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函数性质问题的类型与解法
理解和掌握函数性质是学习函数知识的基础之一，运用函数性质解答函数问题又是不可或缺的基本技能。函数性质主要包括：①函数的单调性；②函数的奇偶性；③函数的周期性。纵观近几年数学的各种考试，函数性质问题主要涉及：①函数单调性的判断；②函数单调性的运用；③函数奇偶性的判断；④函数奇偶性的运用；⑤函数周期性的判断；⑥函数性质的综合运用等几种类型。各种类型问题结构上具有相应的特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答函数性质问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、函数f(x)=|x|和g(x)=x(2-x)的递增区间依次是（
）
A
（-∞，0〕，（-∞，1〕
B
（-∞，0〕，〔1，+∞）
C
〔0，+∞），（-∞，1〕
D
〔0，+∞），〔1，+∞）
【解析】
【知识点】①增函数的定义与性质；②判断（或证明）函数单调性的基本方法。
【解题思路】运用增函数的性质和判断函数单调性的基本方法，结合问题条件求出函数f(x)，g(x)的递增区间就可得出选项。
【详细解答】
f(x)=｜x｜=x，x
0，g(x)=-
+2x，函数f(x)递增区间是〔0，+∞），
-x，x＜0，函数g(x)的递增区间是（-∞，1〕，C正确，
选C。
2、如图是函数f(x)（x∈R）的图像，则（
）
y
A
函数f(x)先增后减
B函数f(x)先减后增
C函数f(x)是R上的增函数
D
函数f(x)是R上的减函数
0
x
【解析】
【知识点】①函数单调性的定义与性质；②判断（或证明）函数单调性的基本方法。
【解题思路】运用函数的性质和判断函数单调性的基本方法，结合问题条件判断出函数f(x)，的单调性就可得出选项。
【详细解答】由函数f(x)（x∈R）的图像可知，函数f(x)是R上的增函数，C正确，
选C。
3、函数f(x)=|x|(1-x)在区间A上是增函数，那么区间A是（
）
A
（-∞，0）
B
［0，］
C
〔0，+∞）
D
（，+∞）
【解析】
【知识点】①分段函数的定义与性质；②判断（或证明）分段函数单调性的基本方法。
【解题思路】运用分段函数的性质和判断分段函数单调性的基本方法，结合问题条件求出函数f(x)递增区间就可得出选项。
y
【详细解答】
f(x)=|x|(1-x)=
-+x，x
0，
-x，x＜0，
0
1
x
作出函数f(x)的图像如图所示，由图知函数f(x)的递增区间是［0，］，B正确，
选B。
4、函数f(x)=
（-4）的单调递增区间是（
）
A
（0，+∞）
B
（-∞，0）
C
（2，+∞）
D
（-∞，-2）
【解析】
【知识点】①复合函数的定义与性质；②二次函数的定义与性质；③对数函数的定义与性质；④复合函数单调性判断（或证明）的基本方法。
【解题思路】设g(x)=
-4，根据二次函数的图像与性质，确定函数f(x)的定义域，并判断函数g(x)在定义域上的单调性，把函数g(x)视为中间变量，判断f（g(x)）在定义域上的单调性，结合复合函数单调性的判断法则判断函数f(x)的单调性。
【详细解答】设g(x)=
-4，作出函数g(x)的图像
y
如图所示，由图知函数f(x)的定义域是（-，-2）
（2，+），函数g(x)在（-，-2）上单调递减，
在（2，+）上单调递增，0<<1，函数f（g(x)）
-2
-1
0
1
2
x
在（-，-2），（2，+）上单调递减，函数f(x)
在（-，-2）上单调递增，在（2，+）上单调递减，D正确，选D。
5、证明函数f(x)=+2在区间（0，+∞）上是增函数；
【解析】
【知识点】①函数单调性的定义与性质；②判断（或证明）函数单调性的基本方法。
【解题思路】运用函数的性质和判断函数单调性的基本方法，结合问题条件就可证明函数f(x)
在区间（0，+∞）上是增函数。
【详细解答】证明：任取，（0，+∞），且<，f（）-f（）=+2--2
=（+）（-），+＞0，-＜0，
f（）-f（）=（+）（-）＜0，
f（）＜f（），函数f(x)
在区间（0，+∞）上是增函数。
6、讨论函数f(x)=x+
(a＞0)的单调性；
【解析】
【知识点】①函数单调性的定义与性质；②判断（或证明）函数单调性的基本方法。
【解题思路】运用函数的性质和判断函数单调性的基本方法，结合问题条件，对参数a的可能情况分别考虑，就可得出函数f(x)
的单调性。
【详细解答】函数f(x)的定义域为（-，0）（0，+），任取，（0，+∞），且<，f（）-f（）=+--=（-）（1-），①当1-＞0，即＞时，f（）-f（）=（-）（1-）＜0，
f（）＜f（），函数f(x)
在区间［，+∞）上是增函数；②当1-＜0，即＜时，f（）-f（）=（-）（1-）＞0，
f（）＞f（），函数f(x)
在区间（0，）上是减函数；同理可得函数f(x)
在区间（-∞，］上是增函数；在区间（-，0）上是减函数；综上所述，当a＞0时，函数f(x)
在区间（-∞，］，［，+∞）上是增函数，在区间（-，0），（0，）上是减函数。
7、求函数f(x)=|x-1|-|2-3x|的单调区间并判断函数的单调性；
【解析】
【知识点】①分段函数的定义与性质；②判断（或证明）分段函数单调性的基本方法。
【解题思路】运用分段函数的性质和判断分段函数单调性的基本方法，结合问题条件，对函数f(x)的的单调性参数进行判断就可得出结果。
2x-1，x
，
【详细解答】从问题条件得：函数
f(x)=|x-1|-|2-3x|=
-4x+3，＜x＜1，函数f(x)在区
-2x+1，x1，间（-∞，］上是增函数，在区间（，+∞）上是减函数。
8、判断函数f(x)=
|-x-12|的单调性；
【解析】
【知识点】①复合函数的定义与性质；②二次函数的定义与性质；③对数函数的定义与性质；④复合函数单调性的判断（或证明）的基本方法。
【解题思路】设g(x)=
|-x-12|，根据二次函数的图像与性质，确定函数f(x)的定义域，并判断函数g(x)在定义域上的单调性，把函数g(x)视为中间变量，判断f（g(x)）在定义域上的单调性，结合复合函数单调性的判断法则判断函数f(x)的单调性。
y
【详细解答】设g(x)=
|-x-12|，作出函数g(x)的图像
如图所示，由图知函数f(x)的定义域是（-，-3）
（-3，4）（4，+），函数g(x)在（-，-3），（，
-3
-2
-10
1
2
3
4
4）上单调递减，在（-3，），（4，+）上单调递增，0<0.5<1，函数f（g(x)）在（-，-3），（-3，），（，4），（4，+）上单调递减，函数f(x)
在（-，-3），（，4）上单调递增，在（-3，），（4，+）上单调递减。
9、已知函数y=f(x)对任意的x、y∈R,均有f(x)+f(y)=f（x+y）,且当x＞0时，f(x)＜0，
f(1)=-
.
（1）
判断并证明函数f(x)在R上的单调性；
（2）求f(x)在区间〔-3,3〕上的最大值和最小值。
【解析】
【知识点】①抽象函数的定义与性质；②函数单调性的定义与性质；③赋值法的基本方法；④函数单调性的判断（或证明）的基本方法。
【解题思路】（1）运用定义法判断（或证明）函数的单调性的基本方法，结合问题条件，这里比较f()，
f()的大小可借助于恒等式运用赋值法进行，怎样赋值是解答问题的关键，注意问题中当x＞0时，f(x)＜0的条件，现在已经有->0，这样需要在x，y中赋一个-，由恒等式x+y=，从而可知x，y中的另一个只能赋，代入恒等式就可以得到结论；（2）根据（1）的结论，可得f(x)在〔-3，3〕上单调递减，从而得到=
f(-3)，
=
f(3)，求出f(-3)，f(3)的值就可得出结果。
【详细解答】（1）设，∈R
，且>，->0，当x＞0时，f(x)＜0，
f(-)<0，
令x=-，y=，函数y=f(x)对任意的x、y∈R,均有f(x)+f(y)=f（x+y）,
f(-)+
f()=f(-+)=f()，
f()-f()=f(-)<0，函数f(x)在R上单调递减；（2）由（1）可知函数f(x)在R上单调递减，函数f(x)在〔-3，3〕上单调递减，
=
f(-3)，=
f(3)，
f(1)=-
，
f(2)=
f(1+1)=
f(1)+
f(1)=
-
-
=-
，f(3)=
f(2+1)=
f(2)+
f(1)=
-
-
=-2，
f(0)=
f(0+0)=
f(0)+
f(0)，
f(0)=0，f(0)=
f(3-3)=
f(3)+
f(-3)=0，
f(-3)+=-f(3)=-（-2）=2,
当x∈〔-3，3〕时，=
f(-3)=2，=
f(3)=-2。
『思考问题1』
（1）【典例1】是函数单调性判断（或证明）的问题，解答这类问题需要理解增函数，减函数，函数单调性的定义，掌握增函数，减函数，函数单调性的性质和判断（或证明）函数单调性的基本方法，判断（或证明）函数单调性的基本方法有：①定义法；②图像法；
（2）图像法的基本方法是：①作出函数的图像；②确定判断（或证明）的区间；③在函数的图像上找到相应的区间；④根据函数图像得出结果；
（3）定义法的基本方法是：①求出函数的定义域；②确定判断（或证明）的区间；③在相应的区间上任取，，且＜；
④比较函数值f()，f()的大小；⑤根据④得出结果。
（4）比较函数值f()，f()的大小的基本方法是：①求差法；②求商法；
（5）求差法的基本方法是：①求出函数值f()-f()的差；②把①中的差与数0作比较；③根据②得出结果；
（6）求商法的基本方法是：①求出函数值的商；②把①中的商与数1作比较；③根据②得出结果；
（7）对含参数的函数，在判断（或证明）函数的单调性时，应注意对参数的可能情况先进行分别考虑，然后再综合得出结论。
〔练习1〕解答下列问题：
1、下列函数中，在区间（0,2）上为增函数的是（
）
A
y=-x+1
B
y=
C
y=-4x+5
D
y=
2、函数y=
的单调递减区间是（
）
A
［0，+∞）
B
（-∞，0〕
C
（-∞，0），（0，+∞）
D
（-∞，0）（0，+∞）
3、函数f(x)=-
+2|x|+3的单调递增区间为
；
4、证明：①函数f(x)=
+1在（-∞，0）上是减函数；②函数f(x)=
1-
在（-∞，0）上是增函数；
5、讨论函数f(x)=
(a＞0)在x∈(-1,1)上的单调性；
6、判断函数f(x)=
2-1，
(x≥0)，
的单调性；
-3x
，
(x＜0)，
7、求函数f(x)=
的单调区间；
8、设函数f(x)是定义在R上的函数，且对任意的实数m、n都有f(m).f(n)=f(m+n)，当x＜0时，f(x)＞1.
（1）证明：f(0)=1；
（2）证明：当x＞0时，0＜f(x)＜1；
（3证明：f(x)是R上的减函数。
【典例2】解答下列问题：
1、已知函数f(x)=
(2-ax)在（0，1）上是x的减函数，求实数a的取值范围；
【解析】
【知识点】①复合函数的定义与性质；②函数单调性的定义与判断方法；③对数函数的定义与性质；④运用函数单调性求函数解析式中参数取值范围的基本方法。
【解题思路】设g(x)=2-ax，运用对数函数的定义与性质得到a>0，且a1，从而可知函数g(x)在（0，1）上单调递减，根据复合函数单调性判断法则，结合问题条件得出函数f(g(x))在（0，1）上单调递增，利用对数的性质就可求出参数a的取值范围。
【详细解答】
a>0，且a1，函数g(x)在（0，1）上单调递减，函数f(x)=
(2-ax)在（0，1）上是x的减函数，函数f(g(x))在（0，1）上单调递增，a>1，当函数f(x)=
(2-ax)在（0，1）上是x的减函数时，实数a的取值范围是（1，+∞）。
2、设函数f(x)=lg，若当x∈(-∞,1〕时，f(x)有意义，求实数a的取值范围；
【解析】
【知识点】①复合函数的定义与性质；②函数单调性的定义与判断方法；③对数函数的定义与性质；④运用函数单调性求函数解析式中参数取值范围的基本方法。
【解题思路】设g(x)=
，运用对数函数的定义与性质，结合问题条件得到>0在(-∞,1〕上恒成立，从而得出>0在(-∞,1〕上恒成立，分离参数a得到a>--在(-∞,1〕上恒成立，令h(x)=
--，判断函数h(x)
在(-∞,1〕上的单调性，求出函数h(x)在(-∞,1〕上的最大值就可求出参数a的取值范围。
【详细解答】函数f(x)=lg在(-∞,1〕上有意义，>0在(-∞,1〕上恒成立，>0在(-∞,1〕上恒成立，
a>--在(-∞,1〕上恒成立，
设h(x)=
--，函数h(x)
在(-∞,1〕上的单调递增，当x∈(-∞,1〕时，
=
h(1)=-
-
=-
，a>-，当函数f(x)=lg在(-∞,1〕上有意义时，实数a的取值范围是（-，+∞）。
3、已知a＞0，设函数f(x)=
（x）的最大值为M，最小值为N，那么M+N=
；
【解析】
【知识点】①分式的定义与性质；②函数单调性的定义与判断方法；③运用函数单调性求函数值域（或最值）的基本方法。
【解题思路】由f(x)=
=
=2012-
，判断函数f(x)在
上的单调性，利用函数的单调性求出函数f(x)
在
上的最大值M，最小值N，从而求出M-N的值。
【详细解答】
f(x)=
=
=2012-
，任取，，且＜，f（）-f(）=2012--2012+=
=＜0，函数f(x)=
在上单调递增；M=f(a)=
2012-
，N=f(-a)=
2012-
=2012-
，M+N=2012-
+2012-
=4024-2=4022。
4、求函数y=
的值域；
【解析】
【知识点】①分式的定义与性质；②二次根式的定义与性质；③函数单调性的定义与判断方法；④运用函数单调性求函数值域的基本方法。
【解题思路】由y=
=
=
+
，设t=，t［2，+），y=t+，判断函数f(t)在［2，+）上的单调性，根据函数f(t)在［2，+）上的单调性求出函数f(t)在［2，+）上的最小值，从而求出函数f(x)的值域。
【详细解答】
y=
=
=
+
，设t=，t［2，+），y=t+，任取，［2，+），且＜，f()-f()=+--=(-)
(1-)＜0，函数y=t+在［2，+）单调递增；=2+=，函数y=
的值域为［，+）。
5、已知函数y=f(x)对任意的x、y∈R,均有f(x)+f(y)=f（x+y）,且当x＞0时，f(x)＜0，
f(1)=-
。
（1）判断并证明函数f(x)在R上的单调性；
（2）求f(x)在区间〔-3，3〕上的最大值和最小值。
【解析】
【知识点】①抽象函数的定义与性质；②函数单调性的定义与性质；③赋值法的基本方法；④函数单调性的判断（或证明）的基本方法。
【解题思路】（1）运用定义法判断（或证明）函数的单调性的基本方法，结合问题条件，这里比较f()，
f()的大小可借助于恒等式运用赋值法进行，怎样赋值是解答问题的关键，注意问题中当x＞0时，f(x)＜0的条件，现在已经有->0，这样需要在x，y中赋一个-，由恒等式x+y=，从而可知x，y中的另一个只能赋，代入恒等式就可以得到结论；（2）根据（1）的结论，可得f(x)在〔-3，3〕上单调递减，从而得到=
f(-3)，
=
f(3)，求出f(-3)，f(3)的值就可得出结果。
【详细解答】（1）设，∈R
，且>，->0，当x＞0时，f(x)＜0，
f(-)<0，
令x=-，y=，函数y=f(x)对任意的x、y∈R,均有f(x)+f(y)=f（x+y）,
f(-)+
f()=f(-+)=f()，
f()-f()=f(-)<0，函数f(x)在R上单调递减；（2）由（1）可知函数f(x)在R上单调递减，函数f(x)在〔-3，3〕上单调递减，
=
f(-3)，=
f(3)，
f(1)=-
，
f(2)=
f(1+1)=
f(1)+
f(1)=
-
-
=-
，f(3)=
f(2+1)=
f(2)+
f(1)=
-
-
=-2，
f(0)=
f(0+0)=
f(0)+
f(0)，
f(0)=0，f(0)=
f(3-3)=
f(3)+
f(-3)=0，
f(-3)+=-f(3)=-（-2）=2,
当x∈〔-3，3〕时，=
f(-3)=2，=
f(3)=-2。
6、定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0,当x＞0时，f(x)＞1，且对任意的a、b∈R，均有f(a+b)=f(a).f(b)。
（1）证明：f(0)=1；
（2）证明：对任意的x∈R，恒有f(x)＞0；
（3）证明：函数f(x)是R上的增函数；
（4）若f(x).f(2x-)＞1,求x的取值范围。
【解析】
【知识点】①抽象函数的定义与性质；②函数单调性的定义与性质；③赋值法的基本方法；④函数单调性的判断（或证明）的基本方法；⑤不等式的解法。
【解题思路】（1）运用抽象函数的性质和赋值法的基本方法，结合问题条件，令a=b=0，得到关于f(0)的方程，求解方程就可证明f(0)=1；（2）由（1）可得f(0)=1>0，问题条件已知当x＞0时，f(x)＞1>0，现在只需证明当x<0时，f(x)＞0就可得到结论，设x<0，则-x>0，令a=x,b=-x,依据对任意的a、b∈R，均有f(a+b)=f(a).f(b)得到f(0)=f(x-x)=f(x).f(-x),可以证明f(x)>0；（3）根据定义法判断（或证明）函数的单调性的基本方法，这里比较f()，
f()的大小可借助于恒等式运用赋值法进行，怎样赋值是解答问题的关键，注意问题中当x＞0时，f(x)>1的条件，现在已经有->0，这样需要在x，y中赋一个-，由恒等式x+y=，从而可知x，y中的另一个只能赋，代入恒等式就可以得到结论；（4）根据（3）的结论，可得f(x)在R上单调递增，根据f(x).f(2x-)＞1,
.f(2x-+x)>
f(0)
.f(3x-)>
f(0)
3x->0，解这个不等式即可得到结果。
【详细解答】（1）令a=b=0，对任意的a、b∈R，均有f(a+b)=f(a).f(b)，
f(0+0)=f(0).f(0)，
f(0)（f(0)-1）=0，
f(0)≠0,
f(0)-1=0，
f(0)=1；（2）设x<0，则-x>0，令a=x,b=-x,
对任意的a、b∈R，均有f(a+b)=f(a).f(b)，f(0)=f(x-x)=f(x).f(-x),
f(x)=
>0，
f(0)=1>0，当x＞0时，f(x)＞1>0，对任意的
x∈R，恒有f(x)＞0；（3）设，∈R
，且>，->0，当x＞0时，f(x)>1，
f(-)>1，令a=-，b=，函数y=f(x)对任意的a、b∈R,
均有f(a+b)=f(a).f(b),
f(-+)=f().f(-)，
f()=f().f(-)，
=
f(-)>1，函数f(x)是R上的增函数；（4）根据（3）的结论，可得f(x)在R上单调递增，f(x).f(2x-)＞1,
.f(2x-+x)>
f(0).f(3x-)>
f(0)
3x->0，0『思考问题2』
（1）【典例2】是函数单调性运用的问题，解答这类问题需要理解增函数，减函数的定义，掌握函数单调性的性质；
（2）函数单调性的运用问题主要包括：①已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围；②运用函数的单调性求函数的值域（或最值）；③运用函数的单调性解（或证明）不等式；
（3）已知函数单调性，求函数解析式中参数取值范围问题解答的基本方法是：①根据函数的单调性得到关于参数的不等式（或不等式组）；②求解不等式（或不等式组）；③得出结果；
（4）利用函数的单调性求函数值域（或最值）的基本方法是：①判断函数在定义域上的单调性；②根据函数的单调性求函数在定义域上的最值；③确定函数的值域；④得出结果。
（5）运用函数的单调性，求不等式的解集（或证明不等式）问题的基本方法是：①根据函数的单调性得到关于自变量的不等式（或不等式组）；②求解不等式（或不等式组）；③得出结果。
〔练习2〕解答下列问题：
1、如果函数f(x)=a+2x-3在区间（-∞，4）上是单调递增的，则实数a的取值范围是（
）
A
a＞-
B
a
-
C
-a＜0
D
-a0
2、已知函数f(x)=
（2-a）x+1，x＜1，满足对任意，都有＞0成立，
，x1，那么实数a的取值范围是
；
3、设二次函数f(x)=a-4x+c的值域为〔0,+
），则u=的最小值为
；
4、求函数y=
的值域。
5、已知f(x)在定义域（0，+∞）上为增函数，且满足：f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,试解不等式f(x)+f(x-8)≤2；
6、函数f(x)对任意的m，n∈R，都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1，并且x＞0时，恒有f(x)＞1.
（1）求证：f(x)在R上是增函数；
（2）若f(3)=4，解不等式f(+a-5)＜2。
【典例3】解答下列问题：
1、下列函数是偶函数的是（
）
A
y=x
B
y=2-3
C
y=
D
y=，x∈［0,1］
【解析】
【知识点】①偶函数的定义与性质；②判断函数奇偶性的基本方法。
【解题思路】运用偶函数的定义与性质，判断函数奇偶性的基本方法，结合问题条件分别对各选项进行判断就可得出选项。
【详细解答】C，D两个选项中的定义域分别是（0,+
），［0,1］关于原点不对称，C，D两个选项中的函数不具有奇偶性，可以排除，选项A，B中的两个函数的定义域都是R，关于原点对称，对选项A，
f(-x)=-x=-
f(x)，选项A的函数是奇函数，对选项B，
f(-x)=2
-3=2-3=f(x)，选项B的函数是偶函数，B正确，选B。
2、判断函数f(x)=+x
，(x＜0)
，的奇偶性；
-
+x
，（x＞0），
【解析】
【知识点】①分段函数的定义与性质；②函数奇偶性的定义与性质；③判断（或证明）分段函数奇偶性的基本方法。
【解题思路】根据分段函数的特征，判断函数在各段上f(-x)与f(x)的关系，利用判断（或证明）分段函数奇偶性的基本方法就可得出结果。
【详细解答】从函数的解析式可知，函数的定义域为（-
，0）（0,+
），显然关于原点对称，①当x＞0时，
-x＜0，
f(-x)=
-x=-x=-（-+x）=-
f(x)；②当x<0时，
-x>0，
f(-x)=
--x=--x=-（+x）=-
f(x)；函数f(x)是奇函数。
3、已知函数f(x)=
(a＞0,且a≠1)。
（1）求函数f(x)的定义域；
（2）证明函数f(x)是奇函数；
（3）判断并证明函数f(x)在定义域上的单调性；
（4）求使f(x)＞0成立的x的取值范围。
【解析】
【知识点】①函数定义域的定义与求法；②复合函数的定义与性质；③分式的定义与性质；④对数函数的定义与性质；⑤复合函数奇偶性判断（或证明）的基本方法。
【解题思路】（1）由函数f(x)有意义的条件得到
>0，解这个不等式就可以得到函数f(x)的定义域；（2）由（1）可知函数f(x)的定义域为（-1，1）关于原点对称，只需证明f(-x)=-f(x)就可得到结论；（3）设g(x)=
运用定义法先判断函数g(x)在（-1，1）上的单调性，再根据复合函数单调性的判断法则得出结论（注意底数a的两种可能情况）；（4）根据底数a的两种可能情况分别进行解答，得出结果。
【详细解答】（1）函数f(x)有意义，必有
>0，-1=-=-f(x)，函数f(x)是奇函数；（3）设g(x)=
，任取，
（-1，1），且<，g（）-g（）=-=
=<0，g（）1时，函数f（g(x)）在（-1，1）上单调递增，函数f(x)在（-1，1）上单调递增；
（4）①当0f(x)＞0，0<<1，-11时，
f(x)＞0，>1，0f(x)＞0时，x的取值范围是（-1，0），当a>1时，
f(x)＞0时，x的取值范围是（0，1）。
4、已知函数f(x)对一切x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)。
（1）求证：函数f(x)是奇函数；
（2）若f(-3)=a，用a表示f(12).
【解析】
【知识点】①抽象函数的定义与性质；②函数奇偶性的定义与性质；③赋值法的基本方法；④函数奇偶性判断（或证明）的基本方法。
【解题思路】（1）根据问题条件可知，函数的定义域为R关于原点对称，判断（或证明）函数的奇偶性，只需验证f(-x)与
f(x)的关系，这里怎样赋值是解答问题的关键，注意问题的条件函数f(x)对一切x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，令x=y=0，得到f(0+0)=f(0)+f(0)，得出f(0)
=0，令x=x，y=-x，得到f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x),从而有f(x)+f(-x)=f(0)=0，于是问题得到解决；（2）由（1）知函数f(x)是奇函数，从而得到f(3)=-
f(-3)=-a，，令x=y=3，得到f(6)=f(3+3)=f(3)+f(3)=-a-a=-2a，令x=y=6，得到f(12)=f(6+6)=f(6)+f(6)
=-2a-2a=-4a，
【详细解答】（1）函数f(x)对一切x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，令x=y=0，得到f(0+0)=f(0)+f(0)，f(0)
=0，令x=x，y=-x，得到f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x),
f(x)+f(-x)=f(0)=0，函数f(x)是奇函数；（2）由（1）知函数f(x)是奇函数，f(3)=-
f(-3)=-a，，令x=y=3，f(3+3)=f(3)+f(3)=-a-a=-2a，f(6)=-2a，令x=y=6，
f(6+6)=f(6)+f(6)=-2a-2a=-4a，f(12)=-4a。
『思考问题2』
（1）【典例3】是函数奇偶性判断（或证明）的问题，解答这类问题需要理解奇函数，偶函数的定义，掌握奇函数，偶函数的性质和判断（或证明）函数奇偶性的基本方法；
(2)判断（或证明）函数奇偶性的基本方法是：①图像法；②定义法；
（3）在具体判断（或证明）函数的奇偶性时，如果已知函数的解析式，一般应该采用定义法；如果已知函数的图像（或函数的图像容易作出）应该采用图像法；
（4）分段函数判断（或证明）奇偶性时，在验证f(-x)与f(x)时，需要分段分别进行验证。
〔练习3〕解答下列问题：
1、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（
）
A
y=
B
y=x+
C
y=
+
D
y=x+
x+1，
(x＞0)，
2、判断函数f(x)=
1
，
(x=0)
，的奇偶性；
-x+1
，(x＜0），
3、证明函数f(x)=
(a＞1)是奇函数；
4、已知函数f(x)=
(a＞0,且a≠1)，求证函数f(x)是奇函数；
5、已知函数f(x)是等腰在R上的不恒为0的函数，且对任意的a，b∈R，都有f(a.b)=af(b)+bf(a)成立。
（1）求f(0)，f(1)的值；
（2）判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论。
【典例4】解答下列问题：
1、已知偶函数f(x)在区间［0，+∞）上单调递增，则满足f(2x-1)＜f()的x的取值范围是（
）
A
（，）
B
［，）
C
（，）
D
［，）
【解析】
【知识点】①偶函数的定义与性质；②求解绝对值不等式的基本方法。
【解题思路】运用偶函数的性质，结合问题条件得到关于x的绝对值不等式，求解绝对值不等式得出x的取值范围就可求出选项。
【详细解答】偶函数f(x)在区间［0，+∞）上单调递增，且f(2x-1)＜f()，|2x-1|＜，
2、若f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数，则实数a=
；
【解析】
【知识点】①偶函数的定义与性质；②求解方程的基本方法。
【解题思路】运用偶函数的性质，结合问题条件得到关于a的方程，求解方程就可求出a的值。
【详细解答】
f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数，
f(-x)=(-x+a)(-x-4)=
+（4-a）x-4a=
f(x)=(x+a)
(x-4)=+（a-4）x-4a，2（a-4）x=0，a=4。
3、设函数y=f(x)是奇函数，若f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3，则f(1)+f(2)的值为
；
【解析】
【知识点】①奇函数的定义与性质；②求解方程的基本方法。
【解题思路】运用奇函数的性质，结合问题条件得到关于f(1)+f(2)的方程，求解方程就可求出f(1)+f(2)的值。
【详细解答】函数y=f(x)是奇函数，
f(-2)+f(-1)=-
f(2)-f(1)，
f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3，
-f(2)-f(1)-3=f(1)+f(2)+3，2[f(1)+f(2)]=-6，f(1)+f(2)=-3。
4、设函数f(x)=
的最大值为M，最小值为m，则M+m=
；
【解析】
【知识点】①奇函数定义与性质；②判断函数奇偶性的基本方法；③求函数最值的基本方法。
【解题思路】由f(x)=
=1+，设g(x)=
，根据判断函数奇偶性的基本方法判断函数g(x)是奇函数，运用奇函数的性质得到函数g(x)的最大值与最小值的和为0，从而求出M+m的值。
【详细解答】
f(x)=
=1+，设g(x)=
，对函数g(x)定义域为R关于原点对称，g(-x)=
=
=-
g(x)，函数g(x)是奇函数，+=0，M==1+，m==1+，
M+m=1++1+=2++=2。
5、已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x0时，f(x)=-4x，那么不等式f(x+2)
＜5的解集是
；
【解析】
【知识点】①偶函数的定义与性质；②求函数解析式的基本方法；③判断函数单调性的基本方法；④求解不等式的基本方法。
【解题思路】运用偶函数的性质和求函数解析式的基本方法，结合问题条件求出当x<0时，函数f(x)的解析式，根据判断函数单调性的基本方法判断函数f(x)的单调性，利用函数单调性得到关于x的不等式，求解不等式就可求出不等式f(x+2)
＜5的解集。
【详细解答】设x<0，则-x>0，函数f(x)是定义域为R的偶函数，当x0时，f(x)=-4x，
f(x)=
f(-x)=
-4（-x）=+4x，
f(x)=
-4x，x0，函数f(x)在（-∞，
+4x，x<0，-2），（0，2）上单调递减，在（-2，0），（2，+∞）上单调递增，
f(-5)=
f(5)=25-45=5，
f(x+2)
＜5
|x+2|<5，-7＜5的解集为（-7，3）。
6、已知定义在（-∞，+∞）上的函数f(x)的图像关于原点对称，且当x＞0时，f(x)=-2x+2，求函数f(x)的解析式；
【解析】
【知识点】①奇函数的定义与性质；②判断函数奇偶性的基本方法；③求函数解析式的基本方法。
【解题思路】运用判断函数奇偶性的基本方法，结合问题条件得到函数f(x)是奇函数，根据奇函数的性质，奇函问题条件就可求出函数f(x)的解析式。
【详细解答】定义在（-∞，+∞）上的函数f(x)的图像关于原点对称，函数f(x)是奇函数，
f(0)=0，设x<0，则-x>0，当x＞0时，f(x)=-2x+2，
f(x)=-
f(-x)=-[
-2（-x）+2=+2x+2，
f(x)=
-2x+2，x＞0，
0，
x=0，
+2x+2，x<0。
7、已知函数f(x)=
+(a+1)x+lg|a+2|(a≠-2，a∈R)。
（1）若f(x)能表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和，求g(x)和h(x)的解析式；
（2）若f(x)和g(x)在区间（-∞，〕上都是减函数，求实数a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，比较f(1)和的大小。
【解析】
【知识点】①奇函数的定义与性质；②偶函数的定义与性质；③减函数的定义与性质；④判断函数单调性的基本方法；⑤比较实数大小的基本方法。
【解题思路】（1）运用奇函数和偶函数的性质，结合问题条件得到关于函数g(x)，h(x)的方程组，求解方程组就可求出函数g(x)和h(x)的解析式；（2根据减函数的性质，奇函问题条件得到关于a的不等式组，求解不等式组就可求出实数a的取值范围；（3）求出f(1)，利用判断函数单调性的基本方法判断f(1)关于a的函数在区间[-，-1）的单调性，求出f(1)
在区间[-，-1）上的最小值，借助于比较实数大小的基本方法就可得出结果。
【详细解答】（1）
f(x)=
g(x)+
h(x)=+(a+1)x+lg|a+2|①，g(x)是奇函数，h(x)是偶函数，
f(-x)=
g(-x)+
h(-x)=-
g(x)+
h(x)=-(a+1)x+lg|a+2|②，联立①②解得：g(x)=
(a+1)x，
h(x)
=+
lg|a+2|；（2）
f(x)和g(x)在区间（-∞，〕上都是减函数，-
①，a≠-2②，a+1<0③，联立①②③解得：-
a<-1；（3）
f(1)=1+a+1+lg|a+2|
=2+a+
lg|a+2|，设M（a）=
f(1)=
a+2+
lg|a+2|，
函数M（a）=
f(1)在区间[-，-1）上单调递增，==
M（-）=-+2+lg|-+2|=+lg=+
lg
>+
lg
=-=，
f(1)>
。
『思考问题4』
（1）【典例4】是函数奇偶性的应用问题，解答这类问题需要理解奇函数，偶函数的定义，掌握奇函数，偶函数的性质，注意弄清楚问题与奇函数（或偶函数）的哪一个性质相关；
（2）函数奇偶性的应用问题主要包括：①已知函数的奇偶性，求函数的解析式；②已知含字母系数函数的解析式和奇偶性，求参数的值（或取值范围）；
（3）解答已知函数的奇偶性，求函数的解析式问题的基本方法是：①运用函数的奇偶性讨论函数在各个分类区间上的解析式，②利用函数奇偶性中f(-x)与f(x)的关系式求出所求函数的解析式；
（4）解答已知含字母系数函数的解析式和奇偶性，求参数的值（或取值范围）问题的基本方法是分离系数法，运用f(-x)
f(x)=0得到关于参数的恒等式，利用系数的对等性求出参数的值（或取值范围）；
（5）运用函数奇偶性解答问题必须注意性质的条件与结论，只有性质的条件满足时，才能得到相应性质的结论。
〔练习4〕解答下列问题：
1、已知函数f(x)=ln(-3x)+1，则f(lg2)+f(lg)=（
）
A
-1
B
0
C
1
D
2
2、设偶函数f(x)的定义域为R，当x
［0，+∞）时，f(x)是增函数，则f(-2),f()，f(-3)的大小关系是（
）
A
f
()＞f(-3)＞f(-2)
B
f
()＞f(-2)＞f(-3)
C
f()＜f
(-3)＜f(-2)
D
f()＜f(-2)＜f
(-3)
3、已知函数f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)=
+x+1，求函数f(x)的解析式；
4、若函数f(x)=
为奇函数，则a=
；
5、已知函数f(x)=a+b+cx-8，且f(d)=10，则f(-d)=
；
y
6、设奇函数的定义域为［-6,6］，若当x∈［0,6］时，
f(x)的图像如图所示，则不等式f(x)＜0
的解集是
；
-6
-3
0
3
6
x
7、已知奇函数f(x)在定义域〔-1，1〕上为增函数，则不等式f()+f(x-1)＞0的解集为
；
8、已知f(x)为R上的偶函数，g(x)为R上的奇函数且过点（-1,3），g(x)=f(x-1)，则f(2012)+g(2013)=
；
9、已知函数f(x)=
(a＞1)。
（1）判断函数f(x)的奇偶性；
（2）求f(x)的值域。
【典例5】解答下列问题：
1、已知函数f(x)是定义在R
上的偶函数，函数g(x)是定义在R
上的奇函数，且g(x)=
f(x-
1)，则f(2017)+f(2019)的值为（
）
A
-1
B
1
C
0
D
无法计算
【解析】
【知识点】①周期函数的定义与性质；②判断函数是周期函数的基本方法；③奇函数的定义
与性质；④偶函数的定义与性质。
【解题思路】运用奇函数和偶函数的性质，结合问题条件，得到f(x-
1)=-
f(x-+1)，根据
判断函数是周期函数的基本方法得出函数f(x)是以4为周期的周期函数，f(2017)=
f(504
4+1)=
f(1)，f(2019)=
f(5044+3)=
f(3)=
f(-1)，利用奇函数的性质，结合问题条件
求出f(1)的值就可得出选项。
【详细解答】
g(x)=
f(x-1)，
g(-x)=
f(-x-1)，函数f(x)是定义在R
上的偶函数，
函数g(x)是定义在R
上的奇函数，
g(-x)=-
g(x)，f(-x)=
f(x)，
f(x-
1)=-
f(x-+1)，
f(x)=-
f(x-+2)，f(x+2)=-
f(x-+4)，
f(x)=f(x-+4)，函数f(x)是以4为周期的周期函
数，
f(2017)=
f(504
4+1)=
f(1)，f(2019)=
f(5044+3)=
f(3)=
f(-1)，
g(0)=
f(0-1)=
f(-1)=
f(1)=0，
f(2017)+f(2019)=
f(1)+
f(-1)=0+0=0，C正确，选C。
2、已知函数f(x)是定义在R
上的偶函数，并且f(x+2)=-
，当2
x
3时，f(x)=x，
则f(-105.5)=
。
【解析】
【知识点】①周期函数的定义与性质；②判断函数是周期函数的基本方法；③偶函数的定义
与性质。
【解题思路】运用判断函数是周期函数的基本方法，结合问题条件，得出函数f(x)是以4
为周期的周期函数，f(-105.5)=
f(-426-1.5)=
f(-1.5)，利用函数f(x)是定义在R
上的
偶函数，结合问题条件求出f(-1.5)的值就可求出f(-105.5)的值。
【详细解答】
f(x+2)=-
，
f(x)=-
，
f(x+2)=-
，
f(x)=
f(x+4)，函数f(x)是以4为周期的周期函数，
f(-105.5)=
f(-426-1.5)=
f(-1.5)，
函数f(x)是定义在R
上的偶函数，当2
x
3时，f(x)=x，
f(-105.5)=
f(-1.5)
=
f(1.5)=1.5。
3、设函数f(x)在R
上满足：f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)判断函数f(x)是不是周期数；
【解析】
【知识点】①周期函数的定义与性质；②判断函数是周期函数的基本方法。
【解题思路】运用问题条件，得出f(x+4)=
f(x+14)，从而得到f(x)=
f(x+10)，根据判断
函数是周期函数的基本方法就可得出函数f(x)是以10为周期的周期函数。
【详细解答】
f(2-x)=f(2+x)，
f(x)=
f(4-x)，
f(7-x)=f(7+x)，
f(x)=
f(14-x)，
f(4-x)=
f(14-x)，f(4+x)=
f(14+x)，
f(x)=
f(x+10)，函数f(x)是以10为周期的周期函数。
『思考问题5』
（1）【典例5】是函数周期性判断（或证明）的问题，解答这类问题需要理解周期函数的定
义，掌握周期函数判断（或证明）的基本方法；
（2）判断（或证明）函数是周期函数的基本方法是定义法；
（3）用定义法判断（或证明）函数是周期函数的基本方法是：①确定一个常数T；②验证
f(x+T)与f(x)的值是否相等；③得出结果；
（4）周期函数的周期有无数个，最小正周期也是周期函数的一个周期。
〔练习5〕解答下列问题：
1、定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x)，当-3
x
＜-1时，f(x)=
-，当-1x
＜
3时，f(x)=x，则f(1)+f(2)+f(3)+------+f(2018)=
；
2、已知函数f(x)是定义在R
上的偶函数，并且f(x+2)=-f(x)，当2
x
3时，f(x)=x，
则f(-105.5)=
。
【典例6】解答下列问题：
1、已知函数f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)＜1，f(5)=
，则实数a的取值范围为（
）
A
（-1，4）
B
（-2，0）
C
（-1，0）
D
（-1，2）
【解析】
【知识点】①周期函数的定义与性质；②偶函数的定义与性质；③分式不等式的解法。
【解题思路】运用周期函数和偶函数的性质，结合问题条件，得出f(5)=
f(23-1)=
f(-1)
=
f(1)，从而得到关于a的不等式，求解不等式求出实数a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，
f(5)=
f(23-1)=
f(-1)
=
f(1)，
f(1)＜1，f(5)=
，＜1，-12、函数f(x)=lg(a+
)为奇函数，则实数a=
；
【解析】
【知识点】①奇函数的定义与性质；②对数函数的定义与性质；③求解方程的基本方法。
【解题思路】运用奇函数和对数函数的性质，结合问题条件，得到关于a的方程，求解方程
就可求出实数a的值。
【详细解答】函数f(x)=lg(a+
)为奇函数，
f(-x)=lg(a+
)=-
f(x)=-lg(a+
)
=lg
，=，a=-1。
3、设f(x)是以2为周期的函数，且当x
［1,3）时，f(x)=x-2，则f(-1)=
；
【解析】
【知识点】①周期函数的定义与性质；②求函数解析式的基本方法。
【解题思路】运用周期函数的性质和求函数解析式的基本方法，结合问题条件，求出函数
f(x)在区间［-1,1）的解析式就可求出f(-1)的值。
【详细解答】设x
［-1,1），则x+2
［1,3），
f(x)是以2为周期的函数，且当x
［1,3）时，f(x)=x-2，
f(x)=
f(x+2)=x+2-2=x，
x
［-1,1）时，f(x)=x，
f(-1)=-1。
4、设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间［-1,1］上，f(x)=
ax+1，
-1x
＜0，其中a，b∈R，若f()=f()，则a+3b的值为
；
，0x
1，
【解析】
【知识点】①周期函数的定义与性质；②求解方程组的基本方法。
【解题思路】运用周期函数的性质，结合问题条件，得到f()=f()=f(-2+)=
f(-)，f(1)
=
f(-2+1)=
f(-1)，从而得到关于a，b的方程组，求解方程组求出a，b的值，就可求出a+3b
的值。
【详细解答】
f(x)是定义在R上且周期为2的函数，f()=f()，
f(1)=
f(-2+1)=
f(-1)，
f()=f()=f(-2+)=
f(-)，在区间［-1,1］上，f(x)=
ax+1，
-1x
＜0，其中a，b
-a+1=，
a=2，
，0x
1，∈R，
=-a+1，
b=-4，a+3b=2+3（-4）=-10。
5、定义在R上的偶函数f(x)满足f（x+4）=-f(x)+f(2)，且当x
〔0，2〕时，y=f(x)单调递减，给出下列四个命题：（1）f(2)=0；（2）x=-4为函数y=f(x)图像的一条对称轴；（3）函数y=f(x)在〔8，10〕上单调递增；（4）若方程f(x)=m在〔-6，-2〕上的两根为，，则+=-8。其中正确命题的序号为
；
【解析】
【知识点】①偶函数的定义与性质；②减函数的定义与性质；③周期函数的定义与性质；④
判断函数是周期函数的基本方法；⑤判断命题真假的基本方法。
【解题思路】运用偶函数的性质，结合问题条件求出f(2)的值，得到函数f(x)是以4为周期
的周期函数，利用判断命题真假的基本方法对各结论的真假进行判断就可得出结果。
【详细解答】定义在R上的偶函数f(x)满足f（x+4）=-f(x)+f(2)，当x=-2时，f（-2+4）
=-f(-2)+f(2)=
f(2)，
f(2)=0，f（x+4）=-f(x)，函数f(x)是以4为周期的周期函数，（1），
（2）正确；当x
〔0，2〕时，y=f(x)单调递减，当x
〔-2，0〕时，y=f(x)单调递
增，
f(8)=
f(24+0)=
f(0)，f(,10)=
f(24+2)=
f(2)，函数y=f(x)在〔8，10〕上单调递减，
（3）错误；
x=-4为函数y=f(x)图像的一条对称轴，若方程f(x)=m在〔-6，-2〕上的
两根为，，则+=-8，（4）正确，正确命题的序号为：（1），（2），（4）。
6、函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，均有f(x+2)=f(x)成立，当x∈(0,1〕时，f(x)=
(2-x)
(a＞0)。
（1）当x∈〔2k-1,2k+1〕时，求f(x)的解析式；
（2）若f(x)的最大值为，解关于x的不等式f(x)＞。
【解析】
【知识点】①偶函数的定义与性质；②周期函数的定义与性质；③判断函数是周期函数的基
本方法；④求函数解析式的基本方法；⑤对数函数的定义与性质；⑥求解不等式的基本方法。
【解题思路】（1）运用判断周期函数的基本方法，结合问题条件得到函数f(x)是以2为周期
的周期函数，根据偶函数的性质求出函数f(x)在[-1，0）上的解析式，从而求出函数f(x)
当
x∈〔2k-1,2k+1〕时，求f(x)的解析式；（2）运用周期函数的性质，利用函数f(x)在[-1，
1]上图像求出不等式f(x)＞的解集，从而得出关于x的不等式f(x)＞的解集。
【详细解答】（1）对任意的x∈R，均有f(x+2)=f(x)成立，函数f(x)是以2为周期
的周期函数，设x∈[-1，0），则-x∈(0,1〕函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈(0,1〕
时，f(x)=
(2-x)
，
f(x)=
f(-x)=
(2+x)，设x∈[2k-1，2k），则x-2k∈[-1，0），
函数f(x)是以2为周期的周期函数，
f(x)=
f(x-2k)=
(2+x-2k)
，设x∈（2k，2k+1]，
则x-2k∈（0，1]，函数f(x)是以2为周期的周期函数，
f(x)=
f(x-2k)=
(2+2k-x)
，
当x∈〔2k-1,2k+1〕时，f(x)=
(2+x-2k)
，x∈[2k-1，2k），（2）当x∈[-1，1]时，
(2+x)，x∈[-1，0），
(2+2k-x)，x∈（2k，2k+1]；函数f(x)的解析式为：
f(x)=
(2-x)
，x∈(0,1〕①当a>1时，函数f(x)在[-1，0）上单调递增，在(0,1〕上
单调递减，=
f(0)=
(2+0)=
2=，=2，a=4，
f(x)＞
（2-x）＞或（2+x）＞2-x<且0x1或-<2+x且-1x0，
-2+2k+2-）（k∈Z）；②当0单调递增，=
f(-1)=
f(1)
=(2-1)=
1=0
，综上所述，若f(x)的最
大值为，关于x的不等式f(x)＞的解集为：（2k-2+，2k+2-）（k∈Z）。
『思考问题6』
（1）【典例6】是函数性质综合运用的问题，解答这类问题需要理解函数的单调性，奇偶性和周期性，并能灵活运用函数的单调性，奇偶性和周期性解答相关问题；
（2）对于具体问题首先应该弄清楚它与函数单调性，奇偶性和周期性的哪些性质相关，然后结合函数的相应性质进行解答；
（3）解答函数性质综合问题的关键是将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，注意两个常用结论：①f(x)为偶函数f(x)=f(|x|)；②若奇函数在x=0处与意义，则有f(0)=0.
〔练习6〕解答下列问题：
1、已知函数f(x)为奇函数，且当x＜0时，f(x)=
+3x+2，若当x［1，3］时，n≤f(x)≤m恒成立，则m-n的最小值为
；
2、若f(x)=ln(+1)+ax是偶函数，则a=
；
3、奇函数f(x)的定义域为R，若f(x+2)为偶函数，且f(1)=1，则f(8)+f(9)等于（
）
A
-2
B
-1
C
0
D
1
4、设f(x)是定义在R上的偶函数，且是以2为周期的周期函数，在区间〔2,3〕上，f(x)=4-2。
（1）求函数f(x)在区间〔1,2〕上的解析式；
（2）若矩形ABCD的两个顶点A、B在x轴上，C、D在函数y=f(x)(0≤x≤2)的图像上，求矩形面积S的最大值。

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