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“两边夹”在数学解题中的应用
两边夹”在数学解题中的应用
所谓两边夹即:若a≤b≤a,则a
从集合角度理解:AcB,BcA,则A=B
推广形式为:若a≤f(x)≤a,则f(x)=a
在解决某些数学问题时,
两边夹”,实现不等关系向等量
关系的转化,由运动变化状态向静止状态的转化,运用数学化归
的思想,进而达到简化问题,求解问题的目的
求值
例1.(解方程)求方程组{x
的所有实数解
解:由①②及均值不等式得
x+y2≥
(x+y)2(3-z)2
整理得:z=1
同理:x=1,y
故原方程组有且只有一组实数解{y
变式:是否存在常数c,使不等式
对任意正数xy成立
2x+y
x+23
x+2
解:令2x+y=a,x+2
(a>0.b>0
2x+
x+2
当且仅当
即x=y时取
因为
≤c对任意正数x,y成立
2x+y
x+2y
所以(
即
同理可得
当且仅当
即
时取“=”公众号:品数学
对任意正数x,y成立
所以c≤(
ttu,
tr
即
综合①②得:c
二求函数解析式
例2.二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像过点(-1,0),且
x≤∫(x)≤x2+恒成立,求函数y=f(x)的解析式
解:因为二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像过点(-10)
所以a-b+c=0①
又x≤∫(x)≤x2+恒成立
所以1≤f(1)≤1
即f(1)=a+b+c=1②2
由①2得:b
所以f(x)=ax2+x+-a对vx∈R成立
即x≤ax2+-x+
对vx∈R成立
即
对x∈R成立
X-
所以
对x∈R成立
x+2a≥0
所以
解得
2a>0
所以f(x)
变式:已知函数f(x)=x2+bx+c,|x1,且f(x)n
求函数
f(x)的解析式
解:因为f(x)=x2+bx+c,x≤1,且f(x)
f(0
①
所以{f(1)≤即{-≤1+b+c≤②
f(-1)
由②+③得
又由①知
公众号:品数
所以c=-1,代入②和③中得
l≤b≤0
所以b=0
所以f(x)=x2-,经验证符合题意
比较大小
例3已知集合A={a1,a2,…,a(≥2)},其中a1∈Z(=1,2,…,k)
由A中的元素构成两个相应集合
S={(a,b)|a∈A,b∈Aa+b∈A,T={(a,b)a∈A,b∈A,a-b∈A
其中(a,b)是有序实数对,集合S和T中的元素个数分别为m和n
若对于任意的a∈A,总有-agA,则称集合A具有性质P试判
断m和n的大小关系,并证明你的结论
解:m=n,证明如下
(1)对于(a,b)∈S,根据定义,a∈A,b∈A,a+b∈A
从而(a+b,b)∈T
如果(a,b)与(c,d)是S中的不同元素
那么a=c与b=d中至少有一个不成立
从而a+b=c+d与b=d中也至少有一个不成立
故(a+b,b)与(c+d,d)也是T的不同元素
所以S中元素的个数不多于T中元素的个数,即m≤n
(2)对于(a,b)∈T,根据定义,a∈A,b∈A,a-b∈A
从而(a-b,b)∈S
如果(a,b)与(c,d是T中的不同元素
那么a=c与b=d中至少有一个不成立
从而a-b=c-d与b=d中也至少有一个不成立
故(a-b,b)与(c-d,d)也是S的不同元素
所以T中元素的个数不多于S中元素的个数,即n≤m
由(1)(2)可知m=n
四探究性问题
例4已知函数f()+2
R
(1)证明:f(x)≥g(x)
2)是否存在常数a,b,使得f(x)≥ax+b≥g(x)对任意的x>0恒成
立?若存在,求出a,b的值,若不存在,请说明理由

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