西省南宁市、北海市?6分）先化简，再求值：÷（x﹣），其中x＝3．
【解答】解：原式＝÷（﹣）
＝÷
＝?
＝，
当x＝3时，原式＝＝．
21.（2020?贵州省黔东南州?14分）（1）计算：（）﹣2﹣|﹣3|+2tan45°﹣（2020﹣π）0；
（2）先化简，再求值：（﹣a+1）÷，其中a从﹣1，2，3中取一个你认为合适的数代入求值．
【解答】解：（1）（）﹣2﹣|﹣3|+2tan45°﹣（2020﹣π）0
＝4+﹣3+2×1﹣1
＝4+﹣3+2﹣1
＝2+；
（2）（﹣a+1）÷
＝×
＝
＝﹣a﹣1，
要使原式有意义，只能a＝3，
则当a＝3时，原式＝﹣3﹣1＝﹣4．
22.（2020?黑龙江省龙东地区?5分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝sin30°．
【解答】解：当a＝sin30°时，
所以a＝
原式＝?
＝?
＝
＝﹣1
23（2020?湖北省鄂州市?8分）先化简÷+，再从﹣2．﹣1，0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值．
【解答】解：÷+
＝
＝
＝
＝
＝，
∵x＝0，1，﹣1时，原分式无意义，
∴x＝﹣2，
当x＝﹣2时，原式＝＝﹣1．
24.（2020?湖北省恩施州?10分）某校足球队需购买A.B两种品牌的足球．已知A品牌足球的单价比B品牌足球的单价高20元，且用900元购买A品牌足球的数量用720元购买B品牌足球的数量相等．
（1）求A.B两种品牌足球的单价；
（2）若足球队计划购买A.B两种品牌的足球共90个，且A品牌足球的数量不小于B品牌足球数量的2倍，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元．设购买A品牌足球m个，总费用为W元，则该队共有几种购买方案？采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？
【解答】解：（1）设购买A品牌足球的单价为x元，则购买B品牌足球的单价为（x﹣20）元，
根据题意，得，
解得：x＝100，
经检验x＝100是原方程的解，
x﹣20＝80，
答：购买A品牌足球的单价为100元，则购买B品牌足球的单价为80元；
（2）设购买m个A品牌足球，则购买（90﹣m）个B品牌足球，
则W＝100m+80（90﹣m）＝20m+7200，
∵A品牌足球的数量不小于B品牌足球数量的2倍，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元，
∴，
解不等式组得：60≤m≤65，
所以，m的值为：60，61，62，63，64，65，
即该队共有6种购买方案，
当m＝60时，W最小，
m＝60时，W＝20×60+7200＝8400（元），
答：该队共有6种购买方案，购买60个A品牌30个B品牌的总费用最低，最低费用是8400元．
25.（2020?湖北省恩施州?8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中m＝．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝；
当时，
原式＝．
26.（2020?贵州省毕节市?12分）某学校拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购买的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高20%，用5400元购进的甲种书柜的数量比用6300元购进乙种书柜的数量少6个．
（1）每个甲种书柜的进价是多少元？
（2）若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍．该校应如何进货使得购进书柜所需费用最少？
【解答】解：（1）设每个乙种书柜的进价为x元，
∴每个甲种书柜的进价为1.2x元，
∴＝﹣6，
解得：x＝300，
经检验，x＝300是原分式方程的解，
答：每个甲种书柜的进价为360元．
（2）设甲书柜的数量为y个，
∴乙书柜的数量为（60﹣y）个，
由题意可知：60﹣y≤2y，
∴20≤y＜60，
设购进书柜所需费用为z元，
∴z＝360y+300（60﹣y）
∴z＝60y+18000，
∴当y＝20时，
z有最小值，最小值为19200元，
答：甲、乙书柜进货数量分别为20和40时，所需费用最少．
27.（2020?贵州省毕节市?8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝1+．
【解答】解：原式＝[﹣]?
＝?
＝?
＝，
当x＝1+时，
原式＝＝+1．
答案第22页，总23页

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