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安徽省安庆市宜秀区白泽湖中学2021届高三数学上学期入学考试试题
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知全集，集合，，则=（ ）
A．{0，4} B．{0，1，4} C． {1，4} D．{0，1}
2．已知复数满足（其中为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．平面向量与的夹角为，且，为单位向量，则（ ）
A． B． C．19 D．
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种互相转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被y＝3sinx的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）
A．B．
C．D．
7．等比数列{an}中，a5、a7是函数f（x）＝x2﹣4x+3的两个零点，则a3?a9等于（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
8．运行如图所示的程序算法，若输入的值为20，则输出的结果为（ ）
A．20 B．10 C．0 D．
9.自2019年12月以来，在湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例，研究表明，该新型冠状病毒具有很强的传染性各级政府反应迅速，采取了有效的防控阻击措施，把疫情控制在最低范围之内.某社区按上级要求做好在鄂返乡人员体格检查登记，有3个不同的住户属在鄂返乡住户，负责该小区体格检查的社区诊所共有4名医生，现要求这4名医生都要分配出去，且每个住户家里都要有医生去检查登记，则不同的分配方案共有（ ）
A.12种 B.24种 C.36种 D.72种
10．函数在的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
11.设函数，若函数的图象在处的切线与直线平行，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
12在空间直角坐标系中，四面体各顶点坐标分别为，，则该四面体外接球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13．若变量满足约束条件，则的最大值为____.．
14.是展开式中的常数项为_______.
15. 已知双曲线的左顶点为，右焦点为，点，双曲线的渐近线上存在一点，使得，，，顺次连接构成平行四边形，则双曲线的离心率____.
16.函数的最小正周期是______．
三．解答题（本大题共6小题.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）已知等比数列各项均为正数，是数列的前n项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.
18（本小题满分12分）△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知
（1）求角C的大小；
（2）已知，△ABC的面积为6，求边长c的值.
19．（本小题满分12分）如图，四棱锥，，，，为等边三角形，平面平面，为中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
20（本小题满分12分）
微信作为一款社交软件已经在支付，理财，交通，运动等各方面给人的生活带来各种各样的便利。手机微信中的“微信运动”，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数．A先生朋友圈里有大量好友使用了“微信运动”这项功能。他随机选取了其中40名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如下表所示：
步数 性别











男 1 3 4 6 4 2
女 2 4 5 5 3 1
（1）以样本估计总体，视样本频率为概率，在A先生的微信朋友圈里的男性好友中任意选取3名，其中走路步数不低于6000步的有名，求的分布列和数学期望；
（2）如果某人一天的走路步数不低于8000步，此人将被“微信运动”评定为“运动达人”，否则为“运动鸟人”．根据题意完成下面的列联表，并据此判断能否有90％以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？
运动达人 运动鸟人 总计
男


女


总计


附：．
0．10 0．05 0．025 0．01
2．706 3．841 5．024 6．635
21．（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且的面积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过原点作圆的两条切线，切点分别为，求.
22．（本小题满分12分）已知函数．
（I）当时，求的单调区间；（II）若有两个极值点,且，求取值范围．（其中e为自然对数的底数）．

数学参考答案
一选择题
BBABD BDBCA DB
二填空题
13． 2
14. 28
15． 2
16. 三．解答题
17．（1）设等比数列的公比为，因为，，
所以，因为各项均为正数
解得（负值舍去），所以；
（2）由已知得，，
所以为等差数列，
因为
所以
18．（1）由已知得，
化简得，
故，所以，
因为，所以.
（2）因为，由，，，所以，
由余弦定理得，所以
19. （1）证明：因为，，
所以，
又平面平面，且平面平面，
所以平面.
又平面，所以，
因为为中点，且为等边三角形，所以.
又，所以平面.
（2）取中点为，连接，因为为等边三角形，所以，
因为平面平面，所以平面，
所以，由，，
可知，所以.
以中点为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
所以，，，，，
所以，，由（1）知，为平面的法向量，
因为为的中点，所以，所以，
设平面的法向量为，
由，得，取，则.
所以 .因为二面角为钝角，
所以，二面角的余弦值为.
20解：（1）在男性好友中任意选取1名，其中走路步数不低于6000的概率为
可能取值分别为0，1，2，3，
∴， ，
， ，、
的分布列为
0 1 2 3




则．
(或者写成
（2）完成列联表
运动达人 运动鸟人 总计
男 6 14 20
女 4 16 20
总计 10 30 40
的观测值．
据此判断没有90％以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关．
21．（1）设椭圆的焦距为2c，
由的面积为可得,，
则，由点在椭圆上可得，
解之得，故椭圆的方程为.
（2）过原点且斜率不存在的直线显然与圆相切，切点为,
设过原点的直线为，即，
由圆心到直线的距离恰好等于圆的半径可得
，解之得，
由可得，即，
,，即点,，
.
22. （1）的定义域为，，
的单调递增区间为和，单调递减区间为.
（2∵，有两个极值点
∴令，则的零点为，且.
∴＞０, ∴ 或∵，∴.
根据根的分布，则且g() <0 即 , .
∴a的取值范围是
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