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第二十一章
一元二次方程
一、一元二次方程
1．概念：
只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2.
一般形式
其中，
是二次项，是二次项系数；
是一次项，b
是一次项系数；c是常数项。
3.
一元二次方程的解（根）
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。
二、一元二次方程的解法
解一元二次方程的基本思路是“降次”，通过“降次”将一元二次方程化为一元一次方程．
(1)
直接开平方法：
若，则x叫做a的平方根，表示为x=
：这种解一元二沃方程的方法，叫做直接开平方法。
直接开平方法解一元二次方程的步骤是：
①
移项；②
使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为
1；③
两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。
(2)
配方法
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。其理论依据：完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2
配方法解一元二次方程的步骤：
一移、二除、三配、四解。
即：1）把常数项移到等号的右边；
2）方程两边都除以二次项系数；
3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；
4）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。
①公式法：
一般地，对于一元二次方程
，如果
，那么方程的两个根为
，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a、b、c
的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。
②
因式分解法：
将一元二次方程先因式分解使方程化为两个因式的乘积等于0的形式，再使这两个因式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
因式分解法解一元二次方程的步骤：
1）
移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；
2）
把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式；
3）
令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；
4）
解一元一次方程即可得到原方程的解。
三、一元二次方程根的判别式
ax2+bx+c=0（a≠0）
△=b2-4ac＞0
△=b2-4ac=0
△=b2-4ac＜0
方程有两个不相等的实数根
方程有两个相等的实数根
方程无实数根
四、一元二次方程根与系数的关系
若xl，x2是一元二次方程ax2
+bx+c=0(a≠0)的两个根，则有
,
。
第二十二章
二次函数
一、二次函数及其图象
1．二次函数的定义
一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数a≠0）的函数，叫做二次函数，其中x是自变量，a、b、c分别是函数表达式的二次项系数，-一项系数和常数项。
2．二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质
函数
y=ax2（a＞0）
y=ax2（a＜0）
图象
开口方向
向上
向下
顶点坐标
（0，0）
（0，0）
对称轴
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
增减性
x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小
x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大
最值
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
3.
二次函数y=a（x-h）2（a≠0）的图象与性质
函数
y=a(x-h)2
(a>0)
y=a(x-h)2
(a<0)
图象
顶点坐标
（h，0）
对称轴
直线x=h
顶点位置
当h＞0时，顶点在y轴的右侧；当h＜0时，顶点在y轴的左侧。
增减性
在对称轴的左侧，随的增大而减小；在对称轴的右侧，随的增大而增大
在对称轴的左侧，随的增大而增大；在对称轴的右侧，随的增大而减小
开口方向
向上
向下
最值
当x=h时，y最小值=0
当x=h时，y最大值=0
4.
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质
函数
y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
图象
开口方向
向上
向下
对称轴
直线
直线
顶点坐标
增减性
当，随的增大而减小；当，随的增大而增大
当，随的增大而增大；当，随的增大而减小
最值
当时，y有最小值，y最小值
=
当时，y有大值，y最大值
=
5．二次函数解析式的求法——待定系数法
形式
内容
适用条件
一般式
y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），解析式的右边是二次三项式的一般式
当已知抛物线上任意三点坐标时，通常设函数的解析式为一般式，然后列出关于a、b、c的三元一次方程组求解
顶点式
y=a(x-h)2+k
(a，h，k为常数，且a≠0)，由解析式的右边可知，抛物线的顶点的坐标为（h，k）
当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大（小）值时，通常设函数的解析式为顶点式，然后代入另一点的坐标，解关于a的一元一次方程
交点式
y=a（x-x1）（x-x2）
（a，x1，x2为常数，且a≠0），其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标
当已知抛物线与x轴的两交点坐标时，通常设函数的解析式为交点式
二、用函数观点看一元二次方程
一元二次方程ax2
+bx+c=0(a≠0)与二次函数y=
ax2
+bx+c
(a≠0)的关系（以a＞0为例）
b2-4ac＞0
b2-4ac=0
b2-4ac＜0
一元二次方程ax2
+bx+c=0(a＞0)
有两个不等实根
有两个相等实根
没有实根
二次函数y=
ax2
+bx+c
(a＞0)的图象
抛物线与x轴交点的个数
有两个交点（x1，0），（x2，0）
只有一个交点（，0）
无交点
第二十三章旋转
一、图形的旋转
1．旋转及其相关概念
图形
旋转
相关概念
在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O
转动一个角度，就叫做图形的旋转。
点O
叫做旋转中心，
转动的角叫做旋转角。如果图形上的点P经过旋转变为P/，，那么这两个点叫做这个旋转点的对应点。
2．旋转的性质
(1)
对应点到旋转中心的距离相等
(2)
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
(3)
旋转前后的图形全等。
理解以下几点：
(1)
图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。
(2)
对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。
(3)
图形的大小和形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。
二、中心对称
1.
概念：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。
2.
性质：
(1)
关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心所平分．
(2)
成中心对称的两个图形是全等图形．
3．确定对称中心的方法
(1)
任意连接一对对称点，取这条线段的中点，则该点为对称中心．
(2)
任意连接两对对称点，这两条线段的交点是对称中心．
4．中心对称图形的概念
把一个图形绕着某一个点旋转1800，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。
中心对称是两个图形，中心对称图形是一个．
5．关于原点对称的点的坐标
(1)
规律：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为p/(-x，-y)．
(2)点P（x，y）在坐标系中的简单对称
①
P
(x，y)关于原点轴对称P/（-x，y）
②
P
(x，y)关于x轴对称p/（x，-y）
③
P
(x，y)关于
y轴对称P/（-x，y）
④
P
(x，y)关于
y=x轴对称P/（y，x）
⑤
P
(x，y)关于
y=-x轴对称P/（-y，-x）
第二十四章
圆
一、圆
1．圆的定义
在平面内，线段OA
绕它固定的一个端点O
旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫作圆。固定的端点O
叫作圆心，线段OA
叫作半径。以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
2．圆的有关概念
弦
连接圆上任意两点的线段叫做弦，记作”弦AB””弦CD”等
直径
经过圆心的弦叫作直径.
记作”直径AB””直径CD”等
弧
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
圆心角
顶点在圆心的角，叫做圆心角
圆周角
顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角，叫做圆周角
等圆
能够重合的两个圆叫做等圆
等弧
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧
同心圆
圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆
二、圆的基本性质
1．圆的对称性
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，圆有无数条对称轴，圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心。圆还具有旋转不变性。
2.
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直径为CD，AB
是弦，且
CD⊥AB，
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
如上图所示，直径CD
与非直径弦AB
相交于点M，
注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。
3．弧、圆心角、弦及弦心距关系定理
(1)弦心距：圆心到弦的距离．
(2)定理
①
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等，
②
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组相等，它们所对应的其余各组量也相等．
4．圆周角的性质
(1)
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
(2)
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
(3)
在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等．它们所对的弧一定相等。
5.
圆内接多边形
定义：
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。
性质：圆内接四边形的对角互补，并且任意一个外角等于它的内对角。
三、与圆有关的位置关系
1.
点与圆的位置关系
设⊙O
的半径是r，点P
到圆心O的距离为d
点和圆的位置关系
点p
在⊙O外
点p
在⊙O上
点p
在⊙O内
图示
等价条件
d＞r
d=r
d＜r
2.
三角形的外接圆
(1)
经过不在同一条直线上的三个点可以作一个圆。
(2)
经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。
3.
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
图示
圆心O到直线的距离d与关径r的关系，
相
交
d
＜
r
相
切
d
=
r
相
离
d
＞
r
4.
圆的切线
(1)
切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
(2)
切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径。
(3)
切线长及性质定理
①切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
②切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
5.
三角形的内切圆
(1)
有关概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，也叫三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
(2)
三角形内切圆的作法
①
确定圆心：三角形两条角平分线的交点即为圆心。
②
确定半径：交点到三角形任意一边的距离即为内切圆的半径。
6.
圆和圆的置关系（R，r分别为大、小圆半径，d为圆心距）
关系
图形
公共点个数
相离
外离
d＞R+r外离
无
内含
d＜R-r内含
d=0同心圆
相切
外切
d=R+r外切
1
内切
d=R-r内切
相
交
R-r＜d＜R+r相交
2
四、正多边形和圆
1．圆内接正多边形的有关概念
名称
概念
图形
中心
一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心
半径
外接圆的半径叫做正多边形的半径
中心角
正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角
边心距
中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距
2.
正多边形的外接圆和圆的内切圆
把圆分成n（n
是大于2
的自然数）等份，顺次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形，这个圆就是这个正n边形的外接圆。经过各分点作圆的切线，以相邻两切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形，圆是多边形的内切圆。
五、弧长和扇形面积
1．弧长公式：在半径是R的圆中，n°圆心角所对的弧长
2.
扇形面积公式：在半径为R
的圆中，360°的圆心角所对的扇形面积就是圆的面积
，所以圆心角为n°的扇形的面积为。用弧长表示扇形的面积：，其中I表示扇形的弧长，R表示半径。
3.
圆锥
(1)
轴、母线
圆锥的轴通过底面圆的圆心，并且垂直于底面；圆锥的母线长相等。
(2)
圆锥的侧面展开图及有关计算
圆锥的侧面展开图是一个扇形．设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径l,扇形的弧长为2πr，因此圆锥的侧面积为
，圆锥的全面积为
第二十五章
概率初步
一、随机事件与概率
1．事件的分类
2．概率
(1)
定义：对于一个随机事件A，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)．
(2)
事件与概率的关系图
(3)
求法：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P(A)=
。
(4)
取值范围：0≤P(A)≤1．当A必然发生时，P(A)=1；当A不可能发生时，P(A)=0。
二、用列举法求概率
1．用列举法求概率的条件
(1)
一次试验中，可能出现的结果只有有限个；
(2)
一次试验中，各种结果发生的可能性相等。
2．具体方法
列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。
树形图法：当一次试验要涉及3
个或更多的因素时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图。
三、用频率估计概率
一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数P附近，那么这个常数P就叫做事件A的概率，记为P
(A)=P．
人教版九年级数学（上册）通关宝典
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