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用空间向量解决平行与垂直的证明
考向一
用坐标法证明平行问题
1、在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD．
【答案】见解析
【解析】法一　如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，M，N，于是＝(1,0,1)，＝(1,1,0)，＝.
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则即取x＝1，则y＝－1，z＝－1，∴平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．
又·n＝·(1，－1，－1)＝0，∴⊥n.∴MN∥平面A1BD．
法二　＝－＝－＝(－)＝，∴∥，∴MN∥平面A1BD．
法三　＝－＝－＝－＝－＝－.
即可用与线性表示，故与，是共面向量，故MN∥平面A1BD．
2、如图所示，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，过点E作EF⊥PB于点F.
求证：PA∥平面EDB；
[证明]　以D为坐标原点，射线DA，DC，DP分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系D?xyz.
设DC＝a.
(1)连接AC交BD于点G，连接EG.
依题意得A(a,0,0)，P(0,0，a)，C(0，a,0)，E.
因为底面ABCD是正方形，
所以G为AC的中点
故点G的坐标为，
所以＝(a,0，－a)，＝，
则＝2，故PA∥EG.
而EG?平面EDB，PA?平面EDB，
所以PA∥平面EDB.
3、如图，在四面体A?BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.
求证：PQ∥平面BCD.
证明：如图，取BD的中点O，以O为坐标原点，OD，OP所在直线分别为y轴，z轴，建立空间直角坐标系O?xyz.
由题意知，A(0，，2)，B(0，－，0)，D(0，，0)．
设点C的坐标为(x0，y0,0)．
因为＝3，
所以Q.
因为M为AD的中点，故M(0，，1)．
又P为BM的中点，故P，
所以＝.
又平面BCD的一个法向量为a＝(0,0,1)，
故·a＝0.
又PQ?平面BCD，所以PQ∥平面BCD.
4、如图所示，在底面是矩形的四棱锥P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.
求证：EF∥平面PAB；
[证明]　以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，所以E，F，＝，＝(1,0，－1)，＝(0,2，－1)，＝(0,0,1)，＝(0,2,0)，＝(1,0,0)，＝(1,0,0)．
因为＝－，所以∥，即EF∥AB.
又AB?平面PAB，EF?平面PAB，所以EF∥平面PAB.
5、在如图3?2?4所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥平面DEG.
图3?2?4
[证明]　∵EF⊥平面AEB，AE?平面AEB，BE?平面AEB，
∴EF⊥AE，EF⊥BE.
又∵AE⊥EB，∴EB，EF，EA两两垂直．
以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
由已知得，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，F(0,3,0)，D(0,2,2)，G(2，2,0)，∴＝(0,2,2)，＝(2,2,0)，＝(2,0，－2)．
设平面DEG的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令y＝1，得z＝－1，x＝－1，则n＝(－1,1，－1)，
∴·n＝－2＋0＋2＝0，即⊥n.
∵AB?平面DEG，
∴AB∥平面DEG.
考向二
用坐标法证明垂直问题
1、在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．
求证：
B1D⊥平面ABD；
证明：(1)以B为坐标原点，BA、BC、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，设BA＝a，则A(a,0,0)，
所以＝(a,0,0)，＝(0,2,2)，＝(0,2，－2)，
·＝0，·＝0＋4－4＝0，即B1D⊥BA，B1D⊥BD.
又BA∩BD＝B，因此B1D⊥平面ABD.
2、如图所示，正三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求证：AB1⊥平面A1BD．
【答案】见解析
【解析】法一：如图所示，取BC的中点O，连接AO.因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC．
因为在正三棱柱ABC?A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.
取B1C1的中点O1，以O为原点，以，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)．
所以＝(1,2，－)，＝(－1,2，)，＝(－2,1,0)．
因为·＝1×(－1)＋2×2＋(－)×＝0.
·＝1×(－2)＋2×1＋(－)×0＝0.
所以⊥，⊥，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD．
又因为BA1∩BD＝B，所以AB1⊥平面A1BD．
法二：建系同方法一．
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则，即
令x＝1得平面A1BD的一个法向量为n＝(1,2，－)，
又＝(1,2，－)，所以n＝，即∥n.
所以AB1⊥平面A1BD．
3、如图所示，在底面是矩形的四棱锥P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.
求证：平面PAD⊥平面PDC.
[证明]　以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，所以E，F，＝，＝(1,0，－1)，＝(0,2，－1)，＝(0,0,1)，＝(0,2,0)，＝(1,0,0)，＝(1,0,0)．
因为·＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，·＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，
所以⊥，⊥，即AP⊥DC，AD⊥DC.
又AP∩AD＝A，AP?平面PAD，AD?平面PAD，所以DC⊥平面PAD.因为DC?平面PDC，
所以平面PAD⊥平面PDC.
4、如图，在三棱锥P?ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.
(1)证明：AP⊥BC；
(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3.试证明平面AMC⊥平面BMC.
证明：(1)以O为坐标原点，以射线OD为y轴正半轴，射线OP为z轴正半轴建立如图所示的空间直角坐标系O?xyz.
则O(0,0,0)，A(0，－3,0)，B(4,2,0)，C(－4,2,0)，P(0,0,4)．
于是＝(0,3,4)，＝(－8，0,0)，
所以·＝(0,3,4)·(－8,0,0)＝0，
所以⊥，即AP⊥BC.
(2)由(1)知AP＝5，又AM＝3，且点M在线段AP上，
所以＝＝，又＝(－4，－5,0)，
所以＝＋＝，
则·＝(0,3,4)·＝0，
所以⊥，即AP⊥BM，
又根据(1)的结论知AP⊥BC，且BC∩BM＝B，
所以AP⊥平面BMC，于是AM⊥平面BMC.
又AM?平面AMC，故平面AMC⊥平面BMC.
5、如图所示，已知四棱锥P?ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，平面PBC⊥底面ABCD.求证：
(1)PA⊥BD；
(2)平面PAD⊥平面PAB.
证明：(1)取BC的中点O，连接PO，
∵△PBC为等边三角形，∴PO⊥BC.
∵平面PBC⊥底面ABCD，平面PBC∩底面ABCD＝BC，PO?平面PBC，
∴PO⊥底面ABCD.
以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
不妨设CD＝1，则AB＝BC＝2，PO＝，
∴A(1，－2,0)，B(1,0,0)，D(－1，－1,0)，P(0,0，)，
∴＝(－2，－1,0)，＝(1，－2，－)．
∵·＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－)＝0，
∴⊥，∴PA⊥BD.
(2)取PA的中点M，连接DM，则M.
∵＝，＝(1,0，－)，
∴·＝×1＋0×0＋×(－)＝0，
∴⊥，即DM⊥PB.
∵·＝×1＋0×(－2)＋×(－)＝0，
∴⊥，即DM⊥PA.
又∵PA∩PB＝P，PA?平面PAB，PB?平面PAB，
∴DM⊥平面PAB.
∵DM?平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.
6、如图1，在四棱锥中，底面是正方形，⊥底面，且，是的中点．求证：
（1）直线平面；
（2）平面平面．
图1
图2
【答案】见解析
【解析】如图2，以A为原点，
AB，AD，AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz，设，则，，，，，
易得，
设平面的法向量为，则，即
取，可得平面的一个法向量为
又，所以，所以，所以直线平面
方法1：如图2，连接交于点，连接，则点的坐标为
易得，，显然，故，所以
又⊥底面，所以⊥底面
又平面，所以平面平面
方法2：易得，
设平面的法向量为，则，即
取，得，，所以平面的一个法向量为
⊥底面，可得是平面的一个法向量
因为，所以，所以平面平面
考向三
用坐标法解决探索性问题
1、如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BC⊥AC，BC＝AC＝AA1＝2，D为AC的中点．
(1)求证：AB1∥平面BDC1；
(2)设AB1的中点为G，问：在矩形BCC1B1内是否存在点H，使得GH⊥平面BDC1.若存在，求出点H的位置，若不存在，说明理由．
【答案】见解析
【解析】(1)证明：连接B1C，设B1C∩BC1＝M，连接MD，
在△AB1C中，M为B1C中点，D为AC中点，
∴DM∥AB1，
又∵AB1不在平面BDC1内，DM在平面BDC1内，
∴AB1∥平面BDC1.
(2)以C1为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系．
依题意，得C1(0,0,0)，D(1,2,0)，B(0,2,2)，G(1,1,1)，假设存在H(0，m，n)，
＝(－1，m－1，n－1)，＝(1,2,0)，＝(－1,0,2)，
由GH⊥平面BC1D，得
⊥?(－1，m－1，n－1)·(1,2,0)＝0?m＝.
同理，由⊥得n＝，即在矩形BCC1B1内存在点H，使得GH⊥平面BDC1.
此时点H到B1C1的距离为，到C1C的距离为.
2、如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，E，F分别为PA，BD中点，PA＝PD＝AD＝2.
(1)求证：EF∥平面PBC；
(2)在棱PC上是否存在一点G，使GF⊥平面EDF？若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由．
　
【答案】见解析
【解析】(1)证明：如图所示，连接AC.因为底面ABCD是正方形，AC与BD互相平分．F是BD中点，所以F是AC中点．在△PAC中，E是PA中点，F是AC中点，所以EF∥PC.
又因为EF?平面PBC，PC?平面PBC，所以EF∥平面PBC.
(2)取AD中点O，连接PO.在△PAD中，PA＝PD，所以PO⊥AD.
因为平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PO⊥平面ABCD.
因为OF?平面ABCD，所以PO⊥OF.
又因为F是AC中点，所以OF⊥AD.
以O为原点，OA，OF，OP分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
因为PA＝PD＝AD＝2，所以OP＝，则C(－1,2,0)，D(－1,0,0)，P(0,0，)，E，F(0,1,0)．
于是＝，＝(1,1,0)．
设平面EFD的法向量n＝(x0，y0，z0)．
因为所以即
令x0＝1，则n＝(1，－1，－)．
假设在棱PC上存在一点G，使GF⊥平面EDF.
设G(x1，y1，z1)，则＝(x1，y1－1，z1)．
因为EDF的一个法向量n＝(1，－1，－)．
因为GF⊥平面EDF，所以＝λn.
于是即
又因为点G在棱PC上，所以与共线．
因为＝(－1,2，－)，＝(x1＋1，y1－2，z1)，
所以＝＝，
即＝＝，无解．故在棱PC上不存在一点G，使GF⊥平面EDF.

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