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用空间向量求解二面角，点面距
考向一
用坐标法求二面角
1、如图，三棱锥的侧棱长都相等，底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，为线段的中点，为直线上的动点，若平面与平面所成锐二面角的平面角为，则的最大值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，
则，所以
设，
由为线段的中点，
则，
由，
所以，
以为原点，为轴，为轴，为轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，设，
，，，，
设平面的一个法向量，
则，即，
令，则，，
所以.
设平面的一个法向量，
则，即，
解得，令，则，
所以，
平面与平面所成锐二面角的平面角为，
则，
将分子、分母同除以，可得
令，
当时，，
则的最大值为：.故选：D
2、如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF位置，OD′＝.
(1)证明：D′H⊥平面ABCD；
(2)求二面角B?D′A?C的余弦值．
[解]　(1)证明：由四边形ABCD为菱形，得AC⊥BD.
由AE＝CF＝，得＝，所以EF∥AC.
因此EF⊥DH，从而EF⊥D′H.
由AB＝5，AC＝6，得DO＝BO＝＝4.
由EF∥AC得＝＝，
所以OH＝1，D′H＝DH＝3，
则OD′2＝OH2＋D′H2，所以D′H⊥OH.
又OH∩EF＝H，所以D′H⊥平面ABCD.
(2)以H为坐标原点，HB，HF，HD′分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系H?xyz，如图所示．
则B(5,0,0)，C(1,3,0)，D′(0,0,3)，A(1，－3,0)，
(由口诀“起点同”，我们先求出起点相同的3个向量．)
所以＝(4,3,0)，
＝(－1,3,3)，＝(0,6,0)．
(由口诀“棱排前”，我们用行列式求出两个平面的法向量．)
由
可得平面ABD′的法向量n1＝(－3,4，－5)，
由
可得平面AD′C的法向量n2＝(－3,0，－1)．
于是cos〈n1，n2〉＝＝.
所以二面角B?D′A?C的余弦值为.
3、如图所示，四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，△DAB≌△DCB，E为线段BD上的一点，且EB＝ED＝EC＝BC，连接CE并延长交AD于F.
(1)若G为PD的中点，求证：平面PAD⊥平面CGF；
(2)若BC＝2，PA＝3，求二面角B?CP?D的余弦值．
解：(1)证明：在△BCD中，EB＝ED＝EC＝BC，
故∠BCD＝90°，∠CBE＝∠BEC＝60°.
∵△DAB≌△DCB，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ABE＝∠CBE＝60°，∴∠FED＝∠BEC＝∠ABE＝60°.
∴AB∥EF，∴∠EFD＝∠BAD＝90°，
∴EF⊥AD，AF＝FD.
又PG＝GD，∴GF∥PA.
又PA⊥平面ABCD，∴GF⊥平面ABCD，
∵AD?平面ABCD，∴GF⊥AD.
又GF∩EF＝F，∴AD⊥平面CGF.
又AD?平面PAD，∴平面PAD⊥平面CGF.
(2)以A为坐标原点，射线AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(3，，0)，D(0,2，0)，P(0,0,3)，
故＝(－1，－，0)，
＝(－3，－，3)，＝(－3，，0)．
设平面BCP的一个法向量为n1＝(1，y1，z1)，
则即解得
即n1＝.
设平面DCP的一个法向量为n2＝(1，y2，z2)，
则即解得
即n2＝(1，，2)．
所以cos〈n1，n2〉＝＝＝，
由图知二面角B?CP?D为钝角，
所以二面角B?CP?D的余弦值为－.
4、如图所示，多面体是由底面为的直四棱柱被截面所截而得到的，该直四棱柱的底面为菱形，其中，，，．
(1)求的长；
(2)求平面与底面所成锐二面角的余弦值．
【答案】(1)
；(2)
【解析】因为多面体是由底面为的直四棱柱被截面所截而得到的，
所以平面平面，又平面平面,平面平面,
所以，同理，所以四边形是平行四边形，
连结,交于，以为原点，所在直线分别为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
，，，，
所以，，
所以，所以,
所以的长为.
(2)根据题意可取平面的一个法向量为，
由(1)知，，设平面的法向量为，则
由，得，即，
令，则，，所以，
所以，
所以平面与底面所成锐二面角的余弦值为.
5、如图，四棱锥中，平分...
（1）设E是的中点，求证：平面；
（2）设平面，若与平面所成的角为45°，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：，即能被平面内两个不共线的向量表示，且平面，
平面；
（2）因为平面，且平面，故为与平面所成的角，故，从而.
不妨设，由已知可得，，，，到的距离为.以A坐标原点，，分别为y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
.
∵平面，∴，又∵，∴平面
∴是平面的一个法向量.
设平面的一个法向量为，
由得即得.
设所求的角为，则为锐角，则，
即所求的二面角的余弦值为.
6、如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.
【答案】（1）由题设可得，，从而
又是直角三角形，所以
取的中点，连结，
则
又由于是正三角形，故
所以为二面角的平面角
在中，
又，所以
，故
所以平面平面
（2）由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，则
由题设知，四面体的体积为四面体的体积的，从而到平面的距离为到平面的距离的，即为的中点，得，故
设是平面的法向量，则同理可取
则
所以二面角的余弦值为
考向二
用坐标法求点面距
1、在棱长为2的正方体中，，分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，设点为的中点，则点到平面的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
则M（2，λ，2），D1（0，0，2），E（2，0，1），F（2，2，1），
＝（﹣2，0，1），＝（0，2，0），＝（0，λ，1），
设平面D1EF的法向量＝（x，y，z），
则
，取x＝1，得＝（1，0，2），
∴点M到平面D1EF的距离为：
d＝，N为EM中点，所以N到该面的距离为
，选D．
2、在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bie
nao）.已知在鳖臑中，平面，，为的中点，则点到平面的距离为_____．
【答案】
【解析】以B为坐标原点，BA,BC所在直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，如图，
则
,由为的中点可得;
,
.
设为平面的一个法向量，则,即，
令，可得，点到平面的距离为.
3、边长为1的等边三角形ABC中，沿BC边高线AD折起，使得折后二面角B－AD－C为60°，点D到平面ABC的距离为________．
【答案】
【解析】如图所示，AD⊥平面BCD，AD＝，
BD＝CD＝BC＝，
∴VA－BCD＝×AD×S△BCD.
又∵VA－BCD＝VD－ABC＝×h×S△ABC，
∴由等积法可解得h＝.
4、如图所示，在长方体中，，，点在棱上移动．
（1）证明：；
（2）当为的中点时，求点到平面的距离；
【答案】如图所示，以为坐标原点，直线、、分别为，轴，建立空间直角坐标系．设，则，，，．
⑴
证明：因，
则，即．
⑵
；
5、如图：正三棱柱的底面边长为，是延长线上一点，且，二面角的大小为；
（1）求点到平面的距离；
（2）若是线段上的一点
，且，在线段上是否存在一点，使直线平面？
若存在，请指出这一点的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）存在,当时，知平面.
【解析】（1）设为的中点，则，在正三棱柱中，平面,而平面，所以，而,因此平面，而平面，所以有
为二面角的平面角，
如下图所示：
，,
侧棱；
又
,知
点
到平面的距离
（2）由（1）可知，，，，当时，有
成立，而
平面
，所以
平面，故存在，当时，符合题意。

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