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用空间向量求线线角，线面角
考向一
用坐标法求异面直所成角
1、如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为(　　)
A.　　　　　　　
B.
C.
D.
解析：选C　建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则B1(2,2,2)，M(1,1,0)，D1(0，0,2)，N(1,0,0)，∴＝(－1，－1，－2)，
＝(1,0，－2)，
∴B1M与D1N所成角的余弦值为＝＝.
2、如图所示，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是(　　)
A．30°　　　　　　　　
B．45°
C．60°
D．90°
解析：选C　以B为坐标原点，以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系如图所示．设AB＝BC＝AA1＝2，则C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，∴＝(0，－1，1)，＝(2,0,2)，∴·＝2，∴cos〈，〉＝＝，则EF和BC1所成的角是60°，故选C.
3、如图，正三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱长都相等，E，F，G分别为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选A　设正三棱柱的棱长为2，取AC的中点D，连接DG，DB，分别以DA，DB，DG所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则B1，F(1,0,1)，
E，G(0,0,2)，
＝，＝，
＝(1,0，－1)．
设平面GEF的法向量n＝(x，y，z)，
则即
取x＝1，则z＝1，y＝，
故n＝为平面GEF的一个法向量，
所以cos〈n，〉＝＝－，
所以B1F与平面GEF所成角的正弦值为.
4、若平行六面体的底面是边长为2的菱形，且，⊥底面ABCD，，则异面直线与所成角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】连交于，交于，连，则，
⊥底面ABCD，底面ABCD，
底面是边长为2的菱形，，
，
以点为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，
，
，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：A.
5、在正方体中，P是侧面上的动点，与垂直，则直线与直线AB所成角的正弦值的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则，设，其中，
则，
因为与垂直，所以，所以，
所以，
因为，所以当时，取得最大值，
此时取得最小值；
6.如图，在四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值．
解：(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD.
因为PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
所以PA⊥BD.
又因为AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC.
(2)设AC∩BD＝O.
因为∠BAD＝60°，PA＝AB＝2，
所以BO＝1，AO＝CO＝.
如图，以O为坐标原点，射线OB，OC分别为x轴，y轴的正半轴建立空间直角坐标系O?xyz，
则P(0，－，2)，A(0，－，0)，B(1,0,0)，C(0，，0)，
所以＝(1，，－2)，＝(0，2，0)．
设PB与AC所成角为θ，
则cos
θ＝＝＝.
即PB与AC所成角的余弦值为.
7、如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.
(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；
(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．
【答案】见证明
【解析】(1)证明　如图所示，连结BD，设BD∩AC＝G，连结EG，FG，EF.
在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.
由∠ABC＝120°，
可得AG＝GC＝.
由BE⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，可知AE＝EC.
又AE⊥EC，所以EG＝，且EG⊥AC.
在Rt△EBG中，可得BE＝，故DF＝.
在Rt△FDG中，可得FG＝.
在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝，DF＝，可得EF＝，从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.
又AC∩FG＝G，AC，FG?平面AFC，
所以EG⊥平面AFC.
因为EG?平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.
(2)如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC所在直线为x轴、y轴，||为单位长度，建立空间直角坐标系G－xyz，由(1)可得A(0，－，0)，E(1,0，)，F，C(0，，0)，
所以＝(1，，)，＝.
故cos〈，〉＝＝－.所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为.
考向二
用坐标法求线面角
1、在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】以点为坐标原点，以所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则,
为平面的一个法向量．
．
∴直线与平面所成角的正弦值为.故选：D．
2、已知在正四面体A?BCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
B　[
作AO⊥平面BCD于点O，则O是△BCD的中心，以O为坐标原点，直线OD为y轴，直线OA为z轴建立空间直角坐标系，如图所示．设AB＝2，则O(0，0，0)，A，C，E，∴＝，＝，∴cos〈，〉＝＝＝.∴CE与平面BCD的夹角的正弦值为.]
3、如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.则A1B与平面ABD所成角的正弦值为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
A　[以C为坐标原点，CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，CC1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
设CA＝CB＝a，则A(a，0，0)，B(0，a，0)，A1(a，0，2)，D(0，0，1)，∴E，G，＝，＝(0，－a，1)．∵点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，∴⊥平面ABD，∴·＝0，解得a＝2，∴＝，＝(2，－2，2)，∵⊥平面ABD，∴为平面ABD的一个法向量．又cos〈，〉＝＝＝，∴A1B与平面ABD所成角的正弦值为.]
4、如图，正三角形ABC与正三角形BCD所在的平面互相垂直，则直线CD与平面ABD所成角的正弦值为________．
　[取BC的中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系O?xyz.
设BC＝1，则A，B，C，D，所以＝，＝，＝.
设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，则，所以，取x＝1，则y＝－，z＝1，所以n＝(1，－，1)，所以cos〈n，〉＝，因此直线CD与平面ABD所成角的正弦值为.]
5、在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为________．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系D?xyz，由于AB＝2，BC＝AA1＝1，所以A1(1,0,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,1)，D1(0,0,1)，所以＝(－1,2,0)，＝(－1,0,1)，＝(0,2,0)．设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，则有即令x＝2，得y＝1，z＝2，则n＝(2,1,2)．设D1C1与平面A1BC1所成角为θ，则sin
θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，即D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为.
答案：
6、已知正四棱锥P-ABCD的侧棱与底面所成角为60°，M为PA中点，连接DM，则DM与平面PAC所成角的大小是________．
【答案】45°
【解析】设底面正方形的边长为a，由已知可得正四棱锥的高为a，
建立如图所示空间直角坐标系，
则平面PAC的法向量为，D，，
P，M，＝，
所以＝＝，所以DM与平面PAC所成角为45°.
7、四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M为棱AE的中点．
(1)求证：平面BDM∥平面EFC；
(2)若DE＝2AB，求直线AE与平面BDM所成角的正弦值．
[解]　(1)证明：连接AC交BD于点N，连接MN，
则N为AC的中点，
又M为AE的中点，∴MN∥EC.
∵MN?平面EFC，EC?平面EFC，
∴MN∥平面EFC.
∵BF，DE都与平面ABCD垂直，∴BF∥DE.
∵BF＝DE，
∴四边形BDEF为平行四边形，∴BD∥EF.
∵BD?平面EFC，EF?平面EFC，
∴BD∥平面EFC.
又MN∩BD＝N，∴平面BDM∥平面EFC.
(2)∵DE⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，
∴DA，DC，DE两两垂直，如图，建立空间直角坐标系D?xyz.
设AB＝2，则DE＝4，从而D(0,0,0)，B(2,2,0)，M(1,0,2)，A(2,0,0)，E(0,0,4)，
∴＝(2,2,0)，＝(1,0,2)，
设平面BDM的法向量为n＝(x，y，z)，
则得
令x＝2，则y＝－2，z＝－1，
从而n＝(2，－2，－1)为平面BDM的一个法向量．
∵＝(－2,0,4)，设直线AE与平面BDM所成的角为θ，
则sin
θ＝|cos
?n，＝，
∴直线AE与平面BDM所成角的正弦值为.
8、如图，已知四棱锥，底面为菱形，，，，，，为的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若点在线段上，当直线与平面所成角的正弦值为时，求线段的长.
【答案】(1)见解析.(2)2.
【解析】
(1)证明：由题意易得，且，
在中，，
∴，∴，
在中，，
∴，又，
∴面，又∴面，
∴平面平面.
（2）由（1）可知面，所以以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，
设平面的一个法向量为，
由，则令，，，所以，
∴，
解得或（舍），故BN=2.

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