资源简介

5.1　任意角和弧度制
5.1.1　任意角
学
习
目
标
核
心
素
养
1.理解任意角的概念．2．掌握终边相同角的含义及其表示．(重点、难点)3．掌握轴线角、象限角及区间角的表示方法．(难点、易混点)
1.通过终边相同角的计算，培养数学运算素养．2．借助任意角的终边位置的确定，提升逻辑推理素养.
现实生活中随处可见超过0°～360°范围的角．例如，体操中有“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”这样的动作名称，这里不仅有超出0°～360°范围的角，而且旋转的方向也不相同．
问题：要准确地描述这些现象，不仅要知道旋转的度数，还要知道旋转的方向，你知道在数学中是如何表示此种现象的吗？
提示：借助正角、负角的概念．
1．角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
2．角的表示
如图，(1)始边：射线的起始位置OA，
(2)终边：射线的终止位置OB，
(3)顶点：射线的端点O.
这时，图中的角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．
3．任意角的分类
(1)按旋转方向分
(2)按角的终边位置分
①前提：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．
②分类：
4．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
思考：终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？
提示：终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍；相等的角，终边相同．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)第二象限角大于第一象限角．
(　　)
(2)第二象限角是钝角．
(　　)
(3)终边相同的角一定相等．
(　　)
(4)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．
(　　)
[提示]　(1)错误．如第二象限角100°小于第一象限角361°.
(2)错误．如第二象限角－181°不是钝角．
(3)错误．终边相同的角可表示为α＝β＋k·360°，k∈Z，即α与β不一定相等．
(4)正确．
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．下列说法正确的是(　　)
A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角
B．第四象限的角一定是负角
C．60°角与600°角是终边相同的角
D．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角为60°
D　[A错误，90°角既不是第一象限角也不是第二象限角；
B错误，280°角是第四象限角，但它不是负角；
C错误，600°－60°＝540°不是360°的倍数；
D正确，分针转一周为60分钟，转过的角度为－360°，将分针拨慢是逆时针旋转，拨慢10分钟转过的角为360°×＝60°.]
3．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把终边按顺时针方向旋转2周，所得角是________．
－670°　[由题意知，所得角是50°－2×360°＝－670°.]
4．已知0°≤α＜360°，且α与600°角终边相同，则α＝________，它是第________象限角．
240°　三　[因为600°＝360°＋240°，所以240°角与600°角终边相同，且0°≤240°＜360°，故α＝240°，它是第三象限角．]
角的有关概念的判断
【例1】　(1)给出下列说法：
①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．
其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．
(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．
①420°.②855°.③－510°.
(1)①　[①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；
②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；
③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；
④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．]
(2)[解]　作出各角的终边，如图所示：
由图可知：
①420°是第一象限角．
②855°是第二象限角．
③－510°是第三象限角．
1．理解角的概念的关键与技巧：
(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．
(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可．
2．象限角的判定方法：
(1)在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．
(2)第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式；
第二步，判断β的终边所在的象限；
第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．
提醒：理解任意角这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．
1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是(　　)
A．A＝B＝C　　
B．A?C
C．A∩C＝B
D．B∪C?C
D　[由已知得BC，所以B∪C＝C，
故D正确．]
2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
D　[－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，
360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－360°＜－315°＜－270°.所以这四个命题都是正确的．]
终边相同的角的表示及应用
【例2】　(1)写出与α＝－1
910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．
(2)写出终边在直线y＝x上的角的集合S.S中满足不等式－360°≤β＜720°的元素β有哪些？
[解]　(1)与α＝－1
910°终边相同的角的集合为
{β|β＝k·360°－1
910°，k∈Z}．
∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1
910°＜360°(k∈Z)，∴3≤k＜6(k∈Z)，故取k＝4,5,6.
k＝4时，β＝4×360°－1
910°＝－470°；
k＝5时，β＝5×360°－1
910°＝－110°；
k＝6时，β＝6×360°－1
910°＝250°.
(2)如图，在直角坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：45°，225°.因此，终边在直线y＝x上的角的集合
S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋n·180°，n∈Z}．
S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β有
45°－2×180°＝－315°，
45°－1×180°＝－135°，
45°＋0×180°＝45°，
45°＋1×180°＝225°，
45°＋2×180°＝405°，
45°＋3×180°＝585°.
1．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法
(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角．
(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止．
2．运用终边相同的角的注意点
所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：
(1)k是整数，这个条件不能漏掉．
(2)α是任意角．
(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.
(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．
提醒：表示终边相同的角，k∈Z这一条件不能少．
3．下面与－850°12′终边相同的角是(　　)
A．230°12′　　
B．229°48′
C．129°48′
D．130°12′
B　[与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k·360°(k∈Z)，当k＝3时，α＝－850°12′＋1
080°＝229°48′.]
4．在－360°～360°之间找出所有与下列各角终边相同的角，并判断各角所在的象限．
①790°；②－20°.
[解]　①∵790°＝2×360°＋70°＝3×360°－290°，
∴在－360°～360°之间与它终边相同的角是70°和－290°，它们都是第一象限的角．
②∵－20°＝－360°＋340°，
∴在－360°～360°之间与它终边相同的角是340°，它们都是第四象限的角．
任意角终边位置的确定和表示
[探究问题]
1．若射线OA的位置是k·360°＋10°，k∈Z，射线OA绕点O逆时针旋转90°经过的区域为D，则终边落在区域D(包括边界)的角的集合应如何表示？
提示：终边落在区域D包括边界的角的集合可表示为{α|k·360°＋10°≤α≤k·360°＋100°，k∈Z}．
2．若角α与β的终边关于x轴、y轴、原点、直线y＝x对称，则角α与β分别具有怎样的关系？
提示：(1)关于x轴对称：若角α与β的终边关于x轴对称，则角α与β的关系是β＝－α＋k·360°，k∈Z.
(2)关于y轴对称：若角α与β的终边关于y轴对称，则角α与β的关系是β＝180°－α＋k·360°，k∈Z.
(3)关于原点对称：若角α与β的终边关于原点对称，则角α与β的关系是β＝180°＋α＋k·360°，k∈Z.
(4)关于直线y＝x对称：若角α与β的终边关于直线y＝x对称，则角α与β的关系是β＝－α＋90°＋k·360°，k∈Z.
【例3】　(1)若α是第一象限角，则－是(　　)
A．第一象限角
B．第一、四象限角
C．第二象限角
D．第二、四象限角
(2)已知，如图所示．
①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
[思路点拨]　(1)
(2)①→
(1)D　[因为α是第一象限角，所以k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，
所以k·180°＜＜k·180°＋45°，k∈Z，
所以是第一、三象限角，
又因为－与的终边关于x轴对称，
所以－是第二、四象限角．]
(2)[解]　①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；
终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
1．若将本例(2)改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？
[解]　在0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60°≤β＜105°与240°≤β＜285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β＜k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β＜k·360°＋285°，k∈Z}
＝{β|2k·180°＋60°≤β＜2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β＜(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}
＝{β|n·180°＋60°≤β＜n·180°＋105°，n∈Z}．
故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β＜n·180°＋105°，n∈Z}．
2．若将本例(2)改为如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？
[解]　在0°～360°范围内，阴影部分(包括边界)表示的范围可表示为：150°≤β≤225°，则所有满足条件的角β为{β|k·360°＋150°≤β≤k·360°＋225°，k∈Z}．
1．表示区间角的三个步骤：
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．
2．nα或所在象限的判断方法：
(1)用不等式表示出角nα或的范围；
(2)用旋转的观点确定角nα或所在象限．
例如：k·120°＜＜k·120°＋30°，k∈Z.
由0°＜＜30°，每次逆时针旋转120°可得终边的位置．
提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异．
1．掌握3个知识点
(1)任意角的概念．
(2)终边相同的角与象限角．
(3)区域角的表示．
2．掌握1种方法——数形结合
由α所在象限，确定所在象限，可用如下方法判断：
(1)画出区域：将坐标系每个象限二等分，得到8个区域；
(2)标号：自x轴正向逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(如图所示)；
(3)确定区域：找出与角α所在象限标号一致的区域，即为所求．
3．规避2个易错
(1)锐角与小于90°角的区别．
(2)终边相同角的表示中漏掉k∈Z.
1．下列角中，终边在y轴非负半轴上的是(　　)
A．45°　　　
B．90°　　　
C．180°　
D．270°
B　[根据角的概念可知，90°角是以x轴的非负半轴为始边，逆时针旋转了90°，故其终边在y轴的非负半轴上．]
2．下列各个角中与2
019°终边相同的是(　　)
A．－149°
B．679°
C．319°
D．219°
D　[因为2
019°＝360°×5＋219°，所以与2
019°终边相同的角是219°.]
3．已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是________．
{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}　[观察图形可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}．]
4．若角α的终边与75°角的终边关于直线y＝0对称，且－360°＜α＜360°，则角α的值为________．
－75°或285°　[如图，设75°角的终边为射线OA，射线OA关于直线y＝0对称的射线为OB，则以射线OB为终边的一个角为－75°，所以以射线OB为终边的角的集合为{α|α＝k·360°－75°，k∈Z}．又－360°＜α＜360°，令k＝0或1，得α＝－75°或285°.]
5．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角：
(1)－120°；(2)640°.
[解]　(1)与－120°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝－120°＋k·360°，k∈Z}．
当k＝1时，β＝－120°＋1×360°＝240°，
∴在0°到360°范围内，与－120°终边相同的角是240°，它是第三象限的角．
(2)与640°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝640°＋k·360°，k∈Z}．
当k＝－1时，β＝640°－360°＝280°，
∴在0°到360°范围内，与640°终边相同的角为280°，它是第四象限的角．
PAGE
-
1
-5.1.2　弧度制
学
习
目
标
核
心
素
养
1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系．2．理解“弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数．(重点、难点)3．了解“角度制”与“弧度制”的区别与联系．(易错点)
1.通过对弧度制概念的学习，培养学生的数学抽象素养．2．借助弧度制与角度制的换算，提升学生的数学运算素养.
“在一个标准大气压下，把冰水混合物的温度定为零度，把沸水的温度定为100度，它们之间分成100等份，每一等份是摄氏度的一个单位，叫做1摄氏度．”
摄氏度的发明者是安德斯·摄尔修斯(Anders
Celsius
1701～1744)，其结冰点是0
℃，沸点为100
℃.1714年德国人法勒海特(Fahrenheit)以水银为测温介质，制成玻璃水银温度计，选取氯化铵和冰水的混合物的温度为温度计的零度．人体温度为温度计的100度，把水银温度计从0度到100度按水银的体积膨胀距离分成100份，每一份为1华氏度，记作“1”．按照华氏温标，则水的冰点为32
，沸点为212．“华氏温标”是经验温标之一．在美国的日常生活中，多采用这种温标．规定在一大气压下水的冰点为32度，沸点为212度，两个标准点之间分为180等份，每等份代表1度．华氏温度用字母“F”表示．摄氏温度(℃)和华氏温度()之间的换算关系为：
华氏度与摄氏度的进率：华氏度()＝32＋摄氏度(℃)×1.8，摄氏度(℃)＝(华氏度()－32)÷1.8.
问题：温度可以用摄氏温度与华氏温度来表示，测量角除了角度外，是否还有其他单位？它是怎样定义的？
提示：弧度，弧长等于半径的弧所对的圆心角即为1弧度的角．
1．度量角的两种单位制
(1)角度制：
①定义：用度作为单位来度量角的单位制．
②1度的角：周角的.
(2)弧度制：
①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．
②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．
2．弧度数的计算
思考：比值与所取的圆的半径大小是否有关？
提示：一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关．
3．角度制与弧度制的换算
4．一些特殊角与弧度数的对应关系
度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度
0
π
2π
5.扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝αR.
(2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2.
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)1弧度的角是周角的.
(　　)
(2)1弧度的角大于1度的角．
(　　)
[提示]　(1)错误，1弧度的角是周角的.(2)正确．
[答案]　(1)×　(2)√
2.是(　　)
A．第一象限角　
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
B　[＝4π＋.
∵π是第二象限角，∴是第二象限角．]
3．(1)
rad化为角度是________．
(2)105°的弧度数是________．
(1)252°　(2)　[(1)
rad＝°＝252°；
(2)105°＝105×
rad＝
rad.]
4．半径为2，圆心角为的扇形的面积是________．
　[由已知得S扇＝××22＝.]
角度与弧度的互化与应用
【例1】　(1)①将112°30′化为弧度为________．
②将－rad化为角度为________．
(2)已知α＝15°，β＝
rad，γ＝1
rad，θ＝105°，φ＝
rad，试比较α，β，γ，θ，φ的大小．
(1)①rad　②－75°　　[(1)①因为1°＝rad，
所以112°30′＝×112.5
rad＝rad.
②因为1
rad＝，
所以－rad＝－＝－75°.]
(2)法一(化为弧度)：
α＝15°＝15×
rad＝
rad，θ＝105°＝105×
rad＝
rad.
显然＜＜1＜.故α＜β＜γ＜θ＝φ.
法二(化为角度)：
β＝
rad＝×＝18°，γ＝1
rad≈57.30°，
φ＝×＝105°.
显然，15°＜18°＜57.30°＜105°.故α＜β＜γ＜θ＝φ.
角度制与弧度制互化的关键与方法
?1?关键：抓住互化公式π
rad＝180°是关键；
?2?方法：度数×＝弧度数；弧度数×＝度数；
?3?角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.
1．(1)将－157°30′化成弧度为________．
(2)将－
rad化为度是________．
(1)－π
rad　(2)－396°　[(1)－157°30′＝－157.5°＝－×
rad＝－π
rad.
(2)－
rad＝－×＝－396°.]
2．在[0,4π]中，与72°角终边相同的角有________．(用弧度表示)
π，π　[因为终边与72°角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)．
当k＝0时，θ＝72°＝π
rad；
当k＝1时，θ＝432°＝π
rad，
所以在[0,4π]中与72°终边相同的角有π，π.]
用弧度数表示角
【例2】　(1)终边经过点(a，a)(a≠0)的角α的集合是(　　)
A.　　　　
B．
C.
D．
(2)用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合．
[思路点拨]　(1)
(2)
→
(1)D　[因为角α的终边经过点(a，a)(a≠0)，
所以角α的终边落在直线y＝x上，
所以角α的集合是.]
(2)[解]　因为30°＝
rad,210°＝
rad，
这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB上的角为α＝kπ＋，k∈Z，而终边在y轴上的角为β＝kπ＋，k∈Z，从而终边落在阴影部分内的角的集合为.
1．弧度制下与角α终边相同的角的表示
在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．
2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤
(1)仔细观察图形．
(2)写出区域边界作为终边时角的表示．
(3)用不等式表示区域范围内的角．
提醒：角度制与弧度制不能混用.
3．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是(　　)
A．2kπ＋45°(k∈Z)
B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．kπ＋(k∈Z)
C　[A，B中弧度与角度混用，不正确．
π＝2π＋，所以π与终边相同．－315°＝－360°＋45°，所以－315°也与45°终边相同．故选C.]
4．用弧度写出终边落在如图阴影部分(不包括边界)内的角的集合．
[解]　30°＝
rad,150°＝
rad.
终边落在题干图中阴影区域内角的集合(不包括边界)是.
弧长公式与扇形面积公式的应用
[探究问题]
1．用公式|α|＝求圆心角时，应注意什么问题？
提示：应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，又要注意其正负．
2．在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单位，需注意什么问题？
提示：若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则结果易出错．
【例3】　(1)如图所示，以正方形ABCD中的点A为圆心，边长AB为半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD的弧度数大小为________．
(2)已知扇形OAB的周长是60
cm，面积是20
cm2，求扇形OAB的圆心角的弧度数．
[思路点拨]　(1)先根据两块阴影部分的面积相等列方程再解方程求∠EAD的弧度数．
(2)先根据题意，列关于弧长和半径的方程组，再解方程组求弧长和半径，最后用弧度数公式求圆心角的弧度数．
(1)2－　[设AB＝1，∠EAD＝α，∵S扇形ADE＝S阴影BCD，
由题意可得×12×α＝12－，∴解得α＝2－.]
(2)设扇形的弧长为l，半径为r，则
∴或
∴扇形的圆心角的弧度数为
＝43－3或43＋3.
1．(变条件)将本例(2)中的条件“60”改为“10”，“20”改为“4”，其他条件不变，求扇形圆心角的弧度数．
[解]　设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l，半径为r，
依题意有
由①得l＝10－2r，代入②得r2－5r＋4＝0，
解得r1＝1，r2＝4.
当r＝1时，l＝8(cm)，
此时，θ＝8
rad＞2π
rad舍去．
当r＝4时，l＝2(cm)，此时，θ＝＝
rad.
2．(变结论)将本例(2)中的条件“面积是20
cm2”删掉，求扇形OAB的最大面积及此时弧长AB.
[解]　设弧长为l，半径为r，由已知l＋2r＝60，
所以l＝60－2r，|α|＝＝，
从而S＝|α|r2＝··r2＝－r2＋30r＝－(r－15)2＋225，
当r＝15时，S取最大值为225，这时圆心角α＝＝＝2
rad，
可得弧长AB＝αr＝2×15＝30
(cm)．
弧度制下解决扇形相关问题的步骤
(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝αr2和S＝lr.(这里α必须是弧度制下的角)
(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式．
(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解．
提醒：看清角的度量制，恰当选用公式．
1．掌握3个知识点
(1)弧度制的概念．
(2)弧度与角度的相互转化．
(3)扇形的弧长与面积的计算．
2．规避
2个易错点
(1)用弧度制表示角时，不能与角度制混用．
(2)弧度制下弧长和扇形面积公式的应用，要注意使用的前提条件是弧度制下．
1．下列转化结果错误的是(　　)
A．60°化成弧度是
rad
B．－π
rad化成度是－600°
C．－150°化成弧度是－π
rad
D.
rad化成度是15°
C　[对于A,60°＝60×
rad＝
rad；对于B，－π
rad＝－×180°＝－600°；对于C，－150°＝－150×
rad＝－π
rad；对于D，
rad＝×180°＝15°.故选C.]
2．圆的半径为r，该圆上长为r的弧所对的圆心角是(　　)
A.
rad　
B．
rad
C.
rad
D．
rad
B　[由弧度数公式α＝，得α＝＝，因此圆弧所对的圆心角是
rad.]
3．若把－570°写成2kπ＋α(k∈Z,0≤α＜2π)的形式，则α＝________.
　[－570°＝－＝－4π＋.]
4．求半径为π
cm，圆心角为120°的扇形的弧长及面积．
[解]　因为r＝π，α＝120×＝，
所以l＝αr＝
cm，S＝lr＝
cm2.
PAGE
-
1
-5.2　三角函数的概念
5.2.1　三角函数的概念
学
习
目
标
核
心
素
养
1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(重点、难点)2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．(易错点)3.掌握公式——并会应用.
1.通过三角函数的概念，培养数学抽象素养.2.借助公式的运算，提升数学运算素养.
江南水乡，水车在清澈的河流里悠悠转动，缓缓地把河流里的水倒进水渠，流向绿油油的田地，流向美丽的大自然．
问题：(1)把水车放在坐标系中，点P为水车上一点，它转动的角度为α，水车的半径为r，你能写出点P的坐标吗？
(2)三角函数值的大小与点P在终边的位置是否有关？
(3)三角函数在各象限的符号与角的终边上点P的坐标有怎样的关系？
提示：(1)设P(x，y)，根据三角函数的定义知sin
α＝，cos
α＝，则P(rcos
α，rsin
α)．
(2)三角函数值是比值，与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关．
(3)由三角函数的定义知sin
α＝，cos
α＝，tan
α＝，三角函数在各象限的符号由角α终边上的点P的横坐标、纵坐标的正负确定．
1．单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．
2．任意角的三角函数的定义
(1)条件
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，α∈R，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
(2)结论
①y叫做α的正弦函数，记作sin
α，即sin
α＝y；
②x叫做α的余弦函数，记作cos
α，即cos
α＝x；
③叫做α的正切，记作tan
α，即tan
α＝(x≠0)．
(3)总结
＝tan
α(x≠0)是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数．我们将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数．
3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
三角函数
定义域
sin
α
R
cos
α
R
tan
α
4.正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
(1)图示：
(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
5．公式一
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)sin
α表示sin与α的乘积．
(　　)
(2)设角α终边上的点P(x，y)，r＝|OP|≠0，则sin
α＝，且y越大，sin
α的值越大．
(　　)
(3)终边相同的角的同一三角函数值相等．
(　　)
(4)终边落在y轴上的角的正切函数值为0.
(　　)
[提示]　(1)错误．sin
α表示角α的正弦值，是一个“整体”．
(2)错误．由任意角的正弦函数的定义知，sin
α＝.但y变化时，sin
α是定值．
(3)正确．
(4)错误．终边落在y轴上的角的正切函数值不存在．
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．sin(－315°)的值是(　　)
A．－　　　
B．－　　　
C.　
D．
C　[sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin
45°＝.]
3．已知sin
α＞0，cos
α＜0，则角α是(　　)
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
B　[由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角α是第二象限角．]
4．已知角θ的终边过点P(－12,5)，则sin
θ＝
，cos
θ＝
，tan
θ＝
.
，－，－　[∵θ的终边过点P(－12,5)，∴r＝＝13.
∴sin
θ＝＝，cos
θ＝＝－，tan
θ＝＝－.]
三角函数的定义及应用
[探究问题]
1．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sin
α，cos
α，tan
α为何值？
提示：sin
α＝，cos
α＝，tan
α＝(x≠0)．
2．sin
α，cos
α，tan
α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？
提示：sin
α，cos
α，tan
α的值只与α的终边位置有关，不随P点在终边上的位置的改变而改变．
【例1】　(1)已知角θ的终边上有一点P(x,3)(x≠0)，且cos
θ＝x，则sin
θ＋tan
θ的值为
．
(2)已知角α的终边落在直线x＋y＝0上，求sin
α，
cos
α，tan
α的值．
[思路点拨]　(1)→
(2)
(1)或　[因为r＝，cos
θ＝，所以x＝.
又x≠0，所以x＝±1，所以r＝.
又y＝3＞0，所以θ是第一或第二象限角．
当θ为第一象限角时，sin
θ＝，tan
θ＝3，则sin
θ＋tan
θ＝.
当θ为第二象限角时，sin
θ＝，tan
θ＝－3，
则sin
θ＋tan
θ＝.]
(2)[解]　直线x＋y＝0，即y＝－x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，)，则r＝＝2，所以sin
α＝，cos
α＝－，tan
α＝－；
在第四象限取直线上的点(1，－)，
则r＝＝2，
所以sin
α＝－，cos
α＝，tan
α＝－.
1．将本例(2)的条件“x＋y＝0”改为“y＝2x”其他条件不变，结果又如何？
[解]　当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P(1，2)，由r＝|OP|＝＝，得sin
α＝＝，cos
α＝＝，tan
α＝＝2.
当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q(－1，－2)，
由r＝|OQ|＝＝，得：
sin
α＝＝－，cos
α＝＝－，
tan
α＝＝2.
2．将本例(2)的条件“落在直线x＋y＝0上”改为“过点P(－3a,4a)(a≠0)”，求2sin
α＋cos
α.
[解]　因为r＝＝5|a|，
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，
sin
α＝＝＝，cos
α＝＝＝－，
所以2sin
α＋cos
α＝－＝1.
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin
α＝＝－，cos
α＝＝，
所以2sin
α＋cos
α＝－＋＝－1.
由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤
(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sin
α＝，cos
α＝.已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便．
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论．
三角函数值符号的运用
【例2】　(1)已知点P(tan
α，cos
α)在第四象限，则角α终边在(　　)
A．第一象限　　
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)确定下列三角函数值的符号：
①sin
156°；②cosπ；③cos(－450°)；④tan；
⑤sin；⑥tan
556°.
[思路点拨]　(1)先判断tan
α，cos
α的符号，再判断角α终边在第几象限．
(2)先判断已知角分别是第几象限角，再确定各三角函数值的符号．
(1)C　[因为点P在第四象限，所以有由此可判断角α终边在第三象限．]
(2)[解]　①∵156°是第二象限角，
∴sin
156°＞0.
②∵π为第三象限角，
∴cos
π＜0.
③∵－450°＝－720°＋270°是终边落在y轴的非正半轴上的角，∴cos(－450°)＝0.
④∵－π＝－2π－π是第四象限角，
∴tan＜0.
⑤∵－＝－2π＋π是第二象限角，
∴sin＞0.
⑥∵556°＝360°＋196°是第三象限角，∴tan
556°＞0.
判断三角函数值在各象限符号的攻略
?1?基础：准确确定三角函数值中各角所在象限；
?2?关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；
?3?注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误.
提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号.
1．已知角α的终边过点(3a－9，a＋2)且cos
α≤0，sin
α＞0，则实数a的取值范围是
．
－2＜a≤3　[因为cos
α≤0，sin
α＞0，
所以角α的终边在第二象限或y轴非负半轴上，因为α终边过(3a－9，a＋2)，
所以所以－2＜a≤3.]
2．判断下列各式的符号：
(1)sin
145°cos(－210°)；(2)sin
3·cos
4·tan
5.
[解]　(1)∵145°是第二象限角，∴sin
145°＞0，
∵－210°＝－360°＋150°，
∴－210°是第二象限角，∴cos(－210°)＜0，
∴sin
145°cos(－210°)＜0.
(2)∵＜3＜π，π＜4＜，＜5＜2π，
∴sin
3＞0，cos
4＜0，tan
5＜0，
∴sin
3·cos
4·tan
5＞0.
诱导公式一的应用
【例3】　求值：
(1)tan
405°－sin
450°＋cos
750°；
(2)sincos＋tancos.
[解]　(1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)
＝tan
45°－sin
90°＋cos
30°
＝1－1＋＝.
(2)原式＝sincos＋tan·cos
＝sincos＋tancos
＝×＋1×＝.
利用诱导公式一进行化简求值的步骤
(1)定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0,2π)，k∈Z.
(2)转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值．
(3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值．
3．化简下列各式：
(1)a2sin(－1
350°)＋b2tan
405°－2abcos(－1
080°)；
(2)sin＋cosπ·tan
4π.
[解]　(1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－3×360°)
＝a2sin
90°＋b2tan
45°－2abcos
0°
＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.
(2)sin＋cosπ·tan
4π
＝sin＋cosπ·tan
0＝sin＋0＝.
1．掌握3个知识点
(1)三角函数的定义及求法；
(2)三角函数在各象限内的符号；
(3)公式一．
2．会用2种思想——化归与分类讨论
(1)负角化为正角、大角化为小角的化归思想．
(2)角的终边位置上的点的不确定引起的分类讨论．
3．规避2个误区
(1)三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点无关．
(2)正切函数的定义域为
1．已知角α终边过点P(1，－1)，则tan
α的值为(　　)
A．1　　　　
B．－1　　　　
C.　　
D．－
B　[由三角函数定义知tan
α＝＝－1.]
2．若角α是第三象限角，则点P(2，sin
α)所在象限为(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
D　[由α是第三象限角知，sin
α＜0，因此P(2，sin
α)在第四象限，故选D.]
3．设角α是第三象限角，且＝－sin，则角是第
象限角．
四　[角α是第三象限角，则角是第二、四象限角，
∵＝－sin，∴角是第四象限角．]
4．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称，若sin
α＝，则sin
β＝
.
－　[设角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，
则角β的终边与单位圆相交于点Q(x，－y)，
由题意知y＝sin
α＝，所以sin
β＝－y＝－.]
5．求值：(1)sin
180°＋cos
90°＋tan
0°.
(2)cos＋tan.
[解]　(1)sin
180°＋cos
90°＋tan
0°＝0＋0＋0＝0.
(2)cos＋tan
＝cos＋tan
＝cos＋tan＝＋1＝.
PAGE
-
1
-5.2.2　同角三角函数的基本关系
学
习
目
标
核
心
素
养
1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．(重点)2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．(难点)
1.通过同角三角函数的基本关系进行运算，培养数学运算素养.2.借助数学式子的证明，培养逻辑推理素养.
气象学家洛伦兹1963年提出一种观点：南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯的一场龙卷风.这就是理论界闻名的“蝴蝶效应”，此效应本意是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化.蝴蝶扇翅膀成为龙卷风的导火索.从中我们还可以看出，南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶与北美德克萨斯的龙卷风看来是毫不相干的两种事物，却会有这样的联系，这也正验证了哲学理论中事物是普遍联系的观点.
问题：既然感觉毫不相干的事物都是相互联系的，那么“同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？
提示：sin2α＋cos2α＝1，tan
α＝
(α≠kπ＋，k∈Z).
1．平方关系
(1)公式：sin2α＋cos2α＝1.
(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.
2．商数关系
(1)公式：＝tan
α(α≠kπ＋，k∈Z)．
(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切．
思考：对任意的角α，sin22α＋cos22α＝1是否成立？
提示：成立．平方关系中强调的同一个角且是任意的，与角的表达形式无关．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对任意角α，＝tan
都成立．
(　　)
(2)因为sin2
π＋cos2
＝1，所以sin2α＋cos2β＝1成立，其中α，β为任意角．
(　　)
(3)对任意角α，sin
α＝cos
α·tan
α都成立．
(　　)
[提示]　由同角三角函数的基本关系知(2)错，由正切函数的定义域知α不能取任意角，所以(1)错，(3)错．
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×
2．化简的结果是(　　)
A．cos　　　　
B．sin
C．－cos
D．－sin
C　[因为是第二象限角，
所以cos＜0，
所以＝＝＝－cos.]
3．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是(　　)
A．tan
α＝－
B．cos
α＝－
C．sin
α＝－
D．tan
α＝
B　[由商数关系可知A，D均不正确．当α为第二象限角时，cos
α＜0，sin
α＞0，故B正确．]
4．已知cos
α＝－，且α为第三象限角，则sin
α＝
，tan
α＝
.
－　　[∵cos
α＝－，α为第三象限角，
∴sin
α＝－＝－＝－.
tan
α＝＝＝.]
直接应用同角三角函数关系求值
【例1】　(1)已知α∈，tan
α＝2，则cos
α＝
.
(2)已知cos
α＝－，求sin
α，tan
α的值．
[思路点拨]　(1)根据tan
α＝2和sin2α＋cos2α＝1列方程组求cos
α.
(2)先由已知条件判断角α是第几象限角，再分类讨论求sin
α，tan
α.
(1)－　[由已知得
由①得sin
α＝2cos
α代入②得4cos2α＋cos2α＝1，
所以cos2α＝，又α∈，所以cos
α＜0，
所以cos
α＝－.]
(2)∵cos
α＝－＜0，
∴α是第二或第三象限的角．
如果α是第二象限角，那么
sin
α＝＝eq
\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,17))))＝，
tan
α＝＝＝－.
如果α是第三象限角，同理可得
sin
α＝－＝－，tan
α＝.
利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法：
?1?已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系.
?2?若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果.
提醒：应用平方关系求三角函数值时，要注意有关角终边位置的判断，确定所求值的符号.
1．已知sin
α＋3cos
α＝0，求sin
α，cos
α的值．
[解]　∵sin
α＋3cos
α＝0，
∴sin
α＝－3cos
α.
又sin2α＋cos2α＝1，
∴(－3cos
α)2＋cos2α＝1，
即10cos2α＝1，
∴cos
α＝±.
又由sin
α＝－3cos
α，
可知sin
α与cos
α异号，
∴角α的终边在第二或第四象限．
当角α的终边在第二象限时，cos
α＝－，sin
α＝；
当角α的终边在第四象限时，cos
α＝，sin
α＝－.
灵活应用同角三角函数关系式求值
【例2】　(1)已知sin
α＋cos
α＝，α∈(0，π)，则tan
α＝
.
(2)已知＝2，计算下列各式的值．
①；
②sin2α－2sin
αcos
α＋1.
[思路点拨]　(1)法一：→→→
法二：→→
(2)→
(1)－　[法一：(构建方程组)
因为sin
α＋cos
α＝，①
所以sin2α＋cos2α＋2sin
αcos
α＝，
即2sin
αcos
α＝－.
因为α∈(0，π)，所以sin
α＞0，cos
α＜0.
所以sin
α－cos
α＝＝＝.②
由①②解得sin
α＝，cos
α＝－，
所以tan
α＝＝－.
法二：(弦化切)
同法一求出sin
αcos
α＝－，＝－，＝－，
整理得60tan2α＋169tan
α＋60＝0，
解得tan
α＝－或tan
α＝－.
由sin
α＋cos
α＝＞0知|sin
α|＞|cos
α|，
故tan
α＝－.]
(2)[解]　由＝2，化简，
得sin
α＝3cos
α，
所以tan
α＝3.
①法一(换元)原式＝＝＝.
法二(弦化切)原式＝＝＝.
②原式＝＋1
＝＋1＝＋1＝.
1．将本例(1)条件“α∈(0，π)”改为“α∈(－π，0)”其他条件不变，结果又如何？
[解]　由例(1)求出2sin
αcos
α＝－，
因为α∈(－π，0)，
所以sin
α＜0，cos
α＞0，
　所以sin
α－cos
α＝－
＝－＝－.
与sin
α＋cos
α＝联立解得
sin
α＝－，cos
α＝，
所以tan
α＝＝－.
2．将本例(1)的条件“sin
α＋cos
α＝”改为“sin
α·cos
α＝－”其他条件不变，求cos
α－sin
α.
[解]　因为sin
αcos
α＝－＜0，所以α∈，所以cos
α－sin
α＜0，
cos
α－sin
α＝－
＝－＝－.
1．sin
α＋cos
α，sin
α－cos
α，sin
αcos
α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin
α±cos
α)2＝1±2sin
αcos
α.
2．已知tan
α＝m，求关于sin
α，cos
α的齐次式的值
解决这类问题需注意以下两点：(1)一定是关于sin
α，cos
α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；(2)因为cos
α≠0，所以可除以cos
α，这样可将被求式化为关于tan
α的表示式，然后代入tan
α＝m的值，从而完成被求式的求值．
提醒：求sin
α＋cos
α或sin
α－cos
α的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号．
应用同角三角函数关系式化简
【例3】　(1)化简＝
.
(2)化简·.(其中α是第三象限角)
[思路点拨]　(1)将cos2α＝1－sin2α代入即可化简．
(2)首先将tan
α化为，然后化简根式，最后约分．
(1)1　[原式＝＝＝1.]
(2)[解]　原式＝·
＝·
＝·
＝·.
又因为α是第三象限角，
所以sin
α＜0.
所以原式＝·＝－1.
三角函数式化简的常用方法
?1?化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.
?2?对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.
?3?对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.
提醒：在应用平方关系式求sin
α或cos
α时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象.
2．化简tan
α，其中α是第二象限角．
[解]　因为α是第二象限角，所以sin
α＞0，cos
α＜0.
故tan
α＝tan
α＝tan
α＝＝·＝－1.
应用同角三角函数关系式证明
[探究问题]
1．证明三角恒等式常用哪些方法？
提示：(1)从右证到左．
(2)从左证到右．
(3)证明左右归一．
(4)变更命题法．如：欲证明＝，则可证MQ＝NP，或证＝等．
2．在证明＝sin
α＋cos
α时如何巧用“1”的代换．
提示：在求证＝sin
α＋cos
α时，观察等式左边有2sin
αcos
α，它和1相加应该想到“1”的代换，即1＝sin2α＋cos2α，
所以等式左边
＝
＝
＝
＝sin
α＋cos
α＝右边．
【例4】　求证：＝.
[思路点拨]　解答本题可由关系式tan
α＝将两边“切”化“弦”来证明，也可由右至左或由左至右直接证明．
[证明]　法一：(切化弦)
左边＝＝，
右边＝＝.
因为sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos
α)(1－cos
α)，
所以＝，所以左边＝右边．
所以原等式成立．
法二：(由右至左)
因为右边＝
＝
＝
＝
＝
＝左边，
所以原等式成立．
1．证明恒等式常用的思路是：(1)从一边证到另一边，一般由繁到简；(2)左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；(3)比较法(作差，作比法)．
2．技巧感悟：朝目标奔．常用的技巧有：(1)巧用“1”的代换；(2)化切为弦；(3)多项式运算技巧的应用(分解因式)．
提醒：解决此类问题要有整体代换思想．
3．求证：(1)＝；
(2)2(sin6
θ＋cos6
θ)－3(sin4
θ＋cos4
θ)＋1＝0.
[证明]　(1)左边
＝
＝
＝
＝
＝＝
＝右边，∴原等式成立．
(2)左边＝2[(sin2
θ)3＋(cos2
θ)3]－3(sin4
θ＋cos4
θ)＋1
＝2(sin2
θ＋cos2
θ)(sin4
θ－sin2
θcos2
θ＋cos4
θ)－3(sin4
θ
＋cos4
θ)＋1
＝(2sin4
θ－2sin2
θcos2
θ＋2cos4
θ)－(3sin4
θ＋3cos4
θ)＋1
＝－(sin4
θ＋2sin2
θcos2
θ＋cos4
θ)＋1
＝－(sin2
θ＋cos2
θ)2＋1＝－1＋1＝0＝右边，
∴原等式成立．
1．掌握2个关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；
(2)商数关系：tan
α＝(α≠＋kπ，k∈Z)．
2．掌握3个应用
3．规避1个误区
求值时注意α的范围，如果无法确定一定要对α所在的象限进行分类讨论．
1．已知sin
α＝，tan
α＝，则cos
α＝(　　)
A.　　　　
B．　　　　
C.　　
D．
B　[因为tan
α＝，所以cos
α＝＝＝.]
2．已知tan
α＝－，则的值是(　　)
A.
B．3　　　
C．－　　　
D．－3
A　[因为tan
α＝－，
所以＝＝eq
\f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))－1)＝.]
3．已知α是第二象限角，tan
α＝－，则cos
α＝
.
－　[因为＝－，且sin2α＋cos2α＝1，
又因为α是第二象限角，所以cos
α＜0，
所以cos
α＝－.]
4．化简(1－cos
α)的结果是
．
sin
α　[(1－cos
α)＝(1－cos
α)＝＝＝sin
α.]
5．(1)化简，其中α是第二象限角．
(2)求证：1＋tan2α＝.
[解]　(1)因为α是第二象限角，所以sin
α＞0，cos
α＜0，
所以sin
αcos
α＜0，
所以
＝
＝
＝－sin
αcos
α.
(2)证明：1＋tan2α＝1＋＝＝.
PAGE
-
1
-5.3　诱导公式
第1课时　公式二、公式三和公式四
学
习
目
标
核
心
素
养
1.了解公式二、公式三和公式四的推导方法．2．能够准确记忆公式二、公式三和公式四．(重点、易混点)3．掌握公式二、公式三和公式四，并能灵活应用．(难点)
1.借助公式进行运算，培养数学运算素养．2．通过公式的变形进行化简和证明，提升逻辑推理素养.
南京眼和辽宁的生命之环均利用完美的对称展现自己的和谐之美．而三角函数与(单位)圆是紧密联系的，它的基本性质是圆的几何性质的代数表示，例如，同角三角函数的基本关系表明了圆中的某些线段之间的关系．圆有很好的对称性：以圆心为对称中心的中心对称图形；以任意直径所在直线为对称轴的轴对称图形．
南京眼的桥身的完美对称　辽宁生命之环的完美对称
问题：观察单位圆，回答下列问题：
(1)角α与角π＋α的终边有什么关系？
(2)角α与角π＋α的终边与单位圆的交点P，P1有什么对称关系？
(3)在(2)中，点P，P1的坐标有什么关系？
提示：(1)在一条直线上，方向相反；(2)关于原点对称；(3)横、纵坐标都互为相反数．
1．公式二(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示．
(2)公式：sin(π＋α)＝－sin
α，
cos(π＋α)＝－cos
α，
tan(π＋α)＝tan
α.
2．公式三(1)角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示．
(2)公式：sin(－α)＝－sin
α，
cos(－α)＝cos
α，
tan(－α)＝－tan
α.
3．公式四(1)角π－α与角α的终边关于y轴对称．如图所示．
(2)公式：sin(π－α)＝sin
α，
cos(π－α)＝－cos
α，
tan(π－α)＝－tan
α.
思考：(1)诱导公式中角α只能是锐角吗？
(2)诱导公式一～四改变函数的名称吗？
提示：(1)诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋，k∈Z.
(2)诱导公式一～四都不改变函数名称．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)公式二～四对任意角α都成立．
(　　)
(2)由公式三知cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)．
(　　)
(3)在△ABC中，sin(A＋B)＝sin
C．
(　　)
[提示]　(1)错误，关于正切的三个公式中α≠kπ＋，k∈Z.
(2)由公式三知cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，
故cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)是不正确的．
(3)因为A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C，
所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin
C.
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√
2．如果α，β满足α＋β＝π，那么下列式子中正确的个数是(　　)
①sin
α＝sin
β；②sin
α＝－sin
β；③cos
α＝－cos
β；④cos
α＝cos
β；⑤tan
α＝－tan
β.
A．1　　　　
B．2　　　　
C．3　　
D．4
C　[因为α＋β＝π，
所以sin
α＝sin(π－β)＝sin
β，
故①正确，②错误；
cos
α＝cos(π－β)＝－cos
β，
故③正确，④错误；
tan
α＝tan(π－β)＝－tan
β，⑤正确．
故选C.]
3．tan
315°＝
.
－1　[tan
315°＝tan(360°－45°)
＝tan(－45°)＝－tan
45°＝－1.]
4．已知tan
α＝3，则tan(π＋α)＝
.
3　[tan(π＋α)＝tan
α＝3.]
给角求值问题
【例1】　利用公式求下列三角函数值：
(1)cos
225°；(2)sin；
(3)sin；(4)tan(－2
040°)．
[解]　(1)cos
225°＝cos(180°＋45°)
＝－cos
45°＝－；
(2)sin＝sin
＝sin＝sin
＝sin＝；
(3)sin＝－sin
＝－sin
＝－＝；
(4)tan(－2
040°)＝－tan
2
040°
＝－tan(6×360°－120°)
＝tan
120°＝tan(180°－60°)
＝－tan
60°＝－.
利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
?1?“负化正”——用公式一或三来转化；
?2?“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；
?3?“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；
?4?“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值.
1．计算：(1)cos＋cos＋cos＋cos；
(2)tan
10°＋tan
170°＋sin
1
866°－sin(－606°)．
[解]　(1)原式＝＋
＝＋
＝＋＝0.
(2)原式＝tan
10°＋tan(180°－10°)＋sin(5×360°＋66°)－sin[(－2)×360°＋114°]
＝tan
10°－tan
10°＋sin
66°－sin(180°－66°)
＝sin
66°－sin
66°＝0.
给值(式)求值问题
【例2】　(1)已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于(　　)
A.　　　　
B．
C.
D．－
(2)已知cos(α－75°)＝－，且α为第四象限角，求
sin(105°＋α)的值．
[思路点拨]　(1)
→
(2)→
→
(1)A　[sin(α－360°)－cos(180°－α)
＝sin
α＋cos
α＝m，
sin(180°＋α)cos(180°－α)＝sin
αcos
α
＝＝.]
(2)[解]　∵cos(α－75°)＝－＜0，且α为第四象限角，
∴sin(α－75°)＝－
＝－eq
\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3))))＝－，
∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
＝－sin(α－75°)＝.
1．例2(2)条件不变，求cos(255°－α)的值．
[解]　cos(255°－α)＝cos[180°－(α－75°)]
＝－cos(α－75°)＝.
2．将例2(2)的条件“cos(α－75°)＝－”改为“tan(α－75°)＝－5”，其他条件不变，结果又如何？
[解]　因为tan(α－75°)＝－5＜0，且α为第四象限角，
所以α－75°是第四象限角．
由
解得
或(舍)
所以sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
＝－sin(α－75°)＝.
解决条件求值问题的两技巧
?1?寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系.
?2?转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.
提醒：设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键.
利用诱导公式化简问题
[探究问题]
1．利用诱导公式化简sin(kπ＋α)(其中k∈Z)时，化简结果与k是否有关？
提示：有关．因为k是奇数还是偶数不确定．
当k是奇数时，即k＝2n＋1(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin(π＋α)＝－sin
α；
当k是偶数时，即k＝2n(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin
α.
2．利用诱导公式化简tan(kπ＋α)(其中k∈Z)时，化简结果与k是否有关？
提示：无关．根据公式tan(π＋α)＝tan
α可知tan(kπ＋α)＝tan
α.(其中k∈Z)．
【例3】　设k为整数，化简：
.
[思路点拨]　本题常用的解决方法有两种：
①为了便于运用诱导公式，必须把k分成偶数和奇数两种情况讨论；②观察式子结构，kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，可使用配角法．
[解]　法一：(分类讨论)当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，
则原式＝
＝
＝＝－1；
当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，同理可得原式＝－1.
法二：(配角法)由于kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，故cos[(k－1)π－α]＝cos[(k＋1)π＋α]＝－cos(kπ＋α)，sin[(k＋1)π＋α]＝－sin(kπ＋α)，
sin(kπ－α)＝－sin(kπ＋α)．
所以原式＝＝－1.
三角函数式化简的常用方法
?1?合理转化：①将角化成2kπ±α，kπ±α，k∈Z的形式.
②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数.
?2?切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.
提醒：注意分类讨论思想的应用.
2．化简：(1)；
(2).
[解]　(1)原式＝
＝
＝－tan
α.
(2)原式
＝
＝
＝＝－1.
1．掌握3组公式
诱导公式一～四可简要概括为“α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号”．或者简述为“函数同名，象限定号”．
2．会用3个步骤
利用公式一～四可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：
1．tan等于(　　)
A．－　
B．
C．－
D．
C　[tan＝tan＝tan
＝tan＝－tan＝－.]
2．已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，那么cos(α－π)的值是(　　)
A.　　　　
B．－
C．±　
D．
B　[因为sin(π＋α)＝－sin
α＝，所以sin
α＝－.
又α是第四象限角，所以cos
α＝，
所以cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos
α＝－.]
3．求值：(1)sin＝
.
(2)cos＝
.
(1)　(2)－　[(1)sin＝sin＝sin＝.
(2)cos＝cos＝cos＝－cos＝－.]
4.的值等于
．
－2　[原式＝
＝
＝＝
＝－2.]
5．化简(1)；
(2).
[解]　(1)
＝
＝＝－cos2α.
(2)
＝
＝－cos
α.
PAGE
-
1
-第2课时　公式五和公式六
学
习
目
标
核
心
素
养
1.了解公式五和公式六的推导方法．2．能够准确记忆公式五和公式六．(重点、易混点)3．灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明．(难点)
1.借助诱导公式求值，培养数学运算素养．2．通过诱导公式进行化简和证明，提升逻辑推理素养.
观察单位圆，回答下列问题：
问题：(1)角α与角－α，角α与＋α的终边有什么关系？
(2)角α与角－α的终边与单位圆的交点P，P1的坐标有什么关系？角α与角＋α的终边与单位圆的交点P，P2的坐标有什么关系？
提示：(1)角α与角－α的终边关于直线y＝x对称，角α的终边关于直线y＝x的对称直线与角＋α的终边关于y轴对称．
(2)角α与角－α的终边与单位圆的交点P，P1关于直线y＝x对称；角＋α的终边与单位圆的交点P2的横坐标等于角α与单位圆的交点P的纵坐标的相反数；角＋α的终边与单位圆的交点P2的纵坐标等于角α与单位圆的交点P的横坐标．
1．公式五(1)角－α与角α的终边关于直线y＝x对称，如图所示．
(2)公式：sin＝cos
α，
cos＝sin
α.
2．公式六
(1)公式五与公式六中角的联系＋α＝π－.
(2)公式：sin＝cos
α，
cos＝－sin
α.
思考：如何由公式四及公式五推导公式六？
提示：sin＝sin
＝sin＝cos
α.
cos＝cos＝－cos＝－sin
α.
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)公式五和公式六中的角α一定是锐角．
(　　)
(2)在△ABC中，sin＝cos.
(　　)
(3)sin＝sin＝cos(－α)＝cos
α.
(　　)
[提示]　(1)错误．公式五和公式六中的角α可以是任意角．
(2)正确．因为＋＝，由公式五可知sin＝cos.
(3)正确．
[答案]　(1)×　(2)√　(3)√
2．下列与sin
θ的值相等的是(　　)
A．sin(π＋θ)　　　
B．sin
C．cos
D．cos
C　[sin(π＋θ)＝－sin
θ；sin＝cos
θ；
cos＝sin
θ；cos＝－sin
θ.]
3．已知sin
19°55′＝m，则cos(－70°5′)＝
.
m　[cos(－70°5′)＝cos
70°5′＝cos(90°－19°55′)
＝sin
19°55′＝m.]
4．已知sin＝，那么cos
α＝
.
－　[sin＝sin
＝sin
＝－sin
＝－cos
α＝，
∴cos
α＝－.]
利用诱导公式化简求值
【例1】　(1)已知cos
31°＝m，则sin
239°tan
149°的值是(　　)
A.　　　
B．
C．－
D．－
(2)(教材P193例5改编)已知sin(53°－α)＝，且－270°＜α＜－90°，则sin(37°＋α)的值为
．
[思路点拨]　(1)
(2)→
(1)B　(2)－　[(1)sin
239°tan
149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)＝－sin
59°(－tan
31°)
＝－sin(90°－31°)·(－tan
31°)
＝－cos
31°·(－tan
31°)＝sin
31°
＝＝.
(2)设β＝53°－α，γ＝37°＋α，那么β＋γ＝90°，从而γ＝90°－β.于是，sin
γ＝sin(90°－β)＝cos
β.
因为－270°＜α＜－90°，所以143°＜β＜323°.
由sin
β＝＞0，得143°＜β＜180°.
所以cos
β＝－＝－＝－，
所以sin(37°＋α)＝sin
γ＝－.]
解决化简求值问题的策略：
?1?首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.
?2?可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化.
提醒：常见的互余关系有：－α等；,常见的互补关系有：－θ等
1．(1)已知sin＝，则cos的值为
．
(2)已知sin＝，则cos的值为
．
(1)　(2)－　[(1)cos＝cos
＝sin＝.
(2)cos＝cos
＝－sin＝－.]
利用诱导公式证明恒等式
【例2】　(1)求证：
＝.
(2)求证：＝－tan
θ.
[证明]　(1)右边＝
＝
＝
＝＝
＝＝左边，所以原等式成立．
(2)左边＝
＝＝－tan
θ＝右边，所以原等式成立．
三角恒等式的证明的策略
?1?遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则.
?2?常用的方法：定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法，“1”的代换法.
2．求证：＝－1.
[证明]　因为
＝
＝＝＝－1
＝右边，所以原等式成立．
诱导公式的综合应用
[探究问题]
1．公式一～四和公式五～六的主要区别是什么？
提示：公式一～四中函数名称不变，公式五～六中函数名称改变．
2．如何用一个口诀描述应用诱导公式化简三角函数式的过程？
提示：“奇变偶不变、符号看象限”．
【例3】　已知sin
α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求·tan2(π－α)的值．
[思路点拨]　→→→
[解]　方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2，因为－1≤sin
α≤1，所以sin
α＝－.
又α是第三象限角，
所以cos
α＝－，tan
α＝＝，
所以·tan2(π－α)
＝·tan2α
＝·tan2α
＝－tan2α＝－.
诱导公式综合应用要“三看”
一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系.
二看函数名称：一般是弦切互化.
三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形.
3．已知sin·cos＝，且＜α＜，求sin
α与cos
α的值．
[解]　sin＝－cos
α，
cos＝cos
＝－sin
α，
∴sin
α·cos
α＝，即2sin
α·cos
α＝.
①
又∵sin2α＋cos2α＝1，
②
①＋②得(sin
α＋cos
α)2＝，
②－①得(sin
α－cos
α)2＝.
又∵α∈，
∴sin
α＞cos
α＞0，即sin
α＋cos
α＞0，sin
α－cos
α＞0，
∴sin
α＋cos
α＝，
③
sin
α－cos
α＝，
④
(③＋④)÷2得sin
α＝，(③－④)÷2得cos
α＝.
1．会用2组公式——公式五、六
(1)公式五反映了终边关于直线y＝x对称的角的正、余弦函数值之间的关系，其中角－α的正弦(余弦)函数值，等于角α的余弦(正弦)函数值．
(2)由于＋α＝π－，因此由公式四及公式五可以得到公式六．
2．掌握1个技巧
利用诱导公式可在三角函数的变形过程中进行角的转化．在求任意角的过程中，一般先把负角转化为正角，正角转化为0～2π的范围内的角，再将这个范围内的角转化为锐角．也就是“负化正，大化小，化到锐角再查表(特殊角的三角函数值表)”．
3．规避2个易错
(1)函数符号的变化；(2)角与角之间的联系与构造．
1．若sin<0，且cos>0，则θ是(　　)
A．第一象限角　
B．第二象限角
C．第三角限角
D．第四象限角
B　[由于sin＝cos
θ<0，
cos＝sin
θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.]
2．计算：sin211°＋sin279°＝
.
1　[因为11°＋79°＝90°，所以sin
79°＝cos
11°，
所以原式＝sin211°＋cos211°＝1.]
3．化简sin＝
.
－cos
α　[sin＝sin
＝－sin＝－cos
α.]
4．已知cos
α＝，且α为第四象限角，那么cos＝
.
　[因为cos
α＝，且α为第四象限角，
所以sin
α＝－＝－，
所以cos＝－sin
α＝.]
5．化简：－.
[解]　原式＝－
＝sin
α－(－sin
α)＝2sin
α.
PAGE
-
5
-5.4
三角函数的图象与性质
5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象
学
习
目
标
核
心
素
养
1.了解由单位圆和正、余弦函数定义画正弦函数、余弦函数图象的步骤，掌握“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象的方法．(重点)2．正、余弦函数图象的简单应用．(难点)3．正、余弦函数图象的区别与联系．(易混点)
1.
通过做正弦、余弦函数的图象，培养直观想象素养．2．借助图象的综合应用，提升数学运算素养.
如图，将一个漏斗挂在架子上，做一个简易的单摆，在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴．把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，这就是简谐运动的图象．物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”．
问题：通过上述实验，你对正弦函数、余弦函数的图象是否有了一个直观的印象？
提示：正、余弦函数的图象是“波浪起伏”的连续光滑曲线．
1．正弦曲线
正弦函数y＝sin
x，x∈R的图象叫正弦曲线．
2．正弦函数图象的画法
(1)几何法：
①利用单位圆画出y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象；
②将图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)．
(2)五点法：
①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)，用光滑的曲线连接；
②将所得图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)．
3．余弦曲线
余弦函数y＝cos
x，x∈R的图象叫余弦曲线．
4．余弦函数图象的画法
(1)要得到y＝cos
x的图象，只需把y＝sin
x的图象向左平移个单位长度即可．
(2)用“五点法”画余弦曲线y＝cos
x在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．
思考：y＝cos
x(x∈R)的图象可由y＝sin
x(x∈R)的图象平移得到的原因是什么？
提示：因为cos
x＝sin，所以y＝sin
x(x∈R)的图象向左平移个单位可得y＝cos
x(x∈R)的图象．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)正弦函数y＝sin
x的图象在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同．
(　　)
(2)正弦函数y＝sin
x(x∈R)的图象关于x轴对称．
(　　)
(3)余弦函数y＝cos
x(x∈R)的图象关于原点成中心对称．(　　)
[提示]　由y＝sin
x(x∈R)图象可知(1)正确，(2)错误；
由y＝cos
x(x∈R)图象可知(3)错误．
[答案]　(1)√　(2)×　(3)×
2．函数y＝cos
x与函数y＝－cos
x的图象(　　)
A．关于直线x＝1对称　
B．关于原点对称
C．关于x轴对称
D．关于y轴对称
C　[由解析式可知y＝cos
x的图象过点(a，b)，则y＝－cos
x的图象必过点(a，－b)，由此推断两个函数的图象关于x轴对称．]
3．请补充完整下面用“五点法”作出y＝－sin
x(0≤x≤2π)的图象时的列表．
x
0
①
2π
－sin
x
②
－1
0
③
0
①
；②
；③
.
π　0　1　[用“五点法”作y＝－sin
x(0≤x≤2π)的图象的五个关键点为(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)故①为π，②为0，③为1.]
4．函数y＝cos
x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－的交点有
个．
2　[由图象可知：函数y＝cos
x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－有两个交点．]
正弦函数、余弦函数图象的初步认识
【例1】　(1)下列叙述正确的是(　　)
①y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称；
②y＝cos
x，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π成轴对称；
③正、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围．
A．0　　　　
B．1个　　　　
C．2个　　
D．3个
(2)函数y＝sin|x|的图象是(　　)
(1)D　(2)B　[(1)分别画出函数y＝sin
x，x∈[0,2π]和y＝cos
x，x∈[0,2π]的图象，由图象(略)观察可知①②③均正确．
(2)y＝sin|x|＝
结合选项可知选B.]
1．解决正、余弦函数的图象问题，关键是要正确的画出正、余弦曲线．
2．正、余弦曲线的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．
3．正、余弦曲线的对称性
对称中心
对称轴
y＝sin
x(x∈R)
(kπ，0)，k∈Z
x＝kπ＋，k∈Z
y＝cos
x(x∈R)
，k∈Z
x＝kπ，k∈Z
提醒：对称中心处函数值为0，对称轴处函数值为－1或1.
1．关于三角函数的图象，有下列说法：
①y＝sin
x＋1.1的图象与x轴有无限多个公共点；
②y＝cos(－x)与y＝cos
|x|的图象相同；
③y＝|sin
x|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称；
④y＝cos
x与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称．
其中正确的序号是
．
②④　[对②，y＝cos(－x)＝cos
x，y＝cos
|x|＝cos
x，故其图象相同；
对④，y＝cos(－x)＝cos
x，故其图象关于y轴对称；作图(略)可知①③均不正确．]
用“五点法”作三角函数的图象
【例2】　(教材P199例1改编)用“五点法”作出下列函数的简图．
(1)y＝1－sin
x(0≤x≤2π)；
(2)y＝－1＋cos
x(0≤x≤2π)．
[思路点拨]　→→
[解]　(1)①取值列表如下：
x
0
π
2π
sin
x
0
1
0
－1
0
1－sin
x
1
0
1
2
1
②描点连线，如图所示.
(2)①取值列表如下：
x
0
π
2π
cos
x
1
0
－1
0
1
－1＋cos
x
0
－1
－2
－1
0
②描点连线，如图所示．
用“五点法”画函数y＝Asin
x＋b(A≠0)或y＝Acos
x＋b(A≠0)在[0,2π]上简图的步骤
(1)列表：
x
0
π
2π
sin
x(或cos
x)
0(或1)
1(或0)
0(或－1)
－1(或0)
0(或1)
y
b(或A＋b)
A＋b(或b)
b(或－A＋b)
－A＋b(或b)
b(或A＋b)
(2)描点：在平面直角坐标系中描出五个点(0，y1)，，(π，y3)，，(2π，y5)，这里的yi(i＝1,2,3,4,5)值是通过函数解析式计算得到的．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，就得到正(余)弦函数y＝Asin
x＋b(y＝Acos
x＋b)(A≠0)的图象．
提醒：作图象时，函数自变量要用弧度制，x轴、y轴上尽量统一单位长度．
2．用“五点法”画出函数y＝＋sin
x，x∈[0,2π]的图象．
[解]　取值列表如下：
x
0
π
2π
sin
x
0
1
0
－1
0
＋sin
x
－
描点，并将它们用光滑的曲线连接起来．(如图)
正弦(余弦)函数图象的应用
[探究问题]
1．方程sin
x＝x的实根个数有多少个？
提示：在同一坐标系内分别作出y＝sin
x，y＝x图象(略)可知在x∈[0,1]内，sin
x1时不会相交，所以方程只有一个实根为0.
2．函数f(x)＝－cos
x在[0，＋∞)内有多少个零点？
提示：令f(x)＝0，所以＝cos
x，分别作出y＝，y＝cos
x的图象(略)，可知两函数只有一个交点，所以f(x)在[0，＋∞)内只有一个零点．
【例3】　(1)函数y＝的定义域为
．
(2)在同一坐标系中，作函数y＝sin
x和y＝lg
x的图象，根据图象判断出方程sin
x＝lg
x的解的个数．
[思路点拨]　(1)→→
(2)→
→
(1)　　[由2sin
x－1≥0得sin
x≥，
画出y＝sin
x的图象和直线y＝.
可知sin
x≥的解集为
.]
(2)[解]　建立平面直角坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sin
x，x∈R的图象．
描出点(1,0)，(10,1)，并用光滑曲线连接得到y＝lg
x的图象，如图所示．
由图象可知方程sin
x＝lg
x的解有3个．]
1．本例(1)中的“sin
x”改为“cos
x”，应如何解答？
[解]　由2cos
x－1≥0得cos
x≥，画出y＝cos
x的图象和直线y＝.
观察图象可知cos
x≥的解集是
.
2．本例(1)中函数改为y＝lg＋，应如何解答？
[解]要使原函数解析式有意义，
必须满足＜sin
x≤.
首先作出y＝sin
x在[0,2π]上的图象，如图所示，
作直线y＝，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin
x，x∈[0,2π]的交点横坐标为和；
作直线y＝，该直线与y＝sin
x，x∈[0,2π]的交点横坐标为和.
观察图象可知，在[0,2π]上，当＜x≤或≤x＜时，不等式＜sin
x≤成立，
所以＜sin
x≤的解集为
或.
1．用三角函数的图象解sin
x＞a(或cos
x＞a)的方法
(1)作出y＝a，y＝sin
x(或y＝cos
x)的图象．
(2)确定sin
x＝a(或cos
x＝a)的x值．
(3)确定sin
x＞a(或cos
x＞a)的解集．
2．利用三角函数线解sin
x＞a(或cos
x＞a)的方法
(1)找出使sin
x＝a(或cos
x＝a)的两个x值的终边所在的位置．
(2)根据变化趋势，确定不等式的解集．
1．掌握1种画法——五点法
(1)作正、余弦函数的图象可以借助单位圆，用几何法作出，也可以用“五点法”作出简图．
(2)“五点法”是一种作图思想或策略，它不只限于画正弦函数、余弦函数的简图，也可用于画复合型正、余弦函数的简图．
2．掌握1种思想——数形结合
由三角函数图象求三角不等式的解集，是另一种数形结合的思想方法，它常化归为三角函数图象位于某直线上方(或下方)的问题．结合图象就可以写出其规律．
3．规避1个易错
利用“五点法”作图时，注意五点的正确选取．
1．函数y＝sin(－x)，x∈[0,2π]的简图是(　　)
B　[y＝sin(－x)＝－sin
x与y＝sin
x关于x轴对称．]
2．函数y＝sin
x，x∈[0，π]的图象与直线y＝0.99的交点有(　　)
A．1个　　　
B．2个　　　
C．3个　
D．4个
B　[观察图象(略)易知：有两个交点．]
3．要得到y＝cos
x，x∈[－2π，0]的图象，只需将y＝cos
x，x∈[0,2π]的图象向
平移
个单位长度．
左　2π　[向左平移2π个单位长度即可．]
4．不等式组的解集是
．
(π，5]　[当≤x≤π时，0≤sin
x≤1，当π＜x≤5时，sin
x＜0，所以原不等式的解集为(π，5]．]
5．用“五点法”画出y＝－2cos
x＋3(0≤x≤2π)的简图．
[解]　列表：
x
0
π
2π
－2cos
x
－2
0
2
0
－2
－2cos
x＋3
1
3
5
3
1
描点、连线得出函数y＝－2cos
x＋3(0≤x≤2π)的图象：
PAGE
-
1
-5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质
第1课时　周期性与奇偶性
学
习
目
标
核
心
素
养
1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义．2．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期．(重点)3．掌握函数y＝sin
x，y＝cos
x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．(重点、易混点)
1.通过周期性的研究，培养逻辑推理素养．2．借助奇偶性及图象的关系，提升直观想象素养.
丹麦这个处在安徒生童话中的国家，如同安徒生的童话描写一般，有很大的风，也有很多的风，自然也有很多很大的风车，而现在丹麦又有了世界上最大的风力发电机组，这个维斯塔斯和三菱合作的大风车V164－8.0
MW，全部高度有220米，风车风轮的直径也达到了世界最大的风力发电机组164米，扫掠面积21
000平米，在风速11米/秒时，转速在4.8～12.1
rpm之间，电力输出可达到每小时最大8百万瓦，这个风力发电组的电能能满足7
500个家庭的电力需求．
风力发电机就是靠它的叶片周而复始的转动给我们带来了巨大的收益．这种周而复始的转动就是周期现象．
问题：(1)你能用数学语言刻画函数的周期性吗？如果函数y＝f(x)的周期是T，那么函数y＝f(ωx)(ω＞0)的周期是多少？
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的周期与什么量有关？其计算周期的公式是什么？
提示：(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，则f(x)为周期函数，y＝f(ωx)的周期为.
(2)与ω有关，T＝.
1．函数的周期性
(1)周期函数：设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数
y＝sin
x
y＝cos
x
周期
2kπ(k∈Z且k≠0)
2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期
2π
2π
奇偶性
奇函数
偶函数
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若sin＝sin，则是函数y＝sin
x的一个周期．
(　　)
(2)所有的周期函数都有最小正周期．
(　　)
(3)函数y＝是奇函数．
(　　)
[提示]　(1)×.因为对任意x，sin与sin
x并不一定相等．
(2)×.不是所有的函数都有最小正周期，如函数f(x)＝5是周期函数，就不存在最小正周期．
(3)×.函数y＝的定义域为{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，不关于原点对称，故非奇非偶．
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×
2．函数y＝2sin是(　　)
A．周期为π的奇函数　　B．周期为π的偶函数
C．周期为2π的奇函数
D．周期为2π的偶函数
B　[y＝2sin＝2cos
2x，它是周期为π的偶函数．]
3．函数f(x)＝sin
2x的奇偶性为(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．既奇又偶函数
D．非奇非偶函数
A　[f(x)＝sin
2x的定义域为R，f(－x)＝sin
2(－x)
＝－sin
2x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．]
4．函数f(x)＝sin，x∈R的最小正周期为
．
4　[由已知得f(x)的最小正周期T＝＝4.]
三角函数的周期问题及简单应用
【例1】　求下列函数的周期：
(1)y＝sin；
(2)y＝|sin
x|.
[思路点拨]　(1)法一：寻找非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)恒成立．
法二：利用y＝Asin(ωx＋φ)的周期公式计算．
(2)作函数图象，观察出周期．
[解]　(1)法一：(定义法)y＝sin
＝sin＝sin，
所以周期为π.
法二：(公式法)y＝sin中ω＝2，T＝＝＝π.
(2)作图如下：
观察图象可知周期为π.
求三角函数周期的方法：
(1)定义法：即利用周期函数的定义求解．
(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝.
(3)图象法：即通过观察函数图象求其周期．
提醒：y＝|Asin(ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝.
1．利用周期函数的定义求下列函数的周期．
(1)y＝cos
2x，x∈R；
(2)y＝sin，x∈R.
[解]　(1)因为cos
2(x＋π)＝cos(2x＋2π)＝cos
2x，由周期函数的定义知，y＝cos
2x的周期为π.
(2)因为sin
＝sin＝sin，由周期函数的定义知，y＝sin的周期为6π.
三角函数奇偶性的判断
【例2】　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝sin；
(2)f(x)＝lg(1－sin
x)－lg(1＋sin
x)；
(3)f(x)＝.
[思路点拨]　
[解]　(1)显然x∈R，f(x)＝cosx，
∵f(－x)＝cos＝cosx＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(2)由得－1＜sin
x＜1，
解得定义域为，
∴f(x)的定义域关于原点对称．
又∵f(x)＝lg(1－sin
x)－lg(1＋sin
x)，
∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]
＝lg(1＋sin
x)－lg(1－sin
x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(3)∵1＋sin
x≠0，∴sin
x≠－1，
∴x∈R且x≠2kπ－，k∈Z.
∵定义域不关于原点对称，
∴该函数是非奇非偶函数．
1．判断函数奇偶性应把握好的两个方面：
一看函数的定义域是否关于原点对称；
二看f(x)与f(－x)的关系．
2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．
提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则．
2．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝cos＋x2sin
x；
(2)f(x)＝＋.
[解]　(1)f(x)＝sin
2x＋x2sin
x，
又∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x)
＝－sin
2x－x2sin
x＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(2)由得cos
x＝，
∴f(x)＝0，x＝2kπ±，k∈Z，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
三角函数的奇偶性与周期性的综合应用
[探究问题]
1．试举例说明哪些三角函数具有奇偶性？
提示：奇函数有y＝2sin
x，y＝sin
2x，y＝5sin
2x，y＝sin
xcos
x等．偶函数有y＝cos
2x＋1，y＝3cos
5x，y＝sin
x·sin
2x等．
2．若函数y＝f(x)是周期T＝2的周期函数，也是奇函数，则f(2
020)的值是多少？
提示：f(2
020)＝f(0＋1
010×2)＝f(0)＝0.
【例3】　(1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是(　　)
A．y＝cos|2x|　
B．y＝|sin
2x|
C．y＝sin
D．y＝cos
(2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin
x，则f等于(　　)
A．－　　　
B．
C．－　
D．
[思路点拨]　(1)先作出选项A，B中函数的图象，化简选项C、D中函数的解析式，再判断奇偶性、周期性．
(2)先依据f(x＋π)＝f(x)化简f；再依据f(x)是偶函数和x∈，f(x)＝sin
x求值．
(1)D　(2)D　[(1)y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin
2x|是偶函数，y＝sin＝cos
2x是偶函数，y＝cos＝－sin
2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π.
(2)f＝f＝f
＝f＝f＝f＝sin＝.]
若本例(2)中的“偶函数”改为“奇函数”，“π”改为“”，其他条件不变，结果如何？
[解]　f＝f＝f
＝－f＝－sin＝－.
1．三角函数周期性与奇偶性的解题策略
探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解．
2．与三角函数奇偶性有关的结论
(1)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)；
(2)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；
(3)要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；
(4)要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)．
1．掌握2个知识点——周期性、奇偶性
(1)“f(x＋T)＝f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立，T是非零常数，周期T是使函数值重复出现的自变量x的增加值，周期函数的图象每隔一个周期重复一次．
(2)在数轴上，定义域关于原点对称，是函数具有奇偶性的一个必要条件．因此，确定函数的奇偶性，先要考查其定义域是否关于原点对称．若是，再判断f(－x)与f(x)的关系；若不是，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数．
2．规避1个易错
函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)的周期为T＝.
1．如图所示的是定义在R上的四个函数的图象，其中不是周期函数的图象的是(　　)
D　[观察图象易知，只有D选项中的图象不是周期函数的图象．]
2．已知a∈R，函数f(x)＝sin
x－|a|，x∈R为奇函数，则a等于
．
0　[因为f(x)＝sin
x－|a|，x∈R为奇函数，所以f(0)＝sin
0－|a|＝0，所以a＝0.]
3．函数f(x)＝cos
2x＋1的图象关于
对称(填“原点”或“y轴”．)
y轴　[函数的定义域为R，f(－x)＝cos
2(－x)＋1＝cos(－2x)＋1＝cos
2x＋1＝f(x)，
故f(x)为偶函数，所以图象关于y轴对称．]
4．若函数y＝f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数且f(1)＝3，则f(5)＝
.
－3　[由已知得f(x＋3)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，所以f(5)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝－3.]
5．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝－2cos
3x；
(2)f(x)＝xsin(x＋π)．
[解]　(1)f(－x)＝－2cos
3(－x)
＝－2cos
3x＝f(x)，x∈R，
所以f(x)＝－2cos
3x为偶函数．
(2)f(x)＝xsin(x＋π)＝－xsin
x，x∈R，
所以f(－x)＝xsin(－x)＝－xsin
x＝f(x)，
故函数f(x)为偶函数．
PAGE
-
1
-第2课时　单调性与最值
学
习
目
标
核
心
素
养
1.掌握y＝sin
x，y＝cos
x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．(重点、难点)2.掌握y＝sin
x，y＝cos
x的单调性，并能利用单调性比较大小．(重点)3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．(重点、易混点)
1.通过单调性与最值的计算，提升数学运算素养.2.结合函数图象，培养直观想象素养.
过山车是一项富有刺激性的娱乐工具，该运动包含了许多物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理．如果能亲身体验一下过山车那感觉真是妙不可言．一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山车没有倒转)，几个循环路径．
问题：(1)函数y＝sin
x与y＝cos
x也像过山车一样“爬升”，“滑落”，这是y＝sin
x，y＝cos
x的哪些性质？
(2)过山车爬升到最高点，然后滑落到最低点，然后再爬升，对应y＝sin
x，y＝cos
x的哪些性质？y＝sin
x，y＝cos
x在什么位置取得最大(小)值？
提示：(1)单调性；(2)最值，波峰，波谷．
解析式
y＝sin
x
y＝cos
x
图象
值域
[－1,1]
[－1,1]
单调性
在＋2kπ，k∈Z上单调递增，在＋2kπ，k∈Z上单调递减
在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上单调递增，在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上单调递减
最值
x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝－＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1
x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1
思考：y＝sin
x和y＝cos
x在区间(m，n)(其中0＜m＜n＜2π)上都是减函数，你能确定m的最小值、n的最大值吗？
提示：由正弦函数和余弦函数的单调性可知m＝，n＝π.
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)y＝sin
x在(0，π)上是增函数．
(　　)
(2)cos
1＞cos
2＞cos
3.
(　　)
(3)函数y＝－sin
x，x∈的最大值为0.
(　　)
[提示]　(1)错误．y＝sin
x在上是增函数，在上是减函数．
(2)正确．y＝cos
x在(0，π)上是减函数，且0＜1＜2＜3＜π，所以cos
1＞cos
2＞cos
3.
(3)正确．函数y＝－sin
x在x∈上为减函数，故当x＝0时，取最大值0.
[答案]　(1)×　(2)√　(3)√
2．函数y＝－cos
x在区间上是(　　)
A．增函数　　
B．减函数
C．先减后增函数
D．先增后减函数
C　[因为y＝cos
x在区间上先增后减，所以y＝－cos
x在区间上先减后增．]
3．函数y＝sin
x的值域为
．
　[因为≤x≤，所以≤sin
x≤1，即所求的值域为.]
4．函数y＝2－sin
x取得最大值时x的取值集合为
．
　[当sin
x＝－1时，ymax＝2－(－1)＝3，
此时x＝2kπ－，k∈Z.]
正弦函数、余弦函数的单调性
【例1】　(1)函数y＝cos
x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是
．
(2)已知函数f(x)＝sin＋1，求函数f(x)的单调递增区间．
[思路点拨]　(1)确定a的范围→y＝cos
x在区间[－π，a]上为增函数→y＝cos
x在区间[－π，0]上是增函数，在区间[0，π]上是减函数→a的范围．
(2)确定增区间→令u＝＋2x→y＝sin
u的单调递增区间．
(1)(－π，0]　　[因为y＝cos
x在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π＜a≤0时满足条件，故a∈(－π，0]．]
(2)[解]　令u＝＋2x，函数y＝sin
u的单调递增区间为，k∈Z，由－＋2kπ≤＋2x≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以函数f(x)＝sin＋1的单调递增区间是，k∈Z.
1．求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b或形如y＝Acos(ωx＋φ)＋b(其中A≠0，ω>0，b为常数)的函数的单调区间，可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间，通过解不等式求得．
2．具体求解时注意两点：①要把ωx＋φ看作一个整体，若ω<0，先用诱导公式将式子变形，将x的系数化为正；②在A>0，ω>0时，将“ωx＋φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A<0，ω>0时同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间．
提醒：复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律．
1．(1)函数y＝sin，x∈的单调递减区间为
．
(2)已知函数y＝cos，则它的单调减区间为
．
(1)，　(2)(k∈Z)　[(1)由＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
得＋≤x≤＋(k∈Z)．
又x∈，
所以函数y＝sin，
x∈的单调递减区间为，.
(2)y＝cos＝cos，
由2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，∴单调递减区间是(k∈Z)．]
利用三角函数的单调性比较大小
【例2】　利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
(1)sin与sin；
(2)sin
196°与cos
156°；
(3)cos与cos.
[思路点拨]　→
[解]　(1)∵－＜－＜－＜，
∴sin＞sin.
(2)sin
196°＝sin(180°＋16°)＝－sin
16°，
cos
156°＝cos(180°－24°)＝－cos
24°＝－sin
66°，
∵0°＜16°＜66°＜90°，
∴sin
16°＜sin
66°，
从而－sin
16°＞－sin
66°，
即sin
196°＞cos
156°.
(3)cos＝cosπ
＝cos＝cosπ，
cos＝cosπ
＝cos＝cos.
∵0＜＜π＜π，且y＝cos
x在[0，π]上是减函数，
∴cosπ＜cos，
即cos＜cos.
三角函数值大小比较的策略
?1?利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到[－π，0]或[0，π]内.
?2?不同名的函数化为同名的函数.
?3?自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内，借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小.
2．(1)已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是(　　)
A．sin
α＜sin
β　
B．cos
α＜sin
β
C．cos
α＜cos
β
D．cos
α
＞cos
β
(2)比较下列各组数的大小：
①cos，cos；②cos
1，sin
1.
(1)B　[α，β为锐角三角形的两个内角，α＋β＞，α＞－β，α∈，－β∈，
所以cos
α＜cos＝sin
β.]
(2)[解]　①cos＝cos，cos＝cos，因为0＜＜＜π，而y＝cos
x在[0，π]上单调递减，
所以cos＞cos，即cos＞cos.
②因为cos
1＝sin，而0＜－1＜1＜且y＝sin
x在上单调递增，所以sin＜sin
1，
即cos
1＜sin
1.
正弦函数、余弦函数的最值问题
[探究问题]
1．函数y＝sin在x∈[0，π]上最小值是多少？
提示：因为x∈[0，π]，所以x＋∈，由正弦函数图象可知函数的最小值为－.
2．函数y＝Asin
x＋b，x∈R的最大值一定是A＋b吗？
提示：不是．因为A>0时最大值为A＋b，若A<0时最大值应为－A＋b.
【例3】　(1)函数y＝cos2x＋2sin
x－2，x∈R的值域为
．
(2)已知函数f(x)＝asin＋b(a＞0)．当x∈时，f(x)的最大值为，最小值是－2，求a和b的值．
[思路点拨]　(1)先用平方关系转化，即cos2x＝1－sin2x，再将sin
x看作整体，转化为二次函数的值域问题．
(2)先由x∈求2x－的取值范围，再求的取值范围，最后求f(x)min，f(x)max，列方程组求解．
(1)[－4,0]　[y＝cos2x＋2sin
x－2
＝－sin2x＋2sin
x－1＝－(sin
x－1)2.
因为－1≤sin
x≤1，所以－4≤y≤0，所以函数y＝cos2x＋2sin
x－2，x∈R的值域为[－4,0]．]
(2)[解]　∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，
∴－≤sin≤1，
∴f(x)max＝a＋b＝，
f(x)min＝－a＋b＝－2.
由得
1．求本例(1)中函数取得最小值时x的取值集合．
[解]　因为y＝cos2x＋2sin
x－2＝－sin2x＋2sin
x－1＝－(sin
x－1)2，
所以当sin
x＝－1时，ymin＝－4，
此时x的取值集合为.
2．将本例(1)中函数改为y＝cos2x＋sin
x，x∈R结果又如何？
[解]　y＝cos2x＋sin
x＝1－sin2x＋sin
x＝－2＋.
因为－1≤sin
x≤1，
所以－1≤y≤，
所以函数y＝cos2x＋sin
x，x∈R的值域为.
三角函数最值问题的常见类型及求解方法：
?1?y＝asin2x＋bsin
x＋c?a≠0?，利用换元思想设t＝sin
x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定.
?2?y＝Asin?ωx＋φ?＋b，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin?ωx＋φ?的范围，最后得最值.
1．理解2个知识点——三角函数的单调性、最值
(1)确定三角函数单调区间的方法有多种，如换元法、列表法、图象法等，解题时需适当选取，同时要注意，求函数的单调区间必须在这个函数的定义域内进行．
(2)函数单调性最基本的应用是比较大小与求值域，求三角函数值域的方法很多，如果函数式中含有多个三角函数式，往往要先将函数式进行变形．
2．掌握3种方法
(1)求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)单调区间的方法
把ωx＋φ看成一个整体，由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为单调递增区间，由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为单调递减区间．若ω＜0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．
(2)比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．
(3)求三角函数值域或最值的常用方法：
将y表示成以sin
x(或cos
x)为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围．
3．规避2个误区
(1)单调区间漏写k∈Z；(2)求值域时忽视sin
x，cos
x本身具有的范围限制．
1．y＝2cos
x2的值域是(　　)
A．[－2,2]　　　
B．[0,2]
C．[－2,0]
D．R
A　[因为x∈R，所以x2≥0，所以y＝2cos
x2∈[－2,2]．]
2．下列函数中，在区间上恒正且是增函数的是(　　)
A．y＝sin
x
B．y＝cos
x
C．y＝－sin
x
D．y＝－cos
x
D　[作出四个函数的图象，知y＝sin
x，y＝cos
x在上单调递减，不符合；而y＝－sin
x的图象虽满足在上单调递增但其值为负，所以只有D符合，故选D.]
3．若cos
x＝m－1有意义，则m的取值范围是
．
[0,2]　[因为－1≤cos
x≤1，要使cos
x＝m－1有意义，
须有－1≤m－1≤1，所以0≤m≤2.]
4．sin
sin(填“＞”或“＜”)．
＞　[sin＝sin＝sin，
因为0＜＜＜，y＝sin
x在上是增函数，所以sin＜sin，即sin＞sin.]
5．求函数y＝1－sin
2x的单调递增区间．
[解]　求函数y＝1－sin
2x的单调递增区间，转化为求函数y＝sin
2x的单调递减区间，
由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即函数的单调递增区间是(k∈Z)．
PAGE
-
9
-5.4.3　正切函数的性质与图象
学
习
目
标
核
心
素
养
1.能画出正切函数的图象．(重点)2．掌握正切函数的性质．(重点、难点)3．掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线．(易错点)
1.
借助正切函数的图象研究问题，培养直观想象素养．2.
通过正切函数的性质的应用，提升逻辑推理素养.
学习了y＝sin
x，y＝cos
x的图象与性质后，明确了y＝sin
x，y＝cos
x的图象是“波浪”型，连续不断的，且都是周期函数，都有最大(小)值．
问题：类比y＝sin
x，y＝cos
x的图象与性质．
(1)y＝tan
x是周期函数吗？有最大(小)值吗？
(2)正切函数的图象是连续的吗？
提示：(1)y＝tan
x是周期函数，且T＝π，无最大、最小值．
(2)正切函数的图象在定义域内不是连续的．
正切函数的图象与性质
解析式
y＝tan
x
图象
定义域
值域
R
周期
π
奇偶性
奇函数
对称中心
，k∈Z
单调性
在开区间，k∈Z内都是增函数
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)正切函数的定义域和值域都是R.
(　　)
(2)正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心．
(　　)
(3)正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是x＝kπ±，k∈Z.
(　　)
(4)正切函数是增函数．
(　　)
[提示]　由正切函数图象可知(1)×，(2)√，(3)×，(4)×.
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．在下列函数中同时满足：①在上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是(　　)
A．y＝tan
x　　　
B．y＝cos
x
C．y＝tan
D．y＝－tan
x
C　[A，D的周期为π，B中函数在上递减，故选C.]
3．函数y＝tan
3x的定义域为
．
　[因为3x≠kπ＋，k∈Z，所以x≠π＋，k∈Z.]
4．函数y＝tan的单调增区间是
．
，k∈Z　[令kπ－＜x－＜kπ＋，k∈Z，得kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z
即函数y＝tan的单调增区间是
，k∈Z.]
有关正切函数的定义域、值域问题
【例1】　(1)函数y＝的值域是(　　)
A．(－1,1)　　　
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，1)
D．(－1，＋∞)
(2)函数y＝3tan的定义域为
．
(3)函数y＝＋lg(1－tan
x)的定义域为
．
[思路点拨]　求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线．
(1)B　(2)
(3)　[(1)当－＜x＜0时，－1＜tan
x＜0，∴＜－1；
当0＜x＜时，0＜tan
x＜1，∴＞1.
即当x∈∪时，函数y＝的值域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
(2)要使函数有意义应满足－≠kπ＋，k∈Z，得x≠－4kπ－，k∈Z，
所以函数的定义域为.
(3)要使函数y＝＋lg(1－tan
x)有意义，则
即－1≤tan
x<1.
在上满足上述不等式的x的取值范围是.
又因为y＝tan
x的周期为π，所以所求x的定义域为.]
1．求正切函数定义域的方法
(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan
x有意义即x≠＋kπ，k∈Z.
(2)求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x.
2．解形如tan
x＞a的不等式的步骤
提醒：求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件．
1．函数y＝logtan的定义域是(　　)
A.
B.
C.
D.
B　[由题意tan＞0，
即tan＜0，
∴kπ－＜x－＜kπ，
∴kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z，故选B.]
2．求函数y＝tan2＋tan＋1的定义域和值域．
[解]　由3x＋≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋(k∈Z)，所以函数的定义域为.
设t＝tan，
则t∈R，y＝t2＋t＋1＝＋≥，
所以原函数的值域是.
正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性
【例2】　(1)(教材P213习题5.4T8改编)函数f(x)＝tan的周期为
．
(2)已知函数y＝tan，则该函数图象的对称中心坐标为
．
(3)判断下列函数的奇偶性：
①y＝3xtan
2x－2x4；②y＝cos＋tan
x.
[思路点拨]　(1)形如y＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)的周期T＝，也可以用定义法求周期．
(2)形如y＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)的对称中心横坐标可由ωx＋φ＝，k∈Z求出．
(3)先求定义域看是否关于原点对称，若对称再判断f(－x)与f(x)的关系．
(1)　(2)，k∈Z　[(1)法一：(定义法)
∵tan＝tan，
即tan＝tan，
∴f(x)＝tan的周期是.
法二：(公式法)
f(x)＝tan的周期T＝.
(2)由x－＝(k∈Z)得x＝＋(k∈Z)，所以图象的对称中心坐标为，k∈Z.]
(3)①定义域为，关于原点对称，
又f(－x)＝3(－x)tan
2(－x)－2(－x)4＝3xtan
2x－2x4＝f(x)，所以它是偶函数．
②定义域为，关于原点对称，
y＝cos＋tan
x＝sin
x＋tan
x，
又f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin
x－tan
x
＝－f(x)，所以它是奇函数．
1．函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)周期的求解方法：
(1)定义法．
(2)公式法：对于函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝.
(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现．
2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法：
先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系．
提醒：y＝tan
x，x≠kπ＋，k∈Z的对称中心坐标为，k∈Z.
3．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝tan＋tan.
[解]　(1)由
得f(x)的定义域为
，
不关于原点对称，
所以函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数．
(2)函数定义域为
，
关于原点对称，
又f(－x)＝tan＋tan
＝－tan－tan
＝－f(x)，
所以函数f(x)是奇函数．
正切函数单调性的应用
[探究问题]
1．正切函数y＝tan
x在其定义域内是否为增函数？
提示：不是．正切函数的图象被直线x＝kπ＋(k∈Z)隔开，所以它的单调区间只在(k∈Z)内，而不能说它在定义域内是增函数．假设x1＝，x2＝π，x1x1＝tan
x2.
2．如果让你比较tan与tan的大小，你应该怎样做？
提示：先根据正切函数的周期性把两角化到同一单调区间内，再由正切函数的单调性进行比较．
【例3】　(1)tan
1，tan
2，tan
3，tan
4从小到大的排列顺序为
．
(2)求函数y＝3tan的单调区间．
[思路点拨]　(1)利用y＝tan
x在上为增函数比较大小，注意tan
1＝tan(π＋1)．
(2)先将原函数化为y＝－3tan，再由－＋kπ＜2x－＜＋kπ，k∈Z，求出单调减区间．
(1)tan
2＜tan
3＜tan
4＜tan
1　[y＝tan
x在区间上是单调增函数，且tan
1＝tan(π＋1)，
又＜2＜3＜4＜π＋1＜，
所以tan
2＜tan
3＜tan
4＜tan
1.]
(2)y＝3tan＝－3tan，
由－＋kπ＜2x－＜＋kπ，k∈Z得，
－＋＜x＜＋，k∈Z，
所以y＝3tan的单调递减区间为，k∈Z.
1．将本例(2)中的函数改为“y＝3tan”，结果又如何？
[解]　由kπ－得2kπ－∴函数y＝3tan的单调递增区间是(k∈Z)．
2．将本例(2)中的函数改为“y＝lgtan
x”结果又如何？
[解]　因为函数y＝lg
x在(0，＋∞)上为增函数．
所以函数y＝lgtan
x的单调递增区间，
就是函数y＝tan
x(tan
x＞0)的递增区间，
即，k∈Z.
1．求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω≠0，且A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法
(1)若ω＞0，由于y＝tan
x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－＜ωx＋φ＜kπ＋，k∈Z，解得x的范围即可．
(2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．
2．运用正切函数单调性比较大小的步骤
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
(2)运用单调性比较大小关系．
提醒：y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)只有增区间；y＝Atan(ωx＋φ)(A＜0，ω＞0)只有减区间．
掌握2个知识点——正切函数的图象、性质
(1)利用单位圆中的正切线作正切函数的图象，作图较为准确，但画图时较繁，我们常用“三点两线”法作正切曲线的简图．
(2)正切函数与正弦函数、余弦函数的性质比较．
性质
正切函数
正弦函数、余弦函数
定义域
R
值域
R
[－1,1]
最值
无
最大值为1
最小值为－1
单调性
仅有单调递增区间，不存在单调递减区间
单调递增区间、单调递减区间均存在
奇偶性
奇函数
正弦函数是奇函数
余弦函数是偶函数
周期性
T＝π
T＝2π
对称性
有无数个对称中心，不存在对称轴
对称中心和对称轴均有无数个
1．函数f(x)＝|tan
2x|是(　　)
A．周期为π的奇函数　
B．周期为π的偶函数
C．周期为的奇函数
D．周期为的偶函数
D　[f(－x)＝|tan(－2x)|＝|tan
2x|＝f(x)为偶函数，T＝.]
2．若tan
x≥1，则(　　)
A．2kπ－＜x＜2kπ(k∈Z)
B．x≤(2k＋1)π(k∈Z)
C．kπ－＜x≤kπ(k∈Z)
D．kπ＋≤x＜kπ＋(k∈Z)
D　[因为tan
x≥1＝tan.
所以＋kπ≤x＜＋kπ，k∈Z.]
3．比较大小：tan
tan
.
<　[因为tan
＝tan
，tan
＝tan
，又0<<<，y＝tan
x在内单调递增，
所以tan
，即tan
.]
4．求函数y＝tan(π－x)，x∈的值域为
．
(－，1)　[y＝tan(π－x)＝－tan
x，
在上为减函数，
所以值域为(－，1)．]
5．求函数y＝tan的定义域、最小正周期、单调区间及其图象的对称中心．
[解]　①由－≠kπ＋，k∈Z，得x≠2kπ＋，k∈Z，∴函数的定义域为.
②T＝＝2π，
∴函数的最小正周期为2π.
③由kπ－＜－＜kπ＋，k∈Z，得2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z，
∴函数的单调递增区间为，
k∈Z.
④由－＝，k∈Z，得x＝kπ＋，k∈Z，
∴函数图象的对称中心是，k∈Z.
PAGE
-
1
-

展开更多......

收起↑