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空间向量及其运算
考向一
空间向量的基本概念
1、　(1)给出下列命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
②若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|；
③在正方体ABCD?A1B1C1D1中，＝；
④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p.
其中正确命题的序号是________．
(2)如图所示，在平行六面体ABCD?A′B′C′D′中，顶点连接的向量中，与向量相等的向量有________；与向量相反的向量有________．(要求写出所有适合条件的向量)
【答案】
(1)②③④　(2)，，　，，，　
2、下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是(　　)
①任一向量与它的相反向量不相等；
②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；
③平行且模相等的两个向量是相等向量；
④若a≠b，则|a|≠|b|；
⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同．
A．0
B．1　　　　
C．2　　　　
D．3
B　[因为零向量与它的相反向量相等，所以①不正确；根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，②正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，③不正确；当a＝－b时，也有|a|＝|b|，④不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无关，⑤不正确．综上可知只有②正确，故选B.]
3、下列命题是真命题的序号是________．
①在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与这两个向量不是共线向量．
②若向量a与b平行，则a，b的方向相同或相反．
③若向量，满足，且与同向，则>.
④若向量a＝b，则|a|＝|b|.
【答案】④
注：零向量与任何向量平行
4、如图所示，以长方体ABCD?A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，
(1)试写出与相等的所有向量；
(2)试写出的相反向量；
(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模．
[解]　(1)与向量相等的向量有，，，，共3个；
(2)向量的相反向量为，，，，共4个；
(3)||2＝22＋22＋12＝9，所以||＝3.
考向二
空间向量的线性运算
1、如图，在四面体中，设是的中点，则等于　　
A．
B．
C．
D．
【考点】
2、如图所示的空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则－＋等于(　　)
A.　　　　
　
B．3
C．3　　　　
D．2
【答案】B
3、如图，在四面体中，、分别是棱、的中点，则向量与、的关系是　　
A．
B．
C．
D．
【考点】爱
4、如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的有(　　)
①(＋)＋；
②(＋)＋；
③(＋)＋；
④(＋)＋.
A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个
【答案】(1)D　[对于①，(＋)＋＝＋＝，
对于②，(＋)＋＝＋＝，
对于③，(＋)＋＝＋＝，
对于④，(＋)＋＝＋＝.]
5、如图所示，在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
①；
②；
③＋.
解：①∵点P是C1D1的中点，∴＝＋＋＝＋＋＝a＋c＋b，
②∵点N是BC的中点，∴＝＋＋
＝－＋＋＝－a＋b＋c，
③∵点M是AA1的中点，∴＋＝＋＋＋＋
＝a＋c＋b＋c＋a＝a＋b＋c.
6、如图，已知空间四边形OABC，M，N分别是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量.
[解]　＝＋
＝＋
＝＋(＋＋)
＝＋
＝＋
＝＋＋＝a＋b＋c.
考向三
共面向量
1、有4个命题：①若，则与、共面；②若与、共面，则；③若，则共面；④若共面，则.
其中真命题的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
2、已知A，B，C三点不共线，点O是平面ABC外的任意一点，若点P分别满足下列关系：
(1)＋2＝6－3；
(2)＋＝4－.
试判断点P是否与点A，B，C共面．
[解]　法一：(1)∵3－3＝＋2－3＝(－)＋(2－2)，
∴3＝＋2，即＝－2－3.
根据共面向量定理的推论知：点P与点A，B，C共面．
(2)设＝＋x＋y(x，y∈R)，则
＋x＋y＋＝4－，
∴＋x(－)＋y(－)＋＝4－，
∴(1－x－y－4)＋(1＋x)＋(1＋y)＝0，
由题意知，，均为非零向量，所以x，y满足：
显然此方程组无解，故点P与点A，B，C不共面．
法二：(1)由题意，＝＋＋，
∵＋＋＝1，∴点P与点A，B，C共面．
(2)∵＝4－－，而4－1－1＝2≠1，
∴点P与点A，B，C不共面．
3、已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由＝＋＋λ确定的一点P与A，B，C三点共面，则λ＝________．
　[根据P，A，B，C四点共面的条件，知存在实数x，y，z，使得＝x＋y＋z成立，其中x＋y＋z＝1，于是＋＋λ＝1，所以λ＝.]
4、如图所示，已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC内一定点，O为平面ABC外任一点，则下列能表示向量的为(　　)
A.＋2＋2　
B.－3－2
C.＋3－2
D.＋2－3
C　[因为A，B，C，P四点共面，所以可设＝x＋y，即＝＋x＋y，
由图可知x＝3，y＝－2，故选C.]
5、如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.
求证：向量，，共面．
思路探究：可通过证明＝x＋y求证．
[证明]　因为M在BD上，且BM＝BD，所以＝＝＋.同理＝＋.
所以＝＋＋
＝＋＋＝＋＝＋.
又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面．
6、在长方体ABCD?A1B1C1D1中，M为DD1的中点，点N在AC上，且AN∶NC＝2∶1，求证：与，共面．
[证明]　∵＝－，
＝＋＝－，
＝＝(＋)，
∴＝－
＝(＋)－
＝(－)＋(－)
＝＋，
∴与，共面．
7、如图所示，平行六面体中，、分别在和上，且，
（1）求证：、、、四点共面；
（2）若，求的值．
【答案】（1）证明：
、、、四点共面．
解：
，
，，，
8、证明空间任意无三点共线的四点、、、共面的充分必要条件是：对于空间任一点，存在实数、、且，使得．
【答案】（必要性）依题意知，、、三点不共线，
则由共面向量定理的推论知：四点、、、共面
对空间任一点，存在实数、，使得
，取、、，则有，且．
（充分性）对于空间任一点，存在实数、、且，使得．所以得．
，即：，所以四点、、、共面．
所以，空间任意无三点共线的四点、、、共面的充分必要条件是：
对于空间任一点，存在实数、、且，使得．

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