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建立空间直角坐标系，找点坐标
考向一
题中有三条两两垂直的直线——直接建系
1、如图，四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1.
请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标
[解]　分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
则P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0)
，A(0，0，0)，B(1，0，0)
2、如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标．
[解]　由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C?xyz，如图所示．B(0，1，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，2)，N(1，0，1)，
∴＝(1，－1，1)，＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)．
3、已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为棱BB1，DC的中点，如图所示建立空间直角坐标系．
(1)写出各顶点的坐标；
(2)写出向量，，的坐标．
[解]　(1)由题图知A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，A1(2，0，2)，B1(2，2，2)，C1(0，2，2)，D1(0，0，2)，
(2)因为E，F分别为棱BB1，DC的中点，
由中点坐标公式，得E(2，2，1)，F(0，1，0)．所以＝(－2，－1，－1)，＝(－2，－1，－2)，＝(0，2，－1)．
考向二
侧棱垂直于底面——做辅助线建系
1、如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD=2，M为AE的中点.
请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标
[证明]　建立如图所示的空间直角坐标系C?xyz，
C(0，0，0)，A(，1，0)，B(0，2，0)，E(0，0，2)，D(0，2，1)，M
．
2、如图，四棱锥P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=BC＝CD＝2，AC＝4，∠ACB＝∠ACD＝，F为PC的中点.请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标
[解]　如图，连接BD交AC于O，因为BC＝CD，即△BCD为等腰三角形，又AC平分∠BCD，故AC⊥BD.以O为坐标原点，分别以，，为正交基底建立空间直角坐标系O?xyz.
因为OC＝CDcos
＝1，AC＝4，所以AO＝AC－OC＝3，又OB＝OD＝CDsin
＝，故A(0，－3，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，D(－，0，0)，P(0，－3，2)
，F（0，-1,1）。
3、　如图，四棱锥P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标
以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A?xyz.
由题意知P(0，0，4)，M(0，2，0)，C(，2，0)，N，A(0，0，0)，D(0，3，0),B(,-1，0)
4如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD=2．请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标
【解析】由题设知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，，建立如图所示的空间直角坐标系，则
考向三
侧面垂直于底面——做辅助线建系
1、如图所示，正三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．
请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标
【解析】如图所示，取BC的中点O，连接AO.因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC.
因为在正三棱柱ABC?A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.
取B1C1的中点O1，以O为原点，以，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A1(0，2，)，A(0，0，)，B1(1，2，0)，C(-1，0，0),
C1(-1，2，0).
2、已知正三棱柱ABC?A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是边AC，A1C1的中点，AB1=2，请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标
[解]　(1)如图建立空间直角坐标系，
由题意得A(0，－1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，B1(，0,2)，C1(0，1，2)，
3、如图，在三棱柱OAB?O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标．
[解]　建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0，0，0)，O1(0，1，)，A(，0，0)，A1(，1，)，B(0，2，0)，B1(0，3，).
考向四
正棱锥——作辅助线建系
1、如图，在正四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，O是AC与BD的交点，PO＝1，M是PC的中点．
在如图的空间直角坐标系中，求的坐标；还可以怎么建系？
[解]　＝(1，0，0)，＝(0，1，0)．
∵A(0，0，0)，O，P，∴＝－＝，
∴＝－a＋b＋c＝－(1，0，0)＋(0，1，0)＋＝.法二建系：以点O为原点，OA,OB,OP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系
2、已知在正四面体A?BCD中，E为棱AD的中点，AB＝2，请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标．
解析：作AO⊥平面BCD于点O，则O是△BCD的中心，以O为坐标原点，直线OD为y轴，直线OA为z轴建立空间直角坐标系，如图所示．则O(0，0，0)，A，C，E，B,-

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