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空间向量的数量积运算
考向一
公式直接运用
1、已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________．
π　[cos〈a，b〉＝＝＝－.
所以〈a，b〉＝π.]
2．设a⊥b，〈a，c〉＝，〈b，c〉＝，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则向量a＋b＋c的模是________．
　[因为|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)2
＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2(a·b＋a·c＋b·c)
＝1＋4＋9＋2＝17＋6，
所以|a＋b＋c|＝.]
3、已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝(　　)
A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4
【答案】A　[由题意知，p·q＝0，p2＝q2＝1，
所以a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2－2q2＋p·q＝1.]
4、若|a|＝|b|＝4，＝60°，则|a－b|等于
(　　)
A．4　
B．8　
C．37　
D．13
【答案】A
5、已知△ABC，＝c，＝b，＝a，用向量a，b，c的数量积的形式表示△ABC为锐角三角形的充要条件是
(　　)
A．b·c>0，a·c>0
B．a·b>0，b·c>0，a·c>0
C．a·b>0
D．a·b>0，b·c>0，a·c<0
【答案】D
6、已知，，、的夹角为135°，，，则，则＝________.
【答案】
7、已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则使向量a＋λb与λa－2b的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．
【答案】(－1－，－1＋)　[由题意知
即
得λ2＋2λ－2<0.
∴－1－<λ<－1＋.]
考向二
几何体中的数量积运算
1、已知边长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则·的值为(　　)
A．－1
B．0
C．1
D．2
C　[＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)，而＝＋，则·＝(2＋2)＝1，故选C.]
2、如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求值：
①·；
②·；
③·；
④·.
解：①·＝·
＝||||cos〈，〉
＝cos
60°＝.
②·＝·＝||2＝.
③EF·＝·＝－·＝－×cos
60°＝－.
④·＝·(－)
＝·－·
＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉＝cos
60°－cos
60°＝0.
3、
(1)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·＝________.
a2　[·＝·
＝(·＋·)＝(a2cos
60°＋a2cos
60°)＝a2.]
(2)在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则·(＋＋)＝________．
　[＝＋＝＋(＋)
＝＋[(－)＋(－)]
＝＋＋.
∴·(＋＋)＝·(＋＋)
＝2＋2＋2
＝×22＋×32＋×12＝.]
考向三
几何体中的平行与垂直证明
1、已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC.
[解]　连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，
又设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|.
又＝(＋)
＝
＝(a＋b＋c)，＝c－b.
∴·＝(a＋b＋c)·(c－b)
＝(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c)
＝(|a|2·cos
θ－|a|2·cos
θ－|a|2＋|a|2)＝0.
∴⊥，即OG⊥BC.
2、如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面BDG.
[证明]　设＝a，＝b，＝c.
则a·b＝0，a·c＝0，b·c＝0.
而＝＋
＝＋(＋)
＝c＋(a＋b)，
＝－＝b－a，
＝＋
＝(＋)＋
＝(a＋b)－c.
∴·＝·(b－a)
＝c·(b－a)＋(a＋b)·(b－a)
＝c·b－c·a＋(b2－a2)
＝(|b|2－|a|2)＝0.
∴⊥.
∴A1O⊥BD.
同理可证⊥.
∴A1O⊥OG.
又OG∩BD＝O且A1O平面BDG，
∴A1O⊥平面BDG.
3、如图，已知正方体ABCD?A′B′C′D′，CD′与DC′相交于点O，连接AO，求证：
(1)AO⊥CD′；
(2)AC′⊥平面B′CD′.
[证明]　(1)因为＝＋＝＋(＋)，
因为＝－，所以·
＝(＋＋2)·(－)＝(·－·＋·－·＋2·－2·)＝(||2－||2)＝0，所以⊥，故AO⊥CD′.
(2)因为·＝(＋＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·＋·＋·，
可知·＝0，·＝0，
·＝0，·＝||2，
·＝－||2，·＝0，
所以·＝||2－||2＝0，
所以⊥，所以AC′⊥B′C.
同理可证，AC′⊥B′D′.
又B′C，B′D′?平面B′CD′，B′C∩B′D′＝B′，所以AC′⊥平面B′CD′.
考向四
几何体中的模长与角的计算
1、正方体中，向量与的夹角是(　　)
A．30°　　　　　　　　　　
B．45°
C．60°
D．90°
【答案】C
2、设是空间不共面的四点，且满足，，，则是(　　)
A．钝角三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．不确定
【答案】B
3、如图，已知正三棱柱ABC?A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．
90°　[不妨设棱长为2，则1＝－，＝＋，
cos〈，〉＝
＝＝0，故填90°.]
4、如图所示，在一个直二面角α?AB?β的棱上有A，B两点，AC，BD分别是这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，且AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为________．
2　[∵＝＋＋＝－＋，
∴2＝(－＋)2＝2＋2－2·＋2＋2·－2·＝16＋36＋64＝116，∴||＝2.]
5、已知在正四面体D?ABC中，所有棱长都为1，△ABC的重心为G，则DG的长为________．
　
[如图，连接AG并延长交BC于点M，连接DM，∵G是△ABC的重心，∴AG＝AM，
∴＝，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝(＋＋)，而(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2(cos
60°＋cos
60°＋
cos
60°)＝6，∴||＝.]
6、如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点．
(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；
(2)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．
[解]　(1)证明：设＝p，＝q，＝r.
由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三个向量两两夹角均为60°.
＝－＝(＋)－＝(q＋r－p)，
∴·＝(q＋r－p)·p＝(q·p＋r·p－p2)
＝(a2cos
60°＋a2cos
60°－a2)＝0.
∴⊥，即MN⊥AB.
同理可证MN⊥CD.
(2)设向量与的夹角为θ.
∵＝(＋)＝(q＋r)，
＝－＝q－p，
∴·＝(q＋r)·＝
＝
＝＝.
又∵||＝||＝a，
∴·＝||||cos
θ＝a×a×cos
θ＝.
∴cos
θ＝.
∴向量与的夹角的余弦值为，从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为.

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