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空间向量的基本定理以及坐标表示
考向一
空间向量的基底
1、给出下列命题
①已知，则；
②、、、为空间四点，若不构成空间的一个基底，则、、、共面；
③已知，则与任何向量不构成空间的一个基底；
④已知，，是空间的一个基底，则基向量可以与向量构成空间另一个基底．其中所有正确命题的序号为　
　．
【答案】①②④
2、　(1)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间一个基底的向量组有(　　)
A．1个
B．2个　　　　
C．3个　　　　
D．4个
(2)已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底．
(1)C　[如图所示，令a＝，b＝，c＝，
则x＝，y＝，z＝，
a＋b＋c＝.由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，故选C.
]
(2)解：假设，，共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y
使＝x＋y成立，
∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)，
即e1＋2e2－e3＝(y－3x)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3
∴此方程组无解．
即不存在实数x，y使得＝x＋y，
所以，，不共面．
所以{，，}能作为空间的一个基底．
3、若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为空间的一个基底．
[解]　假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，即a＋b＝μa＋λb＋(λ＋μ)c.
∵{a，b，c}是空间的一个基底，∴a，b，c不共面．
∴此方程组无解．
即不存在实数λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，
∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．
故{a＋b，b＋c，c＋a}能作为空间的一个基底．
4、若a＝e1＋e2＋3e3，b＝e1＋e2－2e3，c＝e1－3e2＋2e3，d＝4e1＋6e2＋8e3，d＝αa＋βb＋γc，则α，β，γ的值分别为(　　)
A.
B．
C.
D．
【答案】A
考向二
空间向量分解系数求解
1、如图，四棱锥P?OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC，PB的中点，试用a，b，c表示：，，，.
[解]　连接BO，则＝＝(＋)＝(c－b－a)＝－a－b＋c.
＝＋＝＋＝＋(＋)＝－a－b＋c.
＝＋＝＋＋(＋)＝－a＋c＋
(－c＋b)＝－a＋b＋c.
＝＝＝a.
2、点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且＝，＝，则满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值分别为(　　)
A．－，，　　
B.，－，
C．－，，－
D．－，－，
D　[如图所示，取PC的中点E，连接NE，则＝－＝
－(－)＝－
＝－
＝－－(－＋＋)＝－－＋，比较知x＝－，y＝－，z＝，故选D.]
3、如图，在平行六面体中，，，且，，，试用，，表示向量．
【答案】解：根据向量的三角形法则得，连接，
4、在棱长为1的正方体中，，，分别在棱，，上，且满足，，，是平面，平面与平面的一个公共点，设，则　　
A．
B．
C．
D．
【答案】
正方体中，，，，
，
，，，四点共面，，，，四点共面，
，解得，；
5、如图所示，已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且PM
：MC＝2
：1，N为PD中点，求满足＝x＋y＋z的实数x、y、z的值．
【答案】在PD上取一点F，使PFFD＝2?1，连结MF，则＝＋，
而＝－＝－
＝＝(－)，
＝＝＝－.
∴＝－－＋，
∴x＝－，y＝－，z＝.
6、在平行六面体中，设，，分别是，的中点．
（1）用向量表示，；
（2）若，求实数的值．
【答案】（1）；
（2）.
考向三
空间向量的坐标表示
1、已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4)．求：
(1)a＋b；(2)a－b；(3)a·b；
(4)2a·(－b)；(5)(a＋b)·(a－b)．
[解]　(1)a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)
＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2，2)．
(2)a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)
＝(2－0，－1－(－1)，－2－4)＝(2，0，－6)．
(3)a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1，4)
＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7.
(4)∵2a＝(4，－2，－4)，
∴2a·(－b)＝(4，－2，－4)·(0，1，－4)
＝4×0＋(－2)×1＋(－4)×(－4)＝14.
(5)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝4＋1＋4－(0＋1＋16)＝－8.
2、已知向量，，，，，，求，及．
【答案】解：，，，，，，
由模长公式可得，，
由向量的坐标运算可得，，，，，，，
，，，，，4，
3、已知，，，，0，，，的夹角为，则　　．
【答案】
4、(1)若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)满足条件(c－a)·2b＝－2，则x＝________．
(2)已知O是坐标原点，且A，B，C三点的坐标分别是(2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，3)，求适合下列条件的点P的坐标；
①＝(－)；②＝(－)．
(1)2　[c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)，由(c－a)·2b＝－2得2(1－x)＝－2，解得x＝2.]
(2)解：＝(2，6，－3)，＝(－4，3，1)．
①＝(－)＝(6，3，－4)＝，则点P的坐标为.
②设P(x，y，z)，则＝(x－2，y＋1，z－2)．
∵＝(－)＝，∴
解得x＝5，y＝，z＝0，则点P的坐标为.
5、已知向量＝(2,－2,3)，向量＝(x,1－y,4z)，且平行四边形OACB对角线的中点坐标为(0，，－)，则(x，y，z)＝(　　)
A．(－2，－4，－1)
B．(－2，－4，1)
C．(－2，4，－1)
D．(2，－4，－1)
【答案】A
【解析】由已知＝＋＝(2＋x，－1－y,3＋4z)＝2(0，，－)，
∴，∴x＝－2，y＝－4，z＝－1.故选A.
6、已知，，，若，则的坐标是
.
【答案】
7、已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)．设a＝，b＝.
(1)若|c|＝3，c∥，求c；
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
[解]　(1)∵＝(－2，－1，2)且c∥，
∴设c＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)(λ∈R)．
∴|c|＝＝3|λ|＝3.
解得λ＝±1.∴c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2)．
(2)∵a＝＝(1，1，0)，b＝＝(－1，0，2)，
∴ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．
∵(ka＋b)⊥(ka－2b)，
∴(ka＋b)·(ka－2b)＝0，
即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0，
解得k＝2或k＝－.
8、已知a＝(λ＋1，1，2λ)，b＝(6，2m－1，2)．
(1)若a∥b，分别求λ与m的值；
(2)若|a|＝，且与c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a.
[解]　(1)由a∥b，得
(λ＋1，1，2λ)＝k(6，2m－1，2)，
∴解得
∴实数λ＝，m＝3.
(2)∵|a|＝，且a⊥c，
∴
化简，得解得λ＝－1.
因此，a＝(0，1，－2)．
9、已知，，，，4，，，5，，若，，三向量共面，则　　．
【答案】解：，，，，4，，，5，，
，，三向量共面三向量共面，存在，，使得，
，5，，，，
解得，，．故答案为：
10、空间四点A(2,3,6)，B(4,3,2)，C(0,0,1)，D(2,0,2)的位置关系为(　　)
A．共线
B.共面
C．不共面
D．无法确定
解析：选C　＝(2,0，－4)，＝(－2，－3，－5)，＝(0，－3，－4)，由不存在实数λ，使＝λ成立知，A，B，C不共线，故A，B，C，D不共线；假设A，B，C，D共面，则可设＝x＋y
(x，y为实数)，即由于该方程组无解，故A，B，C，D不共面，故选C.
11、在空间直角坐标系中，已知，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为　　
A．
B．
C．
D．
【答案】日期：2019/7/5
13:03点在直线上运动，存在实数使得，，，
，．
，
当且仅当时，上式取得最小值，
12、在空间直角坐标系中，，，为坐标原点，满足，，则下列结论中不正确的是　　
A．的最小值为
B．的最大值为10
C．最大值为
D．最小值为1
【解答】B在空间直角坐标系中，
，，为坐标原点，满足，，
设，，，，
在中，
，
当，，的最小值为，故正确；
在中，
，
，时，的最大值为8，故错误；
在中，，，，，，
，
时，的最大值为，故正确；
在中，
，
令，
则，
当时取等号，
故取最小值1．故正确

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