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等差数列知识点
一、定义
数列若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称是等差数列，这个常数称为的公差，通常用表示.
即：若(，d为常数)数列为等差数列.
等差中项
如果成等差数列，那么b叫做与c的等差中项，即.
（1）等差中项的性质：若为的等差中项，则有即
（2）如果为等差数列，则，均为的等差中项
（3）如果为等差数列，则
注：①一般情况下，等式左右所参与项的个数可以是多个，但要求两边参与项的个数相等。
比如，则不一定成立
②
利用这个性质可利用序数和与项数的特点求出某项。例如：，可得，即可得到，这种做法可称为“多项合一”
【注】两个数的等差中项就是两个数的算术平均数，三个数成等差数列的充要条件是.
三、通项公式
1、等差数列的通项公式
首相为，公差为的等差数列的通项公式为：（）
推导过程：
（1）归纳法：
根据等差数列定义可得：，
∴，
，
，
……
当n=1时，上式也成立
∴归纳得出等差数列的通项公式为：（）.
（2）叠加法：
根据等差数列定义，有：
，
，
，
…
把这个等式的左边与右边分别相加（叠加），并化简得，
∴.
(3)迭代法：
∴.
2、等差数列通项公式的推广
已知等差数列中，第项为，公差为，则：（从第m项开始为等差）
证明：∵，
∴
∴
由上可知，等差数列的通项公式可以用数列中的任一项与公差来表示，公式可以看成是时的特殊情况.
三、等差数列的性质
等差数列中，公差为，则
（1）若，且,则，
特别地，①当时，.
②若，则．
（2）下标成公差为的等差数列的项,,,…组成的新数列仍为等差数列，公差为.
（3）若数列也为等差数列，则，，，（k,b为非零常数）也是等差数列.
（4）若，则．
（5）若三个数成等差数列，可设为；若四个数成等差数列，可设为.
（6）如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.
注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究.
四、等差数列的前项和公式
公式一：
【证明】：
①
②
①+②：
∵
∴
由此得：
公式变形：
（1）由可得：，作用：在求等差数列前项和时，不一定必须已知，只需已知序数和为的两项即可；
（2）由通项公式代入可得公式二：
要点诠释：
①倒序相加是数列求和的重要方法之一.
②上面两个公式均为等差数列的求和公式，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素.只要已知这5个元素中的任意3个，通过解方程组便可求出其余2个，即知3求2.
五、等差数列的前n项和的有关性质
（1）若为等差数列的前n项和，则数列也为等差数列.
（2）连续项的和依然成等差数列，即,,，…成等差数列，且公差为.
（3）若项数为2n，则，，，
（4）若项数为2n-1，则，，，，
（5）若是等差数列，且前项和分别为，则，.（会推导）
（6），此性质对任何一种数列都适用.
（7）等差数列中，若m+n=p+q（m、n、p、q∈N
，且m≠n，p≠q），则.
六、等差数列中的函数关系
1、等差数列的通项公式是关于n的一次函数(或常数函数)
等差数列中，，令,则：（,是常数且为公差）
（1）当时，为常数函数，为常数列；图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点.
（2）当时，是的一次函数；图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点.
①当时，一次函数单调增，为递增数列；
②当＜0时，一次函数单调减，为递减数列.
（3）（d,b是常数）是数列成等差数列的充要条件.
2、等差数列的前项和公式是关于n的一个常数项为零的二次函数（或一次函数）
由，令，，则：（,为常数）
（1）当即时，，是关于的一个一次函数；它的图象是在直线上的一群孤立的点.
（2）当即时，是关于的一个常数项为零的二次函数；它的图象是在抛物线上的一群孤立的点.
（3）(其中A,B为常数)是数列成等差数列的充要条件.
（4）若数列的前n项和，那么当且仅当时，数列是以为首项，为公差的等差数列；当时，数列不是等差数列．21教
七：等差数列前n项和的最值问题
1．二次函数法：为等差数列（是关于n的常数项为0的二次函数），的最值可求二次函数的最值：求出对称轴，再求出距离对称轴最近的正整数k，当
时，为最值，是最大或最小，通过的开口来判断．但应注意，最接近k的正整数有1个或2个．
注意：自变量n为正整数这一隐含条件.
2．通项公式法：求使()成立时最大的n值即可．
一般地，等差数列中，若，且，则
①若为偶数，则当时，最大；
②若为奇数，则当或时，最大．
不等式法：求出中的正、负分界项，即：当，解不等式组可得达到最大值时的n值；当，由可得达到最小值时的n值.
八、等差数列的判定与证明
定义法：或是等差数列；
等差中项法：为等差数列；或；
通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列；
即：通项公式为n的一次函数，公差，首项.（可用于选择填空快速判断）
前n项和公式法：为常数为等差数列．
即：关于n的不含常数项的二次函数（可用于选择填空快速判断）
【注意】：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项，使得即可；
如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．
九、递推关系构造等差数列的常见题型
（1）转化为常数，则是等差数列；
（2）转化为常数，则（c可以为0）是等差数列；
（3）转化为常数，则是等差数列；
（4）转化为常数，则是等差数列；
（5）转化为常数，则（c可以为0）是等差数列．
十、应用问题
利率单利问题：如零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：若每期存入本金元，每期利率为，则期后本利和为：（等差数列问题）.
十一、典型例题：
例1：设等差数列的前项和为，且，，则_________
思路：由可得：，即。而，所以不是各项为0的常数列，考虑，所以
【注】关于等差数列前项和还有这样两个结论：
（1）若，则（本题也可用此结论：，从而利用奇数项和与中间项的关系可得）
（2）若，则有
例2：已知数列为等差数列，若，则_______
解：为等差数列，也为等差数列，
例3：设为等差数列的前项和，，则________
思路一：解：
思路二：已知，从而联想到可用表示，即，所以等式变为：，所以可得。
例4：在等差数列中，，其前项和为，若，则的值等于_______
思路：由观察到的特点，所以考虑数列的性质，由等差数列前
项和特征可得，从而可判定为等差数列，且可得公差，所以，所以，即
例5：已知为等差数列，且前项和分别为，若，则_____
思路：，所求可发现分子分母的项序数相同，结合条件所给的是前项和的比值。考虑利用中间项与前项和的关系，有：
，将项的比值转化为数列和的比值，从而代入即可求值：
【注】等差数列中的项与以该项为中间项的前项和可搭建桥梁：，这个桥梁往往可以完成条件中有关数列和与项之间的相互转化。
例6：已知等差数列中，，则此数列前项和等于_______
思路：求前30项和，联想到公式，则只需。由条件可得：，所以，所以
例7：已知等差数列中，，则的值为___________
思路：条件为相邻4项和，从而考虑作差能解出数列的公差：，可得：
，解得，
考虑，
所以
例8：等差数列有两项，满足，则该数列前项之和为_________
解：，
,
例9：在等差数列中，，若其前项和为，且，那么当取最大值时，的值为______.
思路一：考虑从的项出发，由可得，可得，因为，所以，从而最大
思路二：也可从的图像出发，由可得图像中是对称轴，再由与可判断数列的公差，所以为开口向下的抛物线，所以在处取得最大值
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